COS I Ç

ce qui, après la substitution dans l'équation (13), donne

siu f sin^ f = ^ ^—^ siu f ;

d'où l'on déduit, après avoir chassé les paranthèses et divisé par sin^ ^, l'équation suivante:

f -*- sin iî^^^ cotang ^ ^ -f- cos'' ^-^^' = 0.

En résolvant cette équation par rapport à cotang ^ et retenant seulement la racine positive, nous trouvons

(14) cotang f=-^^

/siu% 1

Ainsi l'angle Çg ^st déterminé en fonction des angles cpo, 9^. Cet angle nous servira comme une grandeur auxiliaire pour simplifier les formules. Quant à l'angle 93, sa valeur peut être aisément obtenu d'après (12), quand on a trouvé l'angle 92-

§ 8. Ayant les angles

on peut sans difficulté déterminer les grandeurs

A PX, Ih^ P3,

qui entrent dans nos formules.

En posant dans l'équation (10)

a;==sin^ ^7 nous trouvons

2L = (cotang ^ — cotang y j (cotang ^ sin ^ — cos ^ r, ce qui donne pour L la formule simple:

sin -^ ain -^ siU'

En remarquant que le produit

(|/i=^ - cotang f ) (cotang ^-^Vx-Vl-xJ

quand on y a remplacé le cotaugentes par les quotients de cosinus et de sinus, se réduit à l'expression

nous concluons, d'après (9), que^,, ^31 JPs) ^ oiit les valeurs suivantes:

cosf 00, 1

La dernière égalité, après qu'on y a introduit la valeur trouvée de X,

donne

i8in2 5

^-^ — ^ . cp! ■ 9. ■ ,L '^^^^^ Y - 2 cotang f-

sm -^ sm -^ sm* il

C'est ainsi que se déterminent les valeurs des coefficients

avec lesquelles la fonction

Q;, a; -f- 1 ) |/i^ -4- 1;^ ^ -f-i?3 s'écarte le moins de zéro entre

a; = sin2^, a; = siu2^- En même temps, comme nous avons vu, les écarts de la fonction

de zéro ne sortent pas au delà des limites

""""^ sinf sinf sin^l ' ^~^ sin f sin ^ siu^ | '

et cette fonction atteint ces limites 4 fois: pour

x = sm^~j x = s\n^-

elle atteint la première limite; pour

a; = sin^|^, x = sm^^ la seconde.

§ 9. Passant à la détermination des expressions pour

r, d, Ofi, R,

telles que, d'après le § 4, la différence

se réduit à la fonction

nous portons les valeurs trouvées des coefficients dans les équations (6), ce qui nous donne

( ?2 "♦" 9 ) i sin 0) H- Oi C sin —

,|3in2^ (d2 r2)OiC8ia|-

sin ^ sin2 ^ (d» — r^) 0^0 sin ^

En outre, du triangle Âf^B^G (fig. 4). oii

il vient

d-^r = 2 sin Ç-

En résolvant cette équation- simultanément avec les deux précédentes par rapport à

nous trouvons

T • On ^

En introduisant ces valeurs dans l'équation (3), nous recevons pour la détermination de l'angle a la formule suivante:

^0-?t. s,-n '^0-^'Pt

= fsia'-(.-,,-|)-sin^|

Quant au rayon i?, il sera déterminé par l'équation (7), après qu'on y a introduit les expressions ci-dessus indiquées pour

p,, d, r, Ofi,

§ 10. Quand les valeurs de

r, d, Ofi B,

sont ainsi déterminées, la différence

310,'— R' se réduit à la fonction

{d2 — r2) O^Csin^

OÙ, d'après (5),

par suite, selon ce qu'on a dit ci- dessus sur cette fonction, la différence

entre cp = Qq, 9 = 9i ne sortira pas au delà des limites

sic folpi sin2 ÎASIZll (^2 ^2) 0, C sin ^

2 8ia?-°sm|t8iu2^

A 6iu2 Ï2- -^ (d2 - r2) Oi c sin -

2 sin ^ siu ^ sin^ ^

et atteindra la première limite, lorsque

et la seconde, lorsque

D'où il est clair que, pendant le mouvement du système considéré entre les limites

le point 31 {ûg, 5) ne s'éloigne pas du centre 0^ plus qu'à la distance M^O^,

Fig. 5.

qu'il atteint pour 9 = 90, et ne s'approche de 0^ plus qu'à la distance

Mfij^, qu'il atteint, quand cp = Çj. Par conséquent le point ilf restera entre deux circonférences concentriques décrites du centre 0^ par les rayons

(17) B, = MoO,, R, = Mfi,.

Ces rayons représenteront les grandeurs limites de la distance du p oint M au centre 0^ . Comme, d'après ce qu'on a dit plus haut, la distance MO^ atteindra sa grandeur limite Bq = MqO^, sans la surpasser, quand

le premier cercle sera tangent à la trajectoire du point ilf en un point placé sur l'axe de symétrie GMq, où

et en deux autres points, de l'un et de l'autre côté de cet axe, où

Quant à l'autre cercle, nous remarquons, qu'il sera aussi tangent à la trajectoire du point M en deux endroits, de l'un et de l'autre côté de l'axe de symétrie, où

parce que pour cette valeur de l'angle 9 la distance O^M atteint la limite It = M^O^, sans la surpasser. Outre cela, sur ce cercle se trouveront les extrémités de la trajectoire du point Jf, où il arrive, quand cp atteint sa valeur limite c^^; car pour cette valeur de 9 la distance MO^ est égale à B^ = M^O^, Quant aux rayons Bq^ B^, ils sont liés par une équation très simple, qui peut être aisément déduite de ce que nous avons dit sur les valeurs limites de la différence