DES VALEURS APPROCHÉES DES ÎNTÈGRALES
(TKADUIX PAH ï. LYOJVf.)
(Lu le IS novembre 1886.)
3ocmaêjijiKîiiux'è npuS.iiiojccHHUji éc.îuzuuu unmczpaAoê'h.
(npHjioacenie kb LV-My TOMy Sanucoirb IlMiiepaTopcKOH AKa^eiiin HayKi,, JVa 2, 1887 r Acta mathematica. T. XII, 1888—1889, p. 287—322.)
Sur les résidus Intégraux qui donnent des valeurs approchées des Intégrales.
§ 1. Dans un Mémoire sur la représentation des valeurs limites des intégrales par des résidus intégraux, communiqué à l'Académie des sciences le 8 octobre 1885 *), nous avons montré comment, d'après les valeurs données de 2m intégrales
\fix)dx, \xf(x)dx, \x'''''-'f{x)dx,
ou peut trouver les limites les plus étroites de la valeur de l'intégrale
\ f{x)dx,
si la fonction inconnue f(x) reste positive pour toutes les valeurs réelles de X entre x = a et x^h, et si la valeur de v est comprise entre a et h. Ces limites, comme nous avons vu, sont données par les formules suivantes:
\f{x)dx<lF{^),
\fix)dx>lFiz).
*) T. II, p. 421—440.
où w est une quantité positive infiniment petite, et F{z) une fonction rationnelle qui s'obtient facilement en développant l'expression
f f{x) dx j xf{x) dx J
x-i^-if{x)dx
en fraction continue
En effet, en posant
elle est donnée par les formules
Fiz) = — ^ 1
"■wî* -*" f^m
»m« -+- Pm -
OÙ Y désigne la plus grande des deux quantités
a — f L ^'mC») 'l'm(^) J'
En substituant à la fraction continue
la fraction ordinaire qui lui est égale
P(2) — 'Pffl(^)-^— ?m— 1(^).
et en posant
on aura
En portant cette valeur de la fonction F{z) dans les formules (1), nous trouvons
\màx^L^y
]màx^ L^
ou bien
Or, les résidus intégraux
où 0) désigne une quantité infiniment petite, s'étendent seulement sur les valeurs voisines de z = v; et comme cette valeur de s;, qui annule (Pj (z) en vertu de (2) et (3), coïncide avec l'une de leurs limites, la valeur commune de ces résidus sera
et les dernières formules nous donnent
a a—iù
ï f(x)dx> / ^o(£)__J^oi£).
On voit par là que la différence entre le résidu intégral
ç. (Dq{x) a — 0)
et l'intégrale
\f{x)dx
est au plus égale à la fraction
C'est la plus grande approximation avec laquelle la valeur de l'intégrale peut être déterminée d'après les valeurs données de 2m intégrales
\f{x)dx, \xf{x)dx,...., \x^'^-'f{x)dx,
si par rapport à la fonction inconnue f{x) on sait seulement qu'elle reste positive pour les valeurs réelles de x entre x= a et ic =: 6. Nous allons maintenant étudier la fraction
et quelques formules qui peuvent nous conduire à la détermination de sa limite supérieure. Dans un cas particulier très remarquable nous trouvons par ces formules la limite supérieure de la fraction
sous la forme d'une fonction du nombre des intégrales données
[ f{x) dx, [ X f{x) dx, 1 x^ f{x) dx, ,
et qui tend vers zéro quand ce nombre augmente indéfiniment.
§ 2. Nous profiterons ici de quelques résultats que nous avons obtenus dans notre Mémoire sur les fractions continues *). Dans ce Mémoire nous nous sommes occupé de la fraction continue
ai^-i-[i, -
qu'on obtient en développant la somme
.^z — Xi 2 — Xq z — Xi • • • • s — Xn^
OÙ les quantités
sont toutes réelles et distinctes, et
sont des quantités positives quelconques. En désignant par
?o(g) Ojjf) 92 (g) ^o(^)' 4'i(^)' 'J'aC^)'
les réduites de la fraction continue, nous trouvons, en vertu des formules démontrées dans ce mémoire, les égalités suivantes:
qui montrent que les coefficients
sont tous positifs. Il résulte de là que les premières termes des fonctions
9oi^), ?l(4 ?2(4 »
ordonnées suivant les puissances décroisantes de 2, auront des coefficients positifs.
D'autre part, comme nous avons vu dans ce même Mémoire, pour toute fonction entière f^ {2) d'un degré inférieur à {jt, on doit avoir l'équation
(4) y,fo(^i)'^^i^d^'(^i)=^'
De cette équation nous allons déduire quelques propriétés des fonctions
'hi^l 'li(^)? '|2(^) '
dont nous nous servirons après. Pour cela nous remarquons que la dernière réduite
doit donner la valeur exacte de la somme
OHxq) ^ e^x,) ^ , OHXr,)
et son dénominateur 4'n-+-i('^) sera une fonction entière du degré (n-t-l) de la forme
OÙ C désigne un coefficient constant. L'expression
sera donc une fonction entière du degré {n — 1), et d'après (6) on devra avoir l'équation
ji;j{xi — xy){Xi — xi^^i) ^ t'
qui se réduit en vertu de (7) à l'égalité
d'oîi nous déduisons Or, les racines
sont toutes réelles et distinctes, et en les supposant disposées dans l'ordre de leurs grandeurs on voit que la dérivée
aura des signes contraires pour les deux racines consécutives x^ et Xy^^^, et par conséquent la fonction
aura aussi des signes opposés pour
c'est à dire entre deux racines consécutives quelconques de l'équation
on aura au moins une racine de l'équation
On voit par là que les n racines de l'équatiou
seront toutes réelles, distinctes et situées respectivement dans les n intervalles des (w -H 1) racines de l'équation
En désignant par
les racines de l'équation
disposées dans l'ordre de leurs grandeurs, on aura la série de grandeurs croissantes
X,, X,, X,, x\,. . . .x^, x\, x^^^, x\^^. . . .<^, x^. § 3. Les n racines de l'équation
étant inégales, la décomposition de la réduite en fractions simples nous donnera la somme
(n\ <Pn(g) 'fni^'o) 1 , fni^i) 1 , 9n (a? n— i) 1
OÙ, comme il est facile de voir, les facteurs
sont tous positifs.
En effet, les fonctions
des réduites
sont liées par la relation
?«-Hi W ^n W — ?n (^) ^^«-4-1 W = 1 •
En divisant les deux membres de cette égalité par
et en y faisant
nous trouvons l'égalité
Pour déterminer à l'aide de cette égalité le signe de la fraction
nous remarquons d'abord que le produit
sera positif pour ^ =: cx^, puisque les premiers termes des fonctions i]; (<?), ordonnées par rapport aux puissances décroissantes de ^, ont des coefficients positifs (§ 2).
Si maintenant on passe de ^ = cxd à la plus grande racine z = x ^^ de l'équation
la fonction 4^,j^j(^) changera son signe en passant par sa racine ^ = a;^, tandis que la dérivée ^'„(^) n'ayant pas de racine entre z=x^^ et ^ = 00 conservera son signe. Le produit
sera donc négatif pour 2 = x'^^^ et il est facile de voir qu'il conservera sa valeur négative pour toutes les racines
fi' '^fx-^i'-
de l'équation
car, d'après le § 2, entre deux racines consécutives de l'équation
on trouvera toujours une racine pour chacune des équations
et
eu vertu de quoi le produit doit avoir le même signe pour toutes les racines de l'équation
Ainsi, le produit sera négatif pour les valeurs
et la fraction
sera positive pour {x = 0, 1, 2, . . ., n — 1. Posons
et la somme (6) prendra la forme
, ^vH^'n-x)
Ainsi, connaissant la décomposition de la réduite
en une somme de fractions simples de la forme
s —Xq z — Xy • • • • z — Xn
OÙ les x^ sont toutes des quantités réelles et distinctes, et les 0^ {x^ des quantités positives quelconques, on pourra aussi décomposer la réduite
en une somme de la même forme
dans laquelle les quantités x sont aussi toutes réelles et distinctes, et les ol {x^ des quantités positives. De plus, les quantités x. et x^ dans l'ordre de leurs grandeurs formeront, comme on a vu, la série suivante:
^0' ^OJ ^15 ^i)''''^X' ^À' ^Xh-1' ^X-4-1' • • '^n— 1' ^«'
En passant de même de la décomposition de la réduite
On (g)
à la décomposition de la réduite
et ainsi de suite, nous trouvons pour chacune d'elles une décomposition de la forme
<\il{e) z — Zq z — By ' ' ' ' z — zi^
OÙ les racines z^, ^i, . . . , ei^ de l'équation
sont toutes réelles et distinctes, et les 0^^ {z) des quantités positives. • De plus, en désignant par
les racines de l'équation
et en les disposant avec celles de
par l'ordre de leurs grandeurs croissantes, nous trouvons la série
dont les termes sont tous compris entre Xq et x^.
