I.W, U^), laW

pourront être représentées par la formule

et qu'on pourra les calculer successivement à l'aide de la formule

et l'égalité

D'autre part nous trouvons d'après ce même mémoire la formule

Jj^e ^<\?,(,x)dx = l. 2.3. ...l.q".

En vertu de cette formule la fraction (8) qui détermine la limite de la différence entre les intégrales

l f{x)dx, \ f,ix)dx

se ramène pour le cas que nous examinons à la fraction

dans laquelle les fonctions ^(v) seront déterminées par (9).

Pour déterminer la limite supérieure de cette fraction nous chercherons la limite inférieure de son dénominateur

En posant

nous remarquons que ce dénominateur est égal à la somme

Pour trouver la limite inférieure de cette somme nous allons d'abord déterminer la fonction 0 (t) définie par

où t désigne une variable quelconque.

§ 10. Pour déterminer la .fonction; ^ (^) nous remarquons que d'après (9) on aura

et

4^/, (v) = — q'v ^,^ (v) — {1-2) çt +,3 i^\ d'où l'on tire

^^{v) = q'v^\^ {v)^2 {l - l)q'v^^^ mi,{v) -^ {l — lfq^>i^^^^(v), {l - 2r 2* ^\^ (v) = f ,^ (v) -^2q'v ^,__^ (V) '^,, (v) -f- 2* V' f ,, (v),

et en éliminant entre ces deux équations le produit

nous trouvons la relation

-(Z-l)î«tft,»-i-+-l)f,Jt,).

Si maintenant on y remplace les fonctions

par leurs valeurs tirées de (10), on aura l'équation

Multiplions tous les termes par t^ et faisons la somme pour toutes les va-

leurs de ^, de ^ = 0 à Z = oo; nous aurons alors l'ég

co oo oo oo

En remarquant que d'après (10) on a

T, = 0, T,= 0, T 3 = 0, nous trouvons

oo oo

oo oo

oo oo

en vertu de quoi l'égalité précédente se ramène à l'égalité

l'on déduit

i on a

d'où l'on déduit

Comme d'après notre notation on a

et par conséquent

cette égalité se réduit à l'équation différentielle qui, intégrée, donne

La constante d'intégration G se trouve facilement en remarquant que la fonction 6 (t) se réduit pour t = 0 à Tq = ^1(v)=1.

De sorte que l'on aura

0=1, et par conséquent

oo l-t-t

§11. D'après l'expression trouvée de la somme

oo

où t désigne une quantité variable, la limite inférieure de la somme

pourra être déterminée à l'aide des formules données dans notre mémoire mentionné plus haut Sur la représentation des valeurs limites des intégrales par des résidus intégraux. Pour appliquer les formules, données dans ce mémoire pour des intégrales, aux sommes

nous allons les présenter sous la forme des intégrales

oo »»— 1

J Yt^'dx, \ Y fax,

en désignant par T une fonction de x qui s'annule pour toutes les valeurs de X qui ne sont pas dans le voisinage de

x = 0, 1, 2, 3,...., et qui pour les valeurs de x infiniment voisines de

a des valeurs telles que les intégrales

1 Ydx, I Ydx, J Ydx,...,

tendent respectivement vers les valeurs T T T