IJ
lorsque w tend vers zéro.
Pour une fonction Z ainsi déterminée on aura évidemment
oo oo
et
\ Yfdx = T,-^T,t-i-....-^T^J
Comme la fonction Yf ne devient pas négative entre les limites 0 et oo, les valeurs limites de l'intégrale
J Yfdx
d'après les valeurs des trois intégrales
J Yfdx, j xYfdx, \x^Yfdx
seront déterminées par les formules données dans les §§ 6 et 7 de notre Mémoire mentionné plus haut.
En faisant dans ces formules
a = 0, h = cxD,
nous trouvons que pour
oo
r a;2 Tf^ dx
r X Yt^dx
la limite inférieure de la valeur de l'intégrale
J Yfdx
sera
fïxYt^dx\
rrfdx-^ L
J oo
° ïx^Yt^dx
En remarquant que d'après l'égalité
oo
J Yfdx = â(t),
on aura
oo
^ xYfdx = tâ'{t),
oo
J x^ Yf dx = f 6" (t) -+- 1 d (t),
nous en déduisons l'inégalité
En prenant ici pour t une racine quelconque de l'équation
nous trouvons l'inégalité
Wl-l
r Yfdx>ûit\—-^^^^^^.
Comme d'après les propriétés de la fonction Y on aura
l'inégalité précédente se réduit à celle-ci:
qui doit avoir lieu pour toutes les valeurs de t satisfaisant à (11).
Donc, en se bornant aux valeurs de t comprises entre 0 et 1 et remarquant que pour ces valeurs de t on aura
T,^T,^-f-. .. .-t- T^^r-^ < To-i-T, -*-... .-4- T„^^,
on devra avoir l'inégalité
d'après laquelle nous pouvons trouver une limite inférieure de la somme
s„, = 2;-Hr,-4-....-»-î;„
en prenant pour t une racine de (11) comprise entre 0 et 1.
§ 12. En portant les valeurs de â'{t), 6" {t) tirées de § 10, on trouve
et
La dernière inégalité nous donne la limite inférieure de la somme
en fonction de la racine ^ de (12) comprise entre 0 et 1.
Il est facile de voir que pour m > 1 , comme nous le supposons toujours, l'équation (12) admettra bien une racine entre 0 et 1; mais la détermination exacte de cette racine est très difficile.
Comme il ne s'agit ici que de trouver une quantité qui reste constam-
ment plus petite que ^ T., nous pouvons y arriver sans résoudre l'équa-
tion(12).
Pour cela nous tirons de (12) la valeur de V m — 1 et nous divisons par elle l'inégalité (13), ce qui nous donne une inégalité qu'on peut mettre sous la forme
En remarquant que la valeur de t dans cette inégalité doit être plus grande que zéro et plus petite que l'unité, nous trouvons
en vertu de quoi l'inégalité précédente nous donne (14)
Sm-x.^ (g»t^'-f-l)-3
Vm—l '
Passant à la détermination d'une limite inférieure de
tnous remarquons que l'équation (12) peut s'écrire
'*\~ii""
Comme t est comprise entre 0 et 1, tous les termes seront positifs et l'on aura
irn—l) (1— ^2)>^^
d'où l'on déduit
m(l— ^«)>1, ce qui donne
et par conséquent
D'autre part, en cherchant les maxima des fonctions
pour 0 < ^ < 1 , nous trouvons qu'ils s'obtiennent pour
^ = y2'-~l, ^=1 et qu'ils sont respectivement égaux à
3 — Vs, 2, en vertu de quoi l'équation précédente nous donne
d'où l'on déduit
m (1—^2) < 3 -t-(3 — VS) q'v^ et
ce qui donne
^-^ l 3-H(3 — V'8)g2pg
Ainsi, nous trouvons que
et l'on aura par conséquent
de sorte que l'inégalité (14), en y remplaçant
nous donnera
Sm-x ^ 2 (m -3)3 1
OU bien
S > 2 (m — 3)» y OT — 1 1
En remarquant que, conformément à notre notation, on a
nous en concluons que la fraction
sera plus petite que
3 i/l (m2 — 2m -h- 3)^ (g' t>2 -t- 1)3 2 (m — 3)3 Vm — 1
Comme d'après le § 9 cette fraction donne les limites de la différence des intégrales
si l'on a les égalités
