PiXi^ 2.3 PiXi ^.A.PiXi^ X^ iC* x

et après y avoir réuni les termes de dénominateurs communs, elle nous donne la série suivante:

2 Mi XiO 2 Mi Xi -*- 2 Ni XiO 2 Mi Xi^ -i-22NiXi-*-^1.2 Pi xi>

— z^ 1 zô 1 ::r^ »-

Donc il résulte que les sommes

y^M.x."^-' -^^{m — l)N.x/^-' -i-^{m— 1) (m — 2) P. a;. "*-'-!-...., sont les coefficients de

J Jl i. L

dans le développement de l'expression

(p{x) dx dx"^

selon les puissances décroissantes de la variable x. Mais nous savons, d'après le n" 2, que ces sommes forment les premiers membres des équations qui déterminent les valeurs des coefficients du polynôme

y = AQ-t-A^x-i~. . . . -H ^,„i x^~'^,

pour lesquels la somme

devient un maximum ou un minimum, et nous concluons que ces équations s'obtiennent en réduisant à zéro les coefficients de

Jl J J L

dans le développement de l'expression

^ N<?' (x) ^2 -Py' (^) M(p' (x) 9 (x) 9 (x)

9 {x) dx dx^ • • • •

suivant les puissances décroissantes de la variable x. Partant sous cette condition:

L'expression

^ Ncf>'-(x) ^2 ^<p' (^)

/IN M(f'{x) (?(x) (p(x)

^^^ 9(x) dx dx2 • . . -,

avec une approximation poussée jusqiCaux puissances x~^ inclusivement^ est égale à une fonction entière où M, N, P, . . . . sont, comme nous l'avons vu dans le n^ 2, les dérivées partielles de la fonction F (ic, y, y, y", ....)) prises par rapport à y, y, y'\ ....

§ 4. Nous avons supposé, dans tout ce qui précède, que les coefficients du polynôme

étaient entièrement arbitraires: examinons maintenant le cas où le choix de ces coefficients est limité par plusieurs équations de la forme

2 A ^^i-' 2/,-' 2//, yî', — ) = «1,

sont des fonctions entières quelconques de a?, du polynôme y et de ses dérivées y\ y\ .... Nous supposerons d'abord que les sommes que nous venons d'écrire s'étendent aux mêmes valeurs de la variable x

amsi que la somme

2^o(^t' 2/p yi 2//', — ),

dont on cherche la valeur maximum ou minimum.

Par les propriétés connues des maxima et minima relatifs, les valeurs des coefficients

qui rendent la somme

y^fM^ y^yn^i'^ — )

un maximum ou un minimum sous les conditions exprimées par les équations

y,/i(^i, yi^y^ 2//',- •••) = «!,

y^f^i^i^ yv yl^ 2/A-- .•)=a2»

se déterminent en égalant à zéro les dérivées partielles prises par rapport k Aq, A^, . . . . , Aj^ de la somme

2^0 (^i^yt^yn ^//V-OA^/o i^i,yi, yi yi'r-h\y,f2 i^i, yi^yi yiv->-,

où les quantités X^, X^, . . . . sont des facteurs constants. Cette somme se ramène à la suivante:

2L^o(^» ' ^f yi yi\"')-^\ A (^,-5 y^yi yl\-')-^\ f. (^^ 2/,-, ?//, ^/V-)-*--],

qui peut être remplacée par

en supposant que

Ainsi, d'après ce qui vient d'être exposé dans les n"*' 2 et 3 concernant les équations

dI,F(xi,yi,yi',yi",....) dI.F{xi, yi, y/, yf,....)

dA„

nous concluons que, dans le cas actuel, les équations propres à déterminer les coefficients du polynôme

y = Aq ■+- A^X -+- A^X^ -¥-,... -^ ^m-i ^'"~S

se réduiront à la condition trouvée à la fin du n*^ 3, eu ne perdant pas toutefois de vue que la fonction

doit être remplacée par la somme

/é(^j 2/j y, y"y"')^\f[ix, y, y\ y"y...)-*-\f,{oc, y, y, /,....)-+-....,

où X^, Xg, . . . . sont des facteurs inconnus constants. Cette condition nous donnera les moyens de déterminer les coefficients du polynôme

en fonction des facteurs X^, X^, .... En mettant enfin ces coefficients du polynôme y dans les équations (2), nous aurons autant d'équations qu'il y a de facteurs X^, Xg, . . . . , d'où nous obtiendrons leurs valeurs.