§ 4. Revenons à la fraction continue
que l'on obtient en développant l'expression
\ f{x)dx \ xf (x) dx [ 0:2"»— i / («) dx
en fraction continue et en s'arrétant à la w'*"*' réduite.
Cette expression ne diffère de l'intégrale
que par les termes
[ a;2^»/ {x) dx [ x"^^-*-^ f (x) dx
et comme ces termes n'ont aucune influence sur les m premiers dénominateurs de la fraction continue
nous pouvons, en nous bornant aux m premiers termes, la regarder comme provenant du développement de l'intégrale
dx.
Or, cette intégrale, où, par hypothèse, la fonction f{x) reste positive pour les valeurs de x entre a et &, peut être regardée comme la limite de la somme
dans laquelle les quantités x. désignent une série de grandeurs croissantes de iCo = a à a?^ = &, et les ô^ (x.) des quantités positives choisies conformément aux valeurs correspondantes de f{x); et nous en concluons, d'après le § 2, que les coefficients aj, ag, . . . , a^ de la fraction continue
provenant du développement de l'expression
J / {x) dx [ xf (x) dx [ a;2«— 1 f(x) dx
auront des valeurs positives, définies par les formules 1 1
J ^^^0 i^) /(^) àx J '\>\ (x) f{x) dx J <];2^i {x)fix)dx
et que les dénominateurs ^^ {s) et ^„i {z) des réduites
9OT(g) <Pm-i (g)
auront toutes leurs racines réelles, distinctes et comprises entre a et h. De plus, en désignant par
les racines des équations
dans l'ordre de leurs grandeurs, on devra avoir la série suivante de grandeurs croissantes:
Tout ceci doit avoir lieu, bien entendu, si les intégrales
\ f(x)dx, \xfix)dx, \ x''^-'f{x)dx
peuvent prendre des valeurs données pour f{x) positive entre x = a, x = h.
§ 5. Nous venons de voir que, si les valeurs données des intégrales
dx
] fix)dx, ]xf(x)dx,.,.. ^x'^^-'fix)
sont possibles pour f{x) positive entre a et 6, l'équation
déterminée par ces valeurs ne peut pas avoir des racines hors des limites a et 6.
Deux cas peuvent donc se présenter: 1) aucune des racines de l'équation
n'atteint ni la limite a, ni la limite &, et 2) l'une des limites aeth ou toutes les deux annulent la fonction ^^(e). Nous allons d'abord examiner le second cas qui d'ailleurs se présente très rarement. En regardant l'intégrale
comme la limite de la somme
z — Xq z — rCj z — x^
OÙ l'on a iCo = ^5 ^„ = ^) 6t en remarquant que, d'après le § 2, le dénominateur de la dernière réduite
égale à cette somme, est le seul qui peut s'annuler pour 3=^%^ = a et z^=x^ =h, nous en concluons que, dans le cas considéré, la somme
z — Xq z — Xi • • • • z — Xn
et par conséquent l'intégrale
doivent être égales à la réduite
Or, cette fraction se décompose en une somme de fractions simples de la forme
^7w (^) 'l^'wî (^o) ^ — ^0 Vm ih) 2 — ^1 ' ' ' ' ¥m i^m—i) ^ — ^m—i
et pour que cette somme puisse être égale à l'intégrale &
il faut que la fonction f{x) s'annule pour toutes les valeurs de x comprises entre a et h, qui ne sont pas dans le voisinage de
et que pour les valeurs de x infiniment voisines de
elle ait des valeurs telles que les intégrales
\f{x)dx, \f{x)dx,.... \mdx se ramènent, lorsque ca devient nulle, aux valeurs
^ m (^^o) ' Vm (^i) " ' "Vm i^m—i)'
Avec une telle fonction f(x) l'intégrale
lfix)dx
se ramène au résidu intégral
pour toutes les valeurs de v entre les limites a et h, différentes de
Quant aux valeurs de on voit que pour ces valeurs de v l'intégrale
\f{x)dx
reçoit des accroissements brusques, égaux respectivement à
et par conséquent pour
sa valeur ne peut pas être complètement déterminée.
§ 6. Passons au cas général lorsque ni a, ni & ne satisfont pas à l'équation
Nous allons d'abord montrer que la quantité y qui figure dans nos formules est une quantité positive.
En effet, d'après le § 1 on doit avoir les inégalités
y -> ^ pm— 1 («) '\>m—i{v)l
1 ^b-vl ^,„,(b) ^„,{v) J-
En les multipliant respectivement par les quantités positives V' — a, h — v et en les ajoutant ensuite membre à membre, nous trouvons l'inégalité
Or, les termes les plus élevés dans les fonctions tj;^j (^), '\i^ (s) ayant des coefficients positifs, on devra avoir
'j^Wt-l (- OO) ^ r.
et comme toutes les racines des équations
sont plus grandes que a et plus petites que b, on aura aussi
en vertu de quoi l'inégalité précédente nous donne
y{b — a)>0, d'où
La quantité y, comme on a vu dans le § 1 , sert à déterminer la fonction ^li^) qui, en vertu de (2) et (3), sera donnée par la formule
dans laquelle, comme on vient de le voir, la quantité y est positive; et comme de plus les termes les plus élevés dans les fonctions
ont des coefficients positifs, cette formule nous donnera
où le signe supérieur correspond au cas de m pair et le signe inférieur au cas de m impair. Si maintenant on fait dans cette formule
on aura, d'après le § 4,
de sorte que pour la fonction 0^ (s) nous trouvons
On voit par là que les w -4- 1 racines de l'équation
sont toutes réelles, distinctes et séparées par les m racines de l'équation
§ 7. En désignant par
Wo > Cl , . • • . 4^ les racines de l'équation
nous trouvons pour la fraction
la décomposition suivante en fractions simples:
<Po(^). (Po(Co) 1 (Po((:i) 1 0o{^m) 1
OÙ, comme il est facile de voir, les facteurs
(Po(Co) (Po(Ci) <Po(Cm)
<Z>'i(Ci)' <Z>'i(C,)' <^'i(Cm)
sont tous positifs. En effet, des formules (3) on déduit facilement l'égalité
Comme le second membre, d'après une propriété bien connue des réduites, est égal à l'unité, nous aurons l'égalité
En divisant les deux membres de cette égalité par
et en y faisant
nous trouvons l'égalité
Pour déterminer à l'aide de cette égalité le signe de la fraction
nous remarquons d'abord que le produit
sera positif pour z = oo, puisque les termes les plus élevés dans les fonctions
^^{z) et 0\{z)
ont des coefficients positifs; et comme les racines des équations
et
sont toutes plus petites que la plus grande racine ^^ de l'équation
(§ 6), on voit que ce produit sera aussi positif pour ^ = C^.
Il est facile de voir que le produit conservera ce signe -h pour toutes les racines
de l'équation
car entre deux racines consécutives quelconques de l'équation
0^{z) = O chacune des équations
•K(^) = 0 et 0\{Z):=O
aura toujours une racine seulement (§ 6), en vertu de quoi le produit aura le même signe pour toutes les racines
de l'équation
On aura donc bien
<^o(Ct)^0
pour les valeurs de i= 0, 1, 2,.
Ainsi, la fraction
qui, comme on a vu dans le § 1, est égale à la fraction continue
se ramène à la somme
dans laquelle les quantités X,. sont toutes réelles et distinctes, et les
<go(Ct)
des quantités positives.
Comme cette somme ne diffère que par les notations de la somme
que nous avons étudiée dans le mémoire précité sur les fractions on trouve, d'après la formule donnée à la fin du § 5 de ce Mémoire, l'égalité suivante:
2v(«^ 2v«.-'^ ■■■■ I^^-^-'It
OqU '
Or, d'après ce que nous avons dit dans le § 2, on a en vertu de quoi l'égalité précédente peut s'écrire
d'où l'on tire la formule
Sv-^i'^^viw
(fi. = 0, 1,2,
dans laquelle le dernier coefficient a^^j sera égal à y, coefficient de z dans le dernier dénominateur Z.
Ainsi pour toutes les racines
^ = Co ? Cl , . . . , ^„ de l'équation
on aura
<go(^) ^ 1
et comme, en vertu de (2) et (3), z = v annule la fonction O^ {z)^ on obtient la formule
<PoW ^ 1
<P'i (») «1 W {^) H- «2 4^iM«) -*-• • • -*- a„i ¥m—i (») -t- T *^OT W*
§ 8. Dans le § 1 nous avons montré que les limites de la difî'éreuce entre l'intégrale
\f{x)dx
et le résidu intégral
sont données par
et l'on voit d'après la valeur trouvée de la fraction
que le degré d'approximation avec laquelle le résidu intégral
donne la valeur de l'intégrale
\mdi
sera déterminé par la fraction
dans laquelle la quantité y seule dépend des limites a, h des intégrales considérées.
Cette fraction augmente lorsque y diminue, et elle diminue lorsque Y augmente. Comme la valeur de y qui est toujours positive sera nulle pour a = — oo, h = oo, et deviendra infiniment grande pour ^J;^ (a) = 0 ou '\^^{b) = 0 (§§ 1 et 6), on voit que la différence entre l'intégrale
\fix)dx
et le résidu intégral
tendra vers zéro si a ou 6 s'approche indéfiniment de la valeur d'une racine de '^^ (z) et si v n'est pas racine de cette fonction, ce qui est bien conforme aux résultats auxquels nous sommes arrivés dans le § 5.
La limite (7) de cette différence atteindra au contraire sa plus grande valeur pour a = — oc, 6 = cxd et ce réduira pour ces valeurs des limites a, 6 à la fraction
2 ' ai ^o' {V) ■+- «2 ^1» {v) -*-.... H- a„ ^2„i {v)'
Il est facile de voir que la valeur de cette fraction diminue lorsque le nombre 7)1 augmente, et qu'elle deviendra nulle pour m = cx), si la série
est divergente. Cette fraction dépend évidemment de v aussi, et par conséquent, selon la valeur de v, le résidu intégral
donnera la valeur de l'intégrale
\fix)dx
avec une approximation plus ou moins grande. Il est cependant facile de montrer que pour certaines valeurs de v la valeur de la fraction
2 ai ^o' {v) H- «2 v|;i2 (t;) H-. . . .-*- a^ ^■^^^ [v) '
et par conséquent aussi la valeur de la fraction (7) dont elle est la limite supérieure, sera plus petite que
En effet, en désignant par D la plus grande valeur du dénominateur
a, V iv) -*- a, ']^,' (^;) -H . . . . -^ a„ f ^„^ {v) pour a < v < 6, nous trouvons l'inégalité
et comme d'après les formules
\'}^,\x)f(x)dx = ^^ \^,'(x)f{x)dx = ^^.^. • . li\^ix)f{x)dx = ^,
le premier membre de cette inégalité se réduit à m, ou aura l'inégalité
b m < D I f{x) dx
ou bien
<ÀiM^='-
On voit par là que ^^ qui, conformément à notre notation, représente la plus
petite valeur de la fraction
2 ai ^0^ (V) -f- «2 <|>i=^ (r) -+- . . . . H- a„j vJ^S„i (v)
pour les valeurs de v comprises entre a et h, sera plus petite que
èf,if(^)^^-
Donc, quelles que soient les limites a et b, la différence entre l'intégrale
\f{x)dx
et le résidu intégral
ne peut pas surpasser la valeur de la fraction 1 1
2 ai <î;o2 {V) -+- a^ ^i^ {v)-^....-*~ a^ ^2^ (r)'
ou bien de la fraction
[ 4>o' (a;)/ (a;) aa; J ^^^ {x)f{x) dx J ^^x2(x)/(a;)da;
qu'on obtient en remplaçant les coefficients a par leurs valeurs tirées des formules
Les fonctions sont déterminées, comme on a vu, à l'aide du développement de l'intégrale
en fraction continue de la forme
aj^ -4- 32 -
Et comme la valeur de la fraction
2 Wi^) . 4>iM«) ^nt-i"(g)
ne change pas lorsqu'on multiplie les fonctions ^ par des facteurs constants quelconques, nous pouvons y prendre pour les fonctions
les fonctions que l'on obtient en développant l'intégrale
en fraction continue de la forme
les p étant des quantités constantes quelconques; car le changement des quantités p^, pg,. . . équivaut, comme il est facile de le voir, à l'introduction de facteurs constants dans ces fonctions.
Nous venons de montrer comment on détermine les limites de la différence entre l'intégrale
lf{x)dx
et le résidu intégral
dans le cas où l'on donne les 2m intégrales
l f{x)dx, ^xf(x)dx, ^ x''"'-'f{x)dx
et si l'on sait que la fonction inconnue f{x) reste positive pour les valeurs de X entre aetb.
Il est facile d'en déduire les limites de la différence entre les intégrales
\f{x)dx
et
\f,ix)dx,
si l'on a les égalités
\f{x) dx=:\f, (X) dx, \X f(x) dx=jxf, (X) dx...., ^x'""' f(x) dx=\x'''^^' f,{x) dx, a a a a a a
et si la fonction f^{x) reste aussi positive pour les valeurs de x entre 37 = a, x = h. En effet, dans ce cas on aura les mêmes résidus intégraux et les mêmes limites des différences entre les intégrales et les résidus intégraux, et par conséquent la différence entre les intégrales
\ax)dx,\f,{x)dx
ne pourra pas surpasser le double de la limite de la différence entre chacune de ces intégrales et le résidu intégral
Donc, si les égalités
\f{x) dx=\f^{x) dx, \xf{x) dx=\xf^{x) dx,.... ^x^""'' f{x) dx=\(â"'-'' /; {x) dx
ont lieu pour deux fonctions
qui restent positives pour les valeurs de x entre a et &, la différence entre les intégrales
\f{x)dx,\f,{x)dx,
ne pourra pas surpasser la valeur de la fraction
(^) ai V (") -*- «2 4'i* (v)-i-....-t- a^ 4^2„i (v)'
quelles que soient les limites a et h.
§ 9. Comme exemple de l'application de nos formules nous allons maintenant considérer le cas où l'on a
a = — oo, b = -*-oo
et
Dans ce cas, comme on va le voir, la limite supérieure de la fraction (8) pourra être déterminée quelle que soit la valeur de v^ et il en résulte un théorème qui peut avoir des applications utiles dans la Théorie des Probabilités.
D'après les formules données dans notre Mémoire Sur le développement des fondions à une seule variable *), dans lequel nous avons étudié le développemment de l'intégrale
-♦-oo
du
en fraction continue et les réduites
^oi^y 'j'i(a:)' ^zc^y '
nous trouvons que, dans le cas que nous considérons maintenant, les fonctions
