GO
tang(cpj-.-f),
(21) sin»-|- = . ? , '^ , ^ ^^
On obtient de ces formules des résultats très simples dans deux cas particuliers, à savoir:
1) quand on suppose
GO, = oo, et 2) quand on suppose
Dans le premier cas le système considéré donne un mouvement, qui est très proche du mouvement rectiligne, dans le second cas le mouvement est proche du mouvement circulaire.
En nous arrêtant au premier cas, nous remarquons que, d'après (20), GO, = oo seulement pour
(22) Î.-Hf = -1-' d'où l'on a
Eu mettant cette valeur de ©3 dans l'équation (19), nous trouvons
(23) . = |sin|-|-, d = i-sin^-^i-;
d'oii l'on reçoit, après avoir éliminé sin y, l'équation simple 2 -*- r = 3 ^,
à laquelle doivent satisfaire les valeurs de r, dj pour que le système considéré, étant composé de trois droites, pût donner un mouvement assez proche du mouvement rectiligne entre les limites plus ou moins larges. Comme le centre 0, pour
s'éloigne à 00, les arcs des cercles concentriques, entre lesquels, d'après § 10, restera le point M dans son mouvement, deviennent des droites pa-
rallèles, perpendiculaires à l'axe de symétrie CM^ et dont la distance mutuelle est égale à la grandeur limite de
Bq — B^ pour
(70j = oo.
En déterminant cette limite au moyen de l'équation (18) et remarquant (fig. 5) que le rapport
OiÇ OiC o^c
Bq MqOi OiC— CMq
pour
Ofi=oo
se réduit à 1, nous trouvons que cette limite est égale à
^ sin îo^ 8in2 fi:pl (d^ - r2) sin |- ^ 8in^sin|8in2^ ^
Donc, représentant par D la distance mutuelle des parallèles, entre lesquelles est enfermée la trajectoire du point M dans le cas considéré, nous trouvons pour D la formule:
Lila^n2'P2— ?l
id!^ — r^)sm-
qui, après qu'on y a introduit les valeurs de co, 93, r, d ci-dessus indiquées, devient
Quant à l'angle a, nous recevons de l'équation (21), en y mettant Y au lieu de 9, -+- ^, l'expression
2 sin2^-sm^
■-ii-'-i)
§ 12. Les formules trouvées contiennent outre l'angle 90, qu'on suppose donné, encore l'angle 9^, qui doit être trouvé.
Afin de déterminer cet angle nous déduisons des égalités (22), (12)
ce qui doune
1 — sin Î5 1 — sia -
sin='^ = ^ — r^ir:^^ ^^, sm=^
En portant ces valeurs de
sin^Y) sin^y
dans la formule (13), nous recevons l'équation
smf(l-sin|) = sin|(l-siD^),
d'où il suit
sin ^ = 1 — sin y-
En nous fondant sur cette égalité et sur l'équation (23), qui donne
. tpf) l-+-2r
nous trouvons
mais d'après les égalités
(26) sin|=i^^sinf = 2i^
nous recevons cos
= ||/(1— r)(2-*-r), cos| = |}/(5 — 2r)(l-f-2r), -2sm2^ = ô ' cos9i=l-
in^(T-ï) = M^=-
cos9o=l-2sin^|^^-^;-^^\ cos9,= l-2sin^| = ^:^iA6p±r^
sm^ 1^ — :^)=: )^ ^= ^ = iz:£
sin ^^ . sin ^^ = H£i^t^:^^^ = | (4r— 1), sin !L.=-i|=:ili . sin !^::i^|^:^ = l cos9,-i- cos (|-f)
D'après ces égalités et d'après les équations (26), qui donnent
nous pouvons représenter la formule (24) comme il suit:
OÙ le numérateur ne contient pas les angles cp^, o^. Afin de les éliminer du dénominateur, nous remarquons que
sinîo:p sin2^Lii^|:t^ = i-sin?^ [l ^cos""^»^-"^^^]
= -1 [sin f - sin^ f -+- 2 sin^ |] cos f -t- -^ [l -4- sin f\ sin ^ cos f ;
d'où, après avoir porté les valeurs ci- dessus trouvées de
nous déduisons
sin^, sin^, cos^^, cos^
sm^o:t^sin^"-^o-^^^-^^ =
i^ []/ (5 — 2rf (1 H- 2r) -*- 4 |/ (2 H- r)« (1 — r)]; par suite, l'expression précédente de D se réduit à la formule
" (2 -H r) [y(5 — 2r)3 (1 -i- 2r) -+- 4 y(2 -\-rf [l — r)]
On détermine ainsi la distance mutuelle des deux parallèles, entre lesquelles reste le point M pendant le mouvement du système considéré, quand l'angle 9 ne sort au delà des limites 9 = cp^, 9 = cpi- Dans ce cas, comme nous l'avons vu, la valeur limite de l'angle AfiA se déduit de l'équation (25). En y introduisant les valeurs ci-dessus indiquées de
^ ^i"lT-?).
et ayant égard à ce que, d'après (26j,
lH-2r
nous trouvons l'équation suivante pour l'angle a, la valeur limite de l'angle A fi A:
