GB, = B^M, = GB, = B,M
OFo ^0 = w — A ^0 C' = w — (po , GB,M^ = (à — AJB^ 0 = (0 — . (p 1 , on a (37) CWo = 2sin^^, Cif^ = 2 sin î?^;
donc la distance des points M^M^ se détermine par la formule if;jf, = CMj — (7ilfo= 2 sin^î^— 2 siu ^î^^,
qui se réduit à
M,M, = 4 cos [j — ^^) sin ^ ;
d'où, après qu'on y a introduit les valeurs ci-dessus montrées de
co, 2i^, sin ?^:;^,
on trouve
4 sin 2^ ^/1 coa^ 24>
On voit de cette formule que l'angle '| ne doit surpasser -^ et qu'à mesure qu'il s'approche de -^, la distance mutuelle des parallèles, entre lesquelles s'accomplit le mouvement du point M^ quand le rayon AO tourne autour du centre 0, diminue; à cause de cela, le point ilf, quand ^ est assez proche de -| , s'écarte peu de la droite, qui se trouve entre les parallèles à la même distance de chacune d'elles.
§ 16. En parlant du cas, où le rayon AO accomplit un tour complet autour du centre 0, nous avons fait des suppositions particulières concernant l'angle entre les deux parties de la ligne brisée ABC ou la distance des centres (7, O^ Nous allons montrer maintenant l'application à ce cas des formules générales, en ne faisant aucune hypothèse spéciale. Les équations qu'on reçoit ici seront plus compliquées que les précédentes; mais elles se présenteront sous une forme, qui est commode pour le calcul.
Afin d'appliquer les formules déduites dans le § 9 au cas, où le rayon AO accomplit un tour complet autour du centre 0, posons
Pour cette valeur de a l'équation (16) donne
singo:tlisingo^^sin^(a>-9,-|) sin^f 8ia2(co-ç,-f)-sm4| ~
En déterminant d'après cette équation la valeur de
nous trouvons
sin (w — 92
sin2 %
Et comme, d'après (15), pour une valeur négative de
sin(co-cp, — I) il vient
ce qui empêche au rayon r d'accomplir un tour complet, nous conservons dans l'égalité obtenue seulement le signe -i- et prenons
En introduisant cette valeur de sin ( w — Çg — y) ^^^^ l'équation (15), nous trouvons
r = sin Y -
-sin^ = 2sin^^'cos-
sin Ç -1- sin
sin
cos
Ofi
sin ( (0 — sin (^<P2-+-
sin
COS
OÙ cp2 est un angle auxiliaire, dont la valeur peut être déterminée d'après les angles ©0, 9^ par les équations données dans le § 7, tandis que l'angle (0 se détermine par l'équation (38). Et comme pour l'angle w toutes les valeurs entre 0 et 2tc sont possibles, on reçoit d'après cette équation deux valeurs de w, dont l'une donne
tandis que l'autre fournit
cos(<.-9,-f)<0, >(— ?.-f)>0-
Pour ces deux valeurs de co on obtient deux systèmes, dans lesquels la trajectoire du point M reste entre deux cercles concentriques décrits du centre 0^ et tangents à la trajectoire en trois points. Mais ces trajectoires représentent des courbes de forme différente, selon que
cos(co-9,-|) < ^.':^:::^,__±±^-.^
ou
cos(co-9, — 1)>0.
La diversité de forme de ces courbes apparaît clairement, quand on détermine la position du centre 0^ par rapport aux points de leur intersection avec l'axe de symétrie GM^.
§ 17. Pour évaluer la différence
