MO,^— R

reste d'autant plus près de zéro, que la fonction

s'écarte moins de zéro; par suite, afin de diminuer autant que possible la valeur limite de la différence

pour des valeurs de cp, qui se trouvent entre cp = cpo ^t 9 = Çi, nous devons opérer de la sorte que la fonction

ipi ^ -*- 1) y^~-^ -^ih^^ih

s'écarte le moins possible de zéro entre x^ sin^ ^^ x = sin^ y. Pour cela nous appliquons à la fonction

le théorème concernant en général les fonctions, qui s'écartent le moins possible de zéro, que nous avons démontré dans le Mémoire sous le titre: Sur les questions de minima qui se rattadicnt à la rejjrésentation approximative des fonctions *). Eu se fondant sur ce théorème et désignant par

*) T. I, pag. 273-378.

les valeurs limites de la fonction

entre

X = siu^ y, x== sin^ ^ >

nous concluons qu'elle doit au moins quatre fois atteindre les valeurs limites — L, -*-L, quand les valeurs de x ne sortent pas au delà des limites a; = sin2 ^, a; = sin2 ^.

Nous allons montrer à présent, de quelle manière la fonction

iP,x-t-i)y^-^-*-p^x-t-p^

peut être déterminée d'après cette propriété.

§ 5. Remarquons pour cela que toutes les valeurs de a?, pour lesquelles la fonction

(2), a; -H 1) y^-^ -t-p^ X -*-2\j où l'on a

fl:;<sin2Y, a;>sin^^,

atteint les valeurs -^L, — L sans les surpasser, doivent être égales aux racines multiples de l'équation

[{p^x^l)Wi^~^p^x-^p,-^L] [;r — sin^^l] X

[{p^x-^l)]/'-^-^p,x-^p,~L] [a:-sin2|] = 0.

En efifet, on voit de la forme de cette équation qu'elle est satisfaite par des valeurs de x qui donnent:

{p,x-^-l)y~-+-p^x^p^ = — L, ou

Si cela a lieu pour x = sin^-^ ou a; =: sin'^l^, alors ces valeurs, comme on voit aussi de la forme de l'équation, seront ses racines multiples. Quant aux racines de cette équation qui sont entre sin^ ^ et sin^ ^, elles aussi ne

peuvent pas être des racines non multiples, car pour des racines simples des équations

{p,x-^l)y^-^-i~p^x-^p, — L = 0 la fonction

après avoir atteint les valeurs -+- i, — L, franchit ces limites.

On voit de cela que dans le cas considéré l'équation (8) doit avoir au moins 4 racines multiples, qui ne sortent pas hors des limites

c = sin^ Y ?

mais cela ne peut avoir lieu que dans le cas, où l'équation a quatre racines doubles se trouvant entre les limites

car cette équation, après avoir été réduite à la forme rationnelle, sera du gème ^QgYé. Deux de ces racines sont évidemment, d'après la forme de l'équation,

X = sin^ Y5 x = sin^ ^ •

Quant aux deux autres racines, comme elles sont limitées par les va-

leurs sin^ y» sin'^ ^j ^Hes peuvent être représentées ainsi:

où cpj, Og sont des angles, qui sont enfermés entre cpg, 'fj.

§ 6. Montrons à présent, comment on peut trouver les fonctions

{p^x-+-\) yi^-^p^x-i-p^ — L étant donnés les angles

et comment trouver les angles inconnus cpg, 93.

D'après ce qu'on a remarqué plus haut sur l'équation (8), on voit que l'équation

aura deux racines simples

sin — > SIU -^

et deux racines doubles

sin^^? sin^y-

Et comme cette équation se décompose en deux suivantes {p,x-+- l)|/■^-^-2^2^-^-i^3-*-^ = 0»

qui n'ont pas de racines communes et se réduisent à des équations cubiques, chacune d'elles aura une racine simple et une racine double. En nous arrêtant sur l'équation

{p^x-^- 1) y^-^-i-îi^x-t-p^-+-L = 0 et admettant qu'elle a pour la racine simple

et pour la racine double

X = sin^ ~ )

nous remarquons que le produit des trois différences ^^-^— cotang^,

cotang^ • y X — y 1 — x^ cotaug ^--V X — y 1 — a;, étant égalé au zéro, donne l'équation

[|/'-i^ — cotangf] [cotangl y^; — y 1 — ^J=0,

qui a aussi la racine simple siu^ ^ et la racine double sin^ ^. Mais cette équation dont la première partie représente une fonction de la forme

ne peut avoir trois racines communes avec l'équation

si elle n'est pas identique à la dernière, et par conséquent doit avoir lieu l'égalité suivante:

(9) {p,oo-^l) ]/^-^P2^-^Ps-^L =

(l/^ — cotang I) (cotang | Vx- VT^^)\

De même, nous trouvons

{p,x-i~l)y^^-Hp.,x-i-2)s — L = (l/i^ — cotang ^) (^cotang | V^— Vl—xJ. En soustrayant ces égalités l'une de l'autre, nous recevons

I (}/^ — cotang ^) (cotang f Vie— Vl~xJ

Cette égalité, qui a lieu pour toutes les valeurs de x, donne, comme nous le verrons, des équations qui déterminent les angles inconnus Çg? Ta-

§ 7. En chassant les parantlièses dans la dernière égalité et remplaçant les cotangeutes par des quotients de cosinus et de sinus, nous trouvons qu'elle se réduit à

2X= — ^ ^ ^ ^^\Vx{\—x)-^--^-*-2~

\ 8iii^siii2-^ sin^sius^y siii ^ siu^

cos|

D'où l'on voit que, pour qu'elle soit possible pour chaque valeur de a?, il faut que l'on ait

sin^sins^

Ces égalités nous serviront à déterminer les angles cpg» 93 En divisant ces égalités l'une par l'autre, nous recevons

tang(?2-*-|) = tang(cp3-i-|),

Et comme les angles «p^, «p,, cpg, cpg sont compris entre 0 et u, cette équation mène à une des deux conclusions suivantes: ou à l'égalité

ou à l'égalité

De plus, en remarquant que dans le dernier cas on reçoit, d'après (11), l'équation

sin ^ sin^ -^ = — sm ^ sin^

qui ne peut pas être satisfaite par des valeurs positives des angles cpo, cp^, 92, cpg, ne dépassant pas u, nous concluons qu'il doit être

(12) 9,-h| = 9,h-|, et par suite les équations (11) nous donnent

(13) sin^sin2^ = sin^sin2|^.

Des deux dernières équations il est aisé de déduire des formules, qui servent à déterminer les angles Çg? 93- En effet, d'après (12), nous avons

et par conséquent

cosop3 = cosf92-t-^^^)

1 COS Çg