i-^ = cp
on reçoit l'équation
(28) sinf sm(î,H-|) = sin»|.
En s'appuyant sur les deux dernières égalités, on peut trouver sans peine une formule pour déterminer l'angle
d'après l'angle
au moyen duquel, comme nous le verrons, on reçoit des expressions très simples de toutes les grandeurs qui se présentent dans le cas considéré.
En effet, les équations (27), (28), après qu'on y a introduit Û au lieu de
et
(sin|sin6^ = sin^(4— ?), (31)
[sin| sin ^ = sin^ (-|- — ^).
En soustrayant ces égalités l'une de l'autre, nous trouvons (sin I- sin I) sin ^ = sin^ (l - t) " '^' (t " t)' ce qui se réduit à
(sin ^ — sin ^j sin ô = (cos Ç — cos ^) cos â. Il s'ensuit de là que
'^°^^ = -^ | = -tangî4:^S
ce qui suppose
où w est un nombre entier. Pour déterminer ce nombre remarquons que, si
?o^ cpi, 9a > ?3 sont positives et ne surpassent u, l'angle
est compris entre 0 et ^ ? ^t l'angle entre 0 et -^; par conséquent la somme
doit être comprise entre 0 et 2 tt et dans l'égalité déduite le nombre n ne peut avoir d'autre valeur que celle-ci
« = 1; donc
ce qui se réduit, d'après (30), à l'égalité (32) 0 = ^-^-^.
En revenant aux équations (31), divisons les l'une par l'autre, après y avoir remplacé
sin»(i-'f), é.%-^i) par
l-cosfô-^j l CO8(0~^) 2 ' 2
Nous trouvons ainsi
sinf i cos(e-|i)
d'où il vient
sin -1^ 1 — cos (
sin I - sin |i = cos [o - |) sin f - cos (^ — f ) sin f = ~ [sin (^ — oj) — sin (^ — cpo)],
ou encore
sin |- sin ^ = cos {^0 — ^-^) sin ^-^, ce qui donne
cos ?4^ = cos [â - '^-^) cos ^^ .
Et comme, d'après (30) et (32),
cette égalité se ramène à la suivante:
sin t]; = sin 3^ . cos ^"~^^ »
d'où nous trouvons
I • <Po~?i l/i siii2 4^ sin 24^ ■/2 C08 2(]>
\ siû —4— —y^ ^îE23^ — iîTs^î;
§ 14. Afin de déterminer les valeurs de
r, d, Ofi
remarquons que dans le cas considéré en vertu de l'égalité (27), les équations (19), (20) donnent,
^ = sin §sin ^= 2 cos ^qili sin ^^, 22 44
^ = sin ^ H- sin^ = 2 cos ^^^ sin ^^, 22 44
CO^ = - (sin f -H sin |) tang ^ == — 2 cos ?^ sin ?^ tang 6/; d'oii, après avoir introduit les valeurs ci-dessus trouvées de
il résulte
6, ?4iîi, cosî^S sin:
2 sin 4^ sin 2^1^ V2 coa 2^ . sin 2^^ ^^ 2 cos» <]>
sin34> ' ^~sin34>' ^^i — sin 34^
La dernière formule détermine la position du centre 0^ des deux cercles concentriques, entre lesquels est enfermée la trajectoire du point M. Les rayons i?^} ^i ^^ ces cercles ont, d'après le § 10, les valeurs suivantes
En remarquant que dans le cas actuel (fig. 6)
0,M, = CO, — CM, , 0, M, = CM, — GO, , nous déduisons de ces égalités
R^ = CO, — CM,, B, = CM, — (70,, ce qui nous donne
Eu y introduisant la valeur de GO, ci-dessus indiquée et remarquant que les triangles GB^M^, GB,3Ï,, dans lesquels
GB, = B,M,= GB, = B,M, = 1, GBoMo = 71 — A,Bfi= TT — 9o , GB,M, = ti — A.Bfi^ t: — cp,, donnent
GM, = 2 cos f , C/i¥j = 2 cos |-, nous recevons
^i±^' = cos 1 — cos 1 = 2 sin ?^ sin ?^», ^ozL^i==i^cos^-cos^ = ^4^-2cos^^'c
2 sin 34j 2 2 sin S^* 4 4
Après qu'on y a introduit les valeurs de
?qi?i, cos?^7^, sin?^^,
ces formules se ramènent aux suivantes:
Bq-^-Bi 2 cos 4^ sin 24^ V2 cos 24» Bq — Bi 2 cos 2<\> ,
2 sin 3^) ' 2 sin 3«i< '
d'oiî l'on voit que l'angle ^ ne doit surpasser ^, et que les valeurs de
■^0 — -Ri ainsi que de
diminuent, à mesure que l'angle ^ s'approche de -J.
D'ailleurs la première grandeur s'approche du zéro beaucoup plus vite que la seconde; donc, à mesure que ^ s'approche en croissant de -J, le rapport de la première grandeur à la seconde tend au zéro; à cause de cela la trajectoire de M, pour des valeurs de ^ assez proches de -J, représente une courbe, qui diffère peu du cercle. À mesure que l'angle ^ devient plus petit, le rapport
■Rq — -Ri . Bo-*-Bi
augmente, et la trajectoire du poiut M se modifie, passant d'une courbe, qui est peu distincte d'un cercle, à une courbe cordiforme (fig. 7).
Fig. 7.
§ 15. Nous avons montré dans les derniers §§ quelques applications des formules générales aux cas particuliers, quand la ligne brisée ABM devient une droite. Occupons- nous à présent de l'application de ces formules aux différents cas, oiî la ligne ABM reste une ligne brisée, et commençons par supposer que
ce qui a lieu, d'après (15), lorsque
Après avoir introduit cette valeur de co dans les formules (15), (16),
011 Çg est un angle auxiliaire, qui peut être exprimé en fonction des angles 9o» 9i par les équations déduites dans le § 7. Supposant en particulier
portons cette valeur de a dans la formule (36), ce qui nous donne
sin^-^sia^-^sin^(9,-Hf) sina|sin2(9,--f)-8m4| ~
Cette équation est identique à celle que nous avons trouvée dans le § 1 3 pour le cas co = ::, et au moyeu de laquelle nous avons déduit des formules générales les relations
sin1sin(ç,-^f) = sin»|, .^ = ç^h-^ = |-h.^,
OÙ
I __ ^ <Po-'-9i
nous concluons donc que ces égalités auront lieu aussi dans le cas actuel. En vertu de ces égalités on reçoit, d'après les équations (34), (35):
co = 71-4- St];,
^=: sinf -sin 1 = 2 cos î^^ ^^^ ,^ ^l^n^^^r^^^S.,
d = sin^-Hsin^ = 2cos^^^^8in^q^ = $^.
2 2 4 4 sm 3<v
Dans le cas considéré, où
les positions limites du rayon OA^ lorsqu'il tourne dans l'une et l'autre direction, coïncident, sur la ligne du centre OG (fig. 8), et par conséquent les extrémités de la trajectoire du point M coïncident à présent, de même que dans le cas précédent, sur l'axe de symétrie GM^^ et cette trajectoire représente une courbe fermée. Il est clair, de ce qu'on a montré dans le § 10, que cette courbe est limitée par deux droites parallèles, provenant, d'après l'égalité
(70, = oo,
des arcs circulaires décrites du centre 0, par les rayent B^^ B^, et que chacune de ces parallèles est tangente à la trajectoire du point M en trois points: sur l'axe de symétrie GM^ et de chaque côté de cet axe. Cette courbe est d'autant moins différente d'une droite, que les parallèles, entre lesquelles
elle est enfermée, sont plus proches l'une de l'autre. Pour déterminer leur distance mutuelle, remarquons qu'elle est égale à la distance des points Mq,
Fig. 8.
M^ de l'intersection des parallèles avec l'axe de symétrie GMq, où ces parallèles sont tangentes à la trajectoire considérée. Des triangles isocèles GBoM^, GB^M,, où