§ 5, Passons maintenant au cas où il s'agirait de rendre maximum ou minimum une somme

étendue aux valeurs

mais de façon que le choix des coefficients du polynôme

soit limité par les équations de condition

où les sommes s'étendent respectivement à toutes les valeurs de x: x = \, 6a, 63, ,

différentes entre elles et différentes aussi des valeurs

Pour réduire ce cas à celui que nous venons d'examiner dans le numéro précédent, nous remplacerons toutes ces sommes, étendues à différentes valeurs de la variable x, par des sommes étendues aux mêmes valeurs de la variable indépendante. Pour y parvenir, nous poserons

et

(x—a,){x—a^){x—a^)....{x—b,){x—b;){x—\)....{x—c^){x—c^)ix—c^)....,

Puis nous déterminerons des fonctions entières

de manière à ce qu'elles satisfassent aux équations

Ces équations auront toujours une solution, car, par hypothèse, les racines de l'équation (p(x) = 0, égales h a^, a^, . . . . , h^, b^, . . . . , Cj, Cg , . . . . , diffèrent toutes entre elles; donc la fonction cp (x) n'aura pas de facteur commun avec sa dérivée 9 (a;). Il sera aisé de montrer, à l'aide de ces équations (3), que les sommes

étendues à toutes les valeurs de

se réduiront: à la somme

étendue uniquement aux valeurs de x ^ a^, a^, a^, . . . . ; k Isl somme étendue uniquement aux valeurs de x = b^, b^, b^, . . . .: k la, somme

étendue imiquement aux valeurs de a; = Ci, Cg, Cg, . . . . , et ainsi de suite. Pour le faire voir à l'égard de la somme

nous remarquons que, d'après l'équation

et d'après la manière dont les fonctions

?(^), 9o(^), ?iH %{^\ ■ • ',

sont formées^ la fonction ^'^ deviendra zéro pour x=:b^, h^, tg, . . . ., Cj, Cg, Cg, . . . . ; c'est-à-dire pour les racines communes aux équations

et

car, pour ces valeurs de la variable x, la dérivée 9' (a?) ne pourra pas devenir zéro, n'ayant pas, comme nous venons de le dire, de facteur commun avec (f{x).

D'un autre côté, pour

x = a,, «2, «3, . . . ., racines communes aux équations

c?{x) = 0, (^,{x) = 0, nous voyons que la dérivée

T \ J dX

= 9o'(^) 9i(^) 92(^)-----^9i'(^) 9o(^) 92(^)---*-92'(^)?o(^)9i(^)"--+-se réduit au produit

et par conséquent, en vertu de l'équation

pour ces valeurs de ic, ou bien pour a; = «^ , «2 » ^3 » • • • • ? ^" ^"^^

D'où il est évident que la somme

^S,<P,{x, y,y\ y", ....), étendue à toutes les valeurs de la variable x,

se réduit à la somme

étendue uniquement aux valeurs de

X =■- a^^ a^, cigi . . . .

Nous trouverons de même que les sommes

S S, ^,ix, y, y, y\ ....), ^'^2 ^2(^3 V, V, /, ).•..■ 3

étendues aux valeurs de la variable x,

x = a^, «2, a3, . . . ., 6,, &2, &3, . . . ., Cj, Cg, Cg, . . . ., Se réduisent à la somme

étendue seulement aux valeurs de

à la somme

étendue seulement aux valeurs de

a? = Cj , Cg , Cg , . . . . ,

et ainsi de suite.

^%ix, y,y,y% ....},

En remplaçant, d'après ce qui vient d'être dit, les sommes

2^1 'I'i(^'2/, 2/', 2/", .-..), ^S,<P,ix,y,îj,y\ ),

étendues chacune à des valeurs différentes de la variable x, par les sommes étendues aux mêmes valeurs de la variable x données par l'équation

nous concluons que dans ce cas les coefficients du polynôme

se détermineront par la méthode indiquée dans le numéro précédent, quand on remplacera dans les formules de ce numéro les fonctions

par les produits

et par conséquent ils se détermineront par la condition établie à la fin du u° 3 si l'on y pose

F{x,y,y\y\....) = S,^^,{x,y,y\y\....)-^\S,^^{x,y,ij\y\....)

^ \ ^2 fl>2 {x, y, y\ y\ ....)-*-•■•-

où \, Xg, . . . . , sont des facteurs constants, mais inconnus.

En déterminant, pour cette forme de la fonction F [y, y, y\ /, . . . . )j la valeur des dérivées

7,/- dF(x,y,y',y",....)

dF(x, y, y', y", — ) = dii' '

„ dFix,y,y',y'\...-)

et en désignant les dérivées partielles des fonctions

prises par rapport à

par

nous obtenons

Donc l'expression (1), qui d'après le vP 3, doit être égale, pour la valeur clierchée du polynôme

à une fonction entière, avec une approximation poussée jusqu'à la puissance x~"^ inclusivement, s'exprimera ainsi:

SqMqç'jx)

Si 3Ii (?' (X) 9(x)

^,S„N,,-i.) ^S,Nç'(.) .S,N,'(.) X

SoFo^>'{x) ^ ^ Si Pi <?' (j) ^ y S^P^ç'jx]

Mais les équations (3), qui servent à déterminer les fonctions S^, S^, /Sg, . . . . , nous donnent

^0 9' jx) <p(x)

9t{x) cpo(a;) 9i{x)....

En remplaçant, dans les seconds membres de ces équations, cp {x) par le produit

^,{x) Çi(a;) <^^{x) . . . . , nous aurons

So 9' (x)

Si 9' (x) cp(a;)

S,<?'ix) cp(x)

D'oii l'on voit que les fonctions

Sq 'V [x) Si 9' (x) S2 9' (a.-) <?(«)' 9(^) ' 9(«) '■ ' ' ■

et

ne diffèrent entre elles que par des parties entières. Donc, si dans l'expression (4) nous mettons ces dernières fonctions à la place des premières, nous ne changerons que la partie entière de cette expression; quant au degré d'exactitude avec lequel cette formule représente une fonction, il restera le même, et par conséquent elle pourra toujours servir à déterminer le polynôme

y = Aç, -h- Al X -i- A^x'^ -*- . . . . -♦- A^^^ x^~\

En exécutant cette substitution nous obtenons l'expression suivante :

Mgcpo'jx) y 3/1 9/ (-y) y M^Çjix) ,

, / iVo 9o' (x) ^ y iVi9/(^) . ■> N^^i'jx) )

^\ cpoGr) -*"^ çi(x) ~^^ 92(^) )

dx

iPo<?o'{x) . f, 9/(3^) , -. F2 92' (x) . , 1 90 (a:) "^^ cp.(a-) "^ ^2 92 (^) dx-

Cette expression, d'après ce qui vient d'être exposé, doit se réduire à une fonction entière, qui la représentera exactement jusqu'à la puissance — m de la variable x inclusivement, toutes les fois que le polynôme

aura des coefficients voulus pour que la somme

devienne un maximum ou un minimum, sous les conditions

^^,{x, y, y, y\ ) = aj,

Nous sommes parvenus à cette conclusion en supposant que les séries

ne contenaient pas des termes égaux entre eux; mais, par la méthode des limites, il nous serait aisé de l'appliquer aussi au cas où ces séries auraient des termes communs.

§ 6. Nous avons établi, dans ce qui précède, la condition qui sert à déterminer la valeur du polynôme d'un degré donné ^, qui rend la somme

2<ï>o(rz:, y, y,y\ )

un maximum ou un minimum, et nous n'avons fait que deux hypothèses concernant les coefficients de ce polynôme. D'après l'une, leurs valeurs étaient supposées arbitraires, et d'après l'autre, elles devaient satisfaire aux équations

2^i(^, y, y, y\ )^ai,

Dans ce dernier cas, la condition qui sert à déterminer le polynôme cherché contient des constantes inconnues X^, Xg, . . . . , dont les valeurs se trouvent par les mêmes équations de condition auxquelles doit satisfaire le polynôme ^, et qui sont en nombre égal à celui des inconnues \^\^ . . . .

La détermination du polynôme y^ limité par la condition de rendre la somme

un maximum ou un minimum, a de l'analogie avec la solution des questions semblables dans le calcul des variations. Dans le cas particulier, quand cette somme se réduit à une intégrale, le polynôme ^, déterminé comme il vient

d'être dit, peut être considéré comme une valeur approchée de la fonction qu'on obtient à l'aide de la méthode des variations. Mais dans le calcul des variations la fonction cherchée, étant déterminée par une équation différentielle, s'obtient en l'intégrant par les méthodes connues, tandis que, dans le cas que nous examinons, la détermination du polynôme y exige des procédés spéciaux, car elle se réduit à une condition qui ne se laisse pas exprimer par des équations de formes connues.

Pour montrer comment des polynômes peuvent être déterminés à l'aide de ces conditions, examinons le cas très-simple où les fonctions

ne contiennent y qu'à une puissance qui ne dépasse pas la seconde, ses dérivées

à une puissance qui ne dépasse pas l'unité, et avec des coefficients qui ne dépendent que de la variable x. Dans ce cas les dérivées

-M à^QJx, y, y', y",....) -,j- d<i>^{x, y, y\ y",. . . .)

ne contiendront pas y\ y\ . . . , , et ?/ ne s'y trouvera qu'à la première puissance. Quant aux dérivées

AT à^ç,{x,y,y\y",....) -^ à^^[x,y,y',y",. . . .)

^^o~ dy' > -^M— dy' ?••••)

p ^•^(i{x,y,y', y",....) p d'^^jx.y.y^y" ,. . . .)

-^0 — dy" ' ^ 1 ~ dy" >••••>

elles ne contiendront pas du tout f/, y ^ y'\ .... Partant l'expression

Mq cpo^ {x) ^ ^ M^ 9/ {x) ^ ^ M^ (9^ {x) ^

dx

qui d'après le ii° 5, moyennant le polynôme cherché

doit devenir égale à une fonction entière jusqu'au terme en a; "* inclusivement près, se réduira au binôme

uy — V,

dans lequel u ti v sont fonctions de la seule variable indépendante x. Ainsi, dans ce cas, la recherche du polynôme

2/ = Jo -^ ^1 ^ -+- -+- ^m-i ^"""^

assujetti à la condition de rendre la somme

un maximum ou un minimum, se réduit à la détermination d'un polynôme «/, de degré m — 1, tel que le binôme uy — v, jusqu'au terme en x~^ inclusivement près, soit une fonction entière. Nous allons montrer que les polynômes qui jouissent de cette propriété s'obtiennent facilement à l'aide de la série que j'ai publiée dans mon Mémoire intitulé: Développement des fonct en séries à Vaide des fractions continues *).

§ 7. Nous avons établi dans ce Mémoire, qu'en développant une fonction quelconque u en fraction continue

âz-*-.

en

désignant, de plus,

par

Ps

se

3 fractions réduites.

par

les

5 différences

€t par

♦) T. I, pages 617-636.

les fonctions entières qu'on obtient à l'aide de la formule

«„ = (- 1)""' E g„ («„ « - E Q„ V), nous aurons pour développer la fonction v d'après les valeurs

la série que voici

(5) V = rj v -*- G)j i?j -*- «2 i?2 -+- «3 i?3 -H . . . .

où rj désigne la partie entière de la fonction, et où l'on admet que w et t; sont des fonctions développables suivant les puissances entières et décroissantes de la variable x.

Pour déterminer, à l'aide de cette série, le polynôme

y z= Aq-^ A^x -\~ A^x^ -+- . . . . H- ^^i i»'"~S

au moyen duquel la différence

uy — v^

est réductible à une fontion entière, exactement jusqu'aux termes en x~^ inclusivement, désignons par

le dernier dénominateur des fractions convergentes A A ^

dont le degré soit inférieur à m, et par

FF FF

les quotients et les restes obtenus par la division du polynôme y par Q^^ du premier reste r^ par ^ ^ du second reste par Q^^^ et ainsi de suite.

En égalant les dividendes aux produits des quotients par diveseurs ajoutés aux restes, nous obtenons une suite d'équations

En éliminant des équations les restes

et eu observant que le dernier reste r^ , qu'on obtient par la division de l'avant-dernier reste par ft = 1 est zéro, nous sommes conduits à l'expression de y que voici

2/ = -f^ G, -H i^,. «,, H- . . . . -H J", e. - F, ft ,

Mais comme notre polynôme cherché

ne sera jamais d'un degré supérieur à m — 1 , il est évident que la fonction F^, qui s'obtient par la division de y par 0 , ne pourra pas être d'un degré plus élevé que celui de

xm~i

et par conséquent son degré sera inférieur à celui du quotient

Qp. ' car, par hypothèse, Ç„^^ est d'un degré supérieur à m — 1. Quant aux fonctions

FF FF

leurs degrés seront inférieurs à ceux des quotients Vfji, Q[}. — 1 T3 Qi

Q\i. — 1 V[J. — 2 V2 Vl

car elles résultent de la division des restes

par

et ces restes eux-mêmes obtenus par la division de y par

et ainsi de suite, seront nécessairement de degrés inférieurs à ceux de

Pour déterminer les facteurs

FF FF

dans le développement de y par la formule (6) y = F^Q^-^F^-,Q^--,-^' ' ■ '^F,Q,-^F,Q,,

nous observons que le binôme

uy — v^

devient, en y substituant pour y sa dernière valeur, et en y exprimant v par la formule (5),

— Et; — G)ji?^ — Ogi?^ — "3^3----, d'où, en y remplaçant

par leurs valeurs déduites des égalités

nous obtenons la formule que voici

uy~v=-'¥Jv-^F,P,-^-F,P,^ .... -^F^^P^^-^F^P^ -t-(F, -«,) i?^-H(F, — c,) B,-^ ■+-

En examinant cette nouvelle expression de la différence

uy — V, nous voyons que ses termes

-"Èv-^F.P.-^F.P,-^ .... -^F^^P^^-^F^P^

forment une fonction entière, et que les autres, comme il est aisé de le voir, sont tous de puissances négatives qui vont en décroissant. En effet, conformément à notre notation,

et ces restes, d'après les propriétés des fractions réduites, sont de degrés égaux à ceux des fractions

1 1 1 JL 1 1

En rapprochant ces considérations de ce qui a été dit, dans le numéro précédent, sur les fonctions

et, dans le Mémoire cité, sur les fonctions

«1, «2. «3. , %n %^ "ix-^P

il devient évident que dans les derniers termes de la formule

les facteurs de

seront des fonctions entières de degrés inférieurs à ceux de

Donc le premier de ces termes (F^ — Oj) B^ sera d'un degré inférieur ^^ n TT = TT ^t 116 sera pas inférieur à 7^ ; le second terme (Fg — «jg) -^'^2

Vi V2 Vi V2

sera d'un degré inférieur à -^ 7^ = -^ et ne sera pas inférieur à 7^, .... ;

V2 V3 V2 Va

le terme o..^, B„^, sera d'un degré inférieur à 7^*^^^*^ 7^ ^7^ ,

{J.-+-1 fX-4-l o V[J.-|-1 V(J.-*-2 V.a-H-i

et ne sera pas inférieur à j^ , et ainsi de suite.

VjJI.-f-2

D'où il résulte que dans l'expression ci-dessus trouvée pour le binôme

uy — V

la partie fractionnaire sera exprimée par la série

(F, - O.) B, -H (F, - O,) i?, -H .... -4- (F^, - 0^ J Jî^, -,-

OÙ les puissances des membres vont en décroissant. Donc le degré d'exactitude avec lequel notre binôme se réduit à une fonction entière sera déterminé par le degré du premier de ses termes qui ne devient pas zéro.

A l'aide de ce résultat, il nous sera aisé de trouver les valeurs des fonctions

FF FF

qui entrent dans l'expression (6) du polynôme cherché, ou de nous convaincre de son impossibilité.

Les termes

comme nous venons de le voir, ne peuvent être de degrés inférieurs à ceux

des fractions

donc ils ne peuvent être d'un degré inférieur à

car, d'après notre notation, dans la suite des dénominateurs

il n'y en aura pas un seul d'un degré supérieur km — 1. Ain?i la différence ne peut se ramener à une fonction entière uy — v qui la représente exactement jusqu'au terme contenant la puissance x~"^j que dans le cas où tous ces termes disparaissent, ce qui entraîne forcément les équations suivantes:

qui nous donnent

Avec ces valeurs des fonctions