CM,, CM

nous recevons d'après (37), (39)

. / Ço «^ \

^oz:^ = siu ^!^ - sin îî^,

ce qui se réduit aux formules suivantes:

:?»z^ = 2 sin î^ cos (f — îî^pi).

Nous les avons trouvées en supposant que les points Mq, M^ sont situés plus bas que le centre 0^. Dans l'hypothèse contraire, nous recevons les mêmes formules, mais accompagnées du signe — . Donc, pour embrasser les deux cas, prenons les formules avec le double signe ±. Dans les formules

^^^ = ± 2 sin 5

/(^ cp0-»-9,\

ainsi obtenues il faut garder l'un ou l'autre signe, ce qui se détermine par la condition que la demi-somme

ne peut pas être négative.

Passant au cas

cos(<o-ç,-|)>0,

quand, d'après le § 17, le centre 0^ est situé entre les points Mq, Mj, et supposant (fig. 9) que le point Mq est au-dessous du point M^ , nous trouvons

0,Mo = GO, — CM, , 0,M, = CM, — GO, ,

et par suite, d'après le § 10, nous aurons

B, = GO, — GM^, B, = GM, — GO,, ce qui donne

Si nous comparons ces égalités avec celles que nous avons reçues pour le cas

cosito — ?2 — f

nous remarquons qu'ici on a pour la demi-somme

Bq -*- Ry

la même expression, qu'on a trouvée plus haut pour la demi-dififérence

Bq — -Ri 2 '

et vice-versâ. Donc, en appliquant les formules ci-dessus trouvées au cas considéré, nous aurons

^0^ = 2 sin ^^ cos (l- - 5^),

Bo-B,^ sm--cos 21^ sm (--9,-^1^) 2 ~ . / 9o w \

Ces formules concernent le cas, où le point M^^ est situé au-dessus du point Mq. Pour la position inverse des points M^, M^ on reçoit les mêmes formules, mais avec le signe — ; et par suite nous aurons en général

^4^ = ± 2 sin ?i=ii cos (f -2^),

M Ço — 9i sm — '^^'^ — —

^.o(^-,,--=ll)

oii il faut retenir celui de deux signes ±, qui donne pour

J?o -*- El

une valeur positive.

Les formules déduites contiennent, comme cas particuliers, les formules que nous avons trouvées dans les §§ 13 et 14, en supposant que l'angle ABC est égal aux deux angles droits, et dans le § 15, oiî nous avons supposé que la distance O^G est infinie. Les premières de ces formules proviennent des formules générales, qui ont lieu pour

cos(co — (p3— f)>0,

et les autres dérivent des formules obtenues dans le cas

COs(a,-9,-f)<0.

On retrouve les premières formules pour

et les secondes pour

Nous avons vu que dans ces cas particuliers la trajectoire du point M présente deux formes différentes (fig. 6, 8). Dans le cas général on obtient aussi des trajectoires de deux formes différentes, selon le signe de cos(co — cp2 — f). Si

cos(co-9,-|)>0,

la trajectoire a la forme de la courbe, dont nous avons parlé dans les §§13 et 14. Mais si

la trajectoire sera une courbe semblable à celle, dont nous avons parlé dans le § 15, mais avec cette différence, qu'ici (fig. 10) les droites parallèles

sont remplacées par des arcs des cercles concentriques, décrits du centre 0^ avec les rayons Rq, B^.

§ 19. Dans les §§ précédents nous avons considéré le cas, quand l'angle AqOA varie entre les limites les plus larges, passant de — ir à -h ir.

Occupons nous à présent du cas contraire, en supposant que l'angle JqOA reste entre les limites infiniment proches de zéro. Supposons pour cela que a, la valeur limite de l'angle AfiA, reste infiniment petite. On voit de l'équation (16) que pour une valeur infiniment petite de a la différence

est aussi infiniment petite; donc, en négligeant les grandeurs infiniment petites devant les grandeurs finies, nous aurons dans le cas considéré

et par suite

parce que, d'après le § 5, l'angle cpg doit être compris entre les angles op^, cp^. Substituant ces valeurs de cp^, cpg dans les équations (15), nous recevons pour r, d, GO^ les formules suivantes:

.(!,„) eo.(^-|)

™.| 2 3in|cos(f-,„),io(|-f)

co.

î sin ^ cos

Si nous remarquons que pour ces valeurs de cp^, cpg il vient

.^^^sia^(.-,

i) sinçosia2(co-^)

ition i

sm9oSm2((o-^«)

nous déduisons de l'équation (16) la relation suivante entre les angles infiniment petits a et cp^ — 9,^: , .

ce qui donne

(42) ?o-?i= ^ /^,^, ^ a^= sm(co-ço)8m(co-2cpo)^ ^,^

2 sin Çq sin'

Passant à la détermination du rayon Bq d'après le § 10 et supposant (fig. 11) que le centre 0^ est au-dessus du point M^^ nous trouvons que

Fig. 11.

Introduisant ici la valeur de (70, ci-dessus trouvée et changeant, d'après (37), C!Mo en 2 sin ^"^^^j nous recevons

: 2 sin -

Nous avons déduit cette formule, en supposant que le centre 0, se trouve au-dessus du point M^. Dans l'hypothèse contraire, nous trouverons la même formule, mais avec le signe — , de sorte que pour embrasser les deux cas, nous écrirons cette formule avec le signe double.

Dans la formule

i?o = ± 2 sin !

ainsi obtenue, il faut conserver le signe, qui donne pour Bq la valeur positive.

Ayant le rayon Mq, on peut, d'après la formule (18), déterminer le rayon R^ par l'équation