PAR DES FRACTIONS SIMPLES

(TRADUIT PAR G. A. POSSÉ.)

(Lu le 14 mars

(Traduit par A. Vassilief, à Kasan. Annales scientifiques de l'Ecole Normale supérieure. III série, XV, 1898, p. 463—480.)

6 npuSAUojcdUHUxis êupa:^cHi^coià Madpamuazo âopu^ ncpcM^hunoû X'Cpcsh npoomuji dpoSu.

IIpHjioKeHie k-bLXI TOMy SanHCCKt HsinepaTopcKofi AKa;i,eMiH HayKi., JVà 1, 1889 r.)

(Ûbersetzt von O. Backlund. Acta mathematica. XVIII, 1894, p. 113—132.)

Sur les expressions approchées de la racine carrée d'une variable par des fractions simples.

§ 1. Dans l'évaluation des quadratures on est souvent obligé de remplacer les fonctions offrant des difficultés à l'intégration par leurs expressions approchées. Lorsqu'une difficulté pareille provient de la présence d'un radical du second degré, on pourra employer très utilement l'expression approchée du radical

par une fonction de la forme

Gi-i-x C^-t-x ' ' • Gn-t-x

qu'on obtient à l'aide du premier théorème démontré dans notre Mémoire, sous le titre: Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions'^). Quand on se propose de diminuer autant que possible la limite de l'erreur relative pour toutes les valeurs de a;, de a; = 1 à ic = 7i > 1 , la meilleure représentation du radical

par une fonction de la forme

Sj . B,

C'i-f-a; Cj-

sera celle, pour laquelle les rapports

Vï

Ci^x^C2-i-x^"'~^Gn-^x \ -^

s'écartent le moins possible de 1 entre a; = 1 , x = li.

Nous pouvons trouver une telle représentation du radical

au moyen du théorème mentionnée ci-dessus, en l'appliquant à la détermination des valeurs

pour lesquelles le logarithme du rapport

Cl-»- a; Cz-i-cc C„-t-x

A-t-yz — * »-77-^^ *-'---^7r-^ —

Ci-i-x Cg ~*~ ^ Cff-t-x

s'écarte le moins de 0, x variant de ic = 1 à x = li. Supposant que dans l'intervalle a; = 1 , a; = /j les valeurs extrêmes de ces rapports soient

nous nous convainquons, en vertu du théorème mentionné, de la possibilité d'approcher ces limites à 1 par un changement convenable des 2w -+- 1 quantités

A^ P,, ^2,...^„, Cj, Cgj.-.C^,

qui figurent dans la fonction

Bi Bo Bn

si, dans l'intervalle de x=l à x = h, elle atteint les valeurs extrêmes

moins de 2n-*-2 fois.

Il en résulte que la plus grande approximation des limites

à l'unité ne peut avoir lieu que pour de telles valeurs

A, B„ B„...B^, C\, C„...G„, pour lesquelles la fonction

(1) J,= yï[^H-^-H,-^^-H...-H^J

dans l'intervalle

atteint au moins 2n-*-2 fois les valeurs l, y, sans les franchir.

Nous allons montrer maintenant comment d'après cela se détermine la quantité / et la fonction y, qui donnent la solution de nôtre problème.

§ 2. Comme la fonction y, se réduisant à / ou y pour une valeur de X entre x= 1 et x=: h qui ne rend pas

1 = 0 et qui est différente de

dépassera évidemment les limites Z, y, ils doivent exister, d'après ce qui précède, au moins 2w -h 2 différentes valeurs de x, dans l'intervalle de x= l â x = h, susceptibles à vérifier l'équation

en même temps que l'équation

dont les premiers membres représentent d'après (1) des fractions rationnelles au dénominateur commun

{G,-^xy iG,-t-x)\..{G^-^xy

et aux numérateurs de degré An-\-2.

Or d'après la constitution de ces équations il est clair que leurs racines communes autres que

rr= 1, x:=h,

doivent être racines multiples; par conséquent ces équations ne peuvent avoir lieu simultanément pour 2w -h 2 différentes valeurs de x, sans avoir 4w -+- 2 racines communes, égales ou inégales, ce qui suppose leur identité, card'après ce qui précède, elles se réduisent à des équations de degré 4w-+-2. Or ces équations ne peuvent être identiques que sous la condition

(P -y^){l-P f) = G (ly x{l—x)ih- x),

où 6' est une constante; d'où il résulte l'équation différentielle: (2) VG- '-^ '-^

Parmi les diverses fonctions y^ qui satisfont à cette équation pour des valeurs quelconques des constantes l et (7, il est facile de distinguer celle qui donne la solution de nôtre problême.

Remarquons dans ce but que d'après (1) l'égalité

se réduit à une équation de degré 2n, et par conséquent la dérivée ^ ne peut s'annuler plus de 2w fois, depuis rc = 0 jusqu'à rr = h- oo.

Or d'après ce qui précède elle se réduit à zéro au moins 2w fois dans l'intervalle

donc elle ne peut point s'annuler dans les intervalles

iC > /ï, X = -t- CXD,

tandis que dans l'intervalle

x= 1, x = h elle doit s'annuler 2n fois.

En vertu de cela, l'équation (2) donne entre les intégrales définies

dx dx

I Vx (l — x) {h - X)' Vx {X — 1) {h — x)^

r ày n ày

la relation suivante

ày r dx

jA'^'~y'){i~l^y'^) Vx{l-x){h~x) (3) -V - = (2n-Hl)'A

J y(y2-i2)(l î2y2) J^VX(X-1)(A X)

§ 3. A l'aide de cette égalité il est facile de calculer la valeur de l d'après la valeur du rapport des intégrales

j dx I dx

Vx{l—x) {h — x)^ Vx {X —i){h — x)'

Jq Jj

Parmi ^les diverses formules, dont on peut faire usage, nous allons choisir dans le cas actuel celle qui suit:

(4) 1^=1 — iQq^'

où

l-gl2nH-6 H../

H- gzn-t-i

J^ Vxil — x){h-x)

q-^e 'i Vx{x-i)(h-x)^

Cette formule fait bien voir avec quelle rapidité, lorsque le nombre n augmente, les quantités Z, y s'approchent de l'unité, et par suite l'erreur relative de la formule

qui donne la valeur approchée du radical

dans l'intervalle de.a; = 1 k x = h, diminue.

Désignant par â une quantité moyenne entre 0 et 1, nous trouvons pour représenter toutes les quantités renfermées entre l, y la formule Z^®~^ ; par conséquent, d'après ce que nous avons montré à l'égard de la fonction

on aura l'équation suivante pour la détermination du radical l/^: (5) •i/I=:Z^-^«r^H__A__^i__^ H— ^1

yx l^ G,-i-x^ C^-^x^" '^Cn-^-xJ-

§ 4. Les quantités

qui figurent dans cette formule se déduisent facilement de l'expression de l'intégrale de l'équation (2), qu'on obtient supposant que l'équation (3) ait lieu.

Représentant cette intégrale sous la forme

nous trouvons que les quantités

A, B„ B„...JB„, C„ C„...G„, se déterminent à l'aide des fonctions elliptiques au module

Vl—k^ sin2 o

par les formules suivantes

L 2n-»-l 2n-i-l 2nH-lJ

2Vhdn cn2

D 2n-\-l ^ 2w-Hl ,

^m— 2mi: r ^^ 2^ „, 2n^ H ' ^m ~ „ 2m£: ''*

' sw2 1 -+- 2 cZn r H- ... -4- 2d» r sn^

Remarquant que la fonction

-, 2mK

an K :

se réduit à l'unité pour m = 0 et ne change pas par le changement de m en — m nous pouvons représenter la somme

sous la forme

> an r Tj

le signe de la somme étant étendu- sur les valeurs

D'après cela nous aurons

2 Vh dn

2mK m ^ ^ 2mK X? j 2mg

2 y /} dn -

2dn

2mK , 2mir

n T7 ^-Ho;

„ 2mS:

Comme l'expression

2mK , 2mZ , , 2mir

on r xsn^ -, -t-hcn^ ^

, 2mK ^^2^^ Vh

* y "^ ?; r ^sw 7ï T -*-hcrfi

se réduit pour m = 0 à

ce qui est égal à A^ et ne change pas de valeur par le changement du signe de m, on voit qu'en prenant la somme de ces expressions pour les valeurs suivantes de m:

on obtient l'expression de la somme

Ci-+-x Cg-t-a; G„-*-x

Par conséquent, d'après (5) on aura la formule suivante pour l'évaluation du radical

pas les limites x=l et x = h:

.-r , 2mK

Vhdn

„ 2niK , , 2mK 2n -H 1 2n -»- 1

^^ 2nH- 1

§ 5. L'égalité que nous avons obtenue donne le moyen de déduire facilement une formule qui fournit les limites de la valeur de l'intégrale

Jfr'

à l'aide des intégrales contenant la fonction V hors du signe du radical.

Il est nécessaire pour cela que les fonctions Z7, F restent positives pour toutes les valeurs de la variable sur lesquelles s'étend l'intégration.

Désignant par

les limites que la fonction V ne peut franchir, nous remarquons que l'expression

F Mo

restera entre les limites

^' Mo'

et par conséquent entre les limites

1, h, si

D'où l'on voit que pour les valeurs de w, sur lesquelles s'étend l'intégrale

l'égalité (7) est applicable à en supposant

Vv '

''Mo'

En substituant ces valeurs de rr et ^ dans l'égalité (7) nous obtenons

ce qui donne après la réduction du facteur commun VMq:

,— , 2mK

^^ „ 2mK -. „ 2mK

Z2e y dn -

D'ailleurs la fonction U restant, par supposition, positive pour les valeurs de u sur lesquelles s'étend l'intégrale

Udu Vf'

on aura, d'après l'égalité précédente, où â est une quantité inconnue entre 0 et 1, la formule

r nri , 2mK ^^.

^. „ 2mJr - , 2mK 2n -t- 1 2n -H 1

Udu

W^^ „«X^ , 2mF

Z2» V cfn -

Cette formule a été obtenue en supposant h = ~-

Mo'

par suite d'après (6) nous aurons

Ce qui nous donne une relation entre les quantités M, M^ que la fonction F ne doit dépasser dans les limites de l'intégration, et le module fc, dont on se sert pour former la formule (8) et l'équation (4).

Désignant pour abréger

2mK 2W-I-1

par s^ nous trouvons

2mK -,/:; — ^. , 2mK

et d'après cela, en posant

(10) iS=l-f-2 Vl— &3Si2-i-2 Vi—fe^Sa^ -+-... H-2 Vl— fe*s„^

,, ,. ^, . VM Vl - k^ .s2 r ?7<)u

(11) -Z^(5)= s J Fs=-^itf(l-s2)'

nous aurons en vertu de (8):

La quantité â étant comprise entre 0 et 1 , cette égalité donnera pour ^ ^ 0 et ^ = 1 les deux limites de la valeur de l'intégrale f -^ du:

^du^ F{0) H- 2Fis,) -4- 2F (s,) -f- . . -t- 2F (s^),

^ du^} [F{0)-^-2F{s,)-^2Fis,)-^ . .h-2F(sJ],

où l est une quantité déterminée par l'égalité (4) dont la composition montre que l s'approche rapidement de l'unité lorsque le nombre n augmente.

§ 6. Passant aux applications des formules que nous avons déduites, commençons par le cas:

U==\, V=l — X^sin^w,

où X < 1 . En prenant 0 pour limite inférieure dans l'intégrale

Ç Udu__ f du

J 'i^V'~J Vl — X^sin^u

nous trouvons que la plus grande valeur de la fonction

V= 1— X2 sin2 u

dans les limites de l'intégration est 1, et par suite d'après notre notation nous pouvons prendre

Pour cette valeur de M l'équation (9) donne

Mq étant la limite inférieure de la quantité

F=l— X^sin^w, que celle-ci ne doit dépasser pour que la formule (12) soit appliquable.

Or la fonction V ne devant pas franchir la limite M^ pour toutes les valeurs de u sur lesquelles s'étend l'intégrale

pour toutes ces valeurs de u^ on doit avoir

1 — X^ sin^ w > 1 — Â;'', et par conséquent

sin w <y

cette condition sera évidemment remplie pour toutes les valeurs réelles de m; donc dans le cas de

on pourra appliquer la formule (12) à l'intégrale

Vl — X2sin2M'

XI étant aussi grand qu'on le veut.

Quant au cas de

la condition précédente ne sera remplie que pour des valeurs de u qui ne surpassent pas

arcsin y;

par conséquent dans le cas actuel nos formules ne sont applicables à l'intégrale

Vl — X2 8in2 u

que sous la condition

u < arcsm y

Substituant dans la formule (11)

U=l, F=l— X^sin^î^, M=l,

et prenant 0 pour limite inférieure de l'intégration, nous trouvons que dans le cas considéré

Fis)

X2 sin2 u) s2 H- 1 — «2

= "^l-^l"' arc tang (Vl — X^ s' tang u), A l'aide de cette fonction et les quantités

qui se déterminent (§ 5) par la fonction elliptique au module h, nous obtenons d'après (12) une équation donnant les limites de la valeur de l'intégrale

Vl X2 sin2 M ' ^0

qui se rapprochent rapidement lorsque le nombre n augmente. § 7. En nous arrêtant à la supposition particulière

et par conséquent l'équation (4), qui détermine la valeur de l pour diverses valeurs de w, se réduit à la suivante:

74 1 1 a^— (2n-f-i) % /lH-e-(^»-t-2)-g-He-(i2n-*-6)iCH-.. . \8

Cette équation pour

^ = 1,2,..., donne

D'où l'on voit avec quelle rapidité se rapprochent, pour des valeurs croissantes de w, les deux limites de la valeur de l'intégrale

fournies par la formule (12).

En posant dans cette formule n=l, nous obtenons

L'équation qui détermine S se réduisant pour

à l'égalité

sn ^ = s,==: 0,9002272,

en vertu de quoi, d'après (11), pour A; = j/y il résulte F {s

l/ 1 — 4- «2 arc tang {Yl~l^s^ tang u)

2,5424598 Vl — X2 s2

En faisant ici

s=0, s = Si = 0,9002272, nous trouvons

0,3033401 arc tang (/l — 0,8104089 X^ tang m)

Fis,)--

yi— 0,8104089X2

ce qui, étant substitué dans l'égalité (12), donne la formule suivante pour l'évaluation de l'intégrale

I yi— X^sin^M •^0

J r^QûQ3|ûg 0,6066801 arc tang (Vl — 0,8104089 X^ tang u)!

ï*^ L ' ~^ yi— 0,8104089X2 J*

Posant w = 2, nous trouvons que dans le cas considéré l'égalité (12) se réduit à la suivante:

j^g- LdM-i-^ arc tang (Bj tang u)-*-^ arc tang {E^ tang a) L

où

J?^=yi — 0,4262988 X^; J?2= Vl —0,9313131 X^ Des formules semblables par rapport à l'intégrale

l -*-p sin2 u du

s'obtiennent de l'égalité (12) eu y posant

TT 1 -H P Sin* u T7- 1 -i 9 • 9

U = -, — ■ o ■> V=l —Af mn^ U.

§ 8. En substituant dans l'égalité (12) au lieu de C/ et F diverses fonctions, nous obtenons des formules qui donnent les limites des valeurs des intégrales de la forme

r Udu

Jvf'

dont l'évaluation présente souvent de grandes difficultés. Ainsi, posant

F= 1 — X^ sin^ u; U=0 (tang u),

où 0{tg II) est une fonction qui conserve le signe -+- dans les limites de l'intégration, nous trouvons

0 (tang m)

Vl — X2siii2

= àu=:^ [F(0) -I- 2F{s,) -*- 2Fis,) h- ... -h 2F(s„)],

7^-, . K Vl — k^s'^ 0 (tang u) c)w

-'o Ces formules, d'après ce qu'on a remarqué dans le § 6, auront lieu pour toutes les valeurs de w, si

En supposant cette condition remplie et prenant — V^^^ ^^ limite supérieure de l'intégration, nous tirons de ces formules:

Ç^ <Z> (tang u) du

p/ >>>^1— fc^fiZ f ^ (g (tang «) du

Posant dans la dernière intégrale

tang u = ^, nous trouvons qu'elle se transforme en

en vertu de quoi l'égalité (11), qui détermine la fonction F {s) dans le cas considéré, se réduit à la suivante

D'oii l'on voit que la formule qu'on obtient pour l'évaluation de l'intégrale

JO (tang u) du Vl — X2 siu2 u '

ne contiendra que des intégrales de la forme

Q {z) dz

dont la valeur est connue pour certaines formes particulières de la fonction Ainsi, dans le cas où

nous trouvons

O (z) dz zP—'^ dz

^0 ''O 2sin Ç (l-X2s2^2

et d'après cela, en déterminant l'intégrale

0 (tang m) du " tangP i u du

Vl—l^sia^u /l— X2sin2M

au moyen de l'égalité (12), nous aurons

2 sin Ç (l— X^s^jz S

par coDséquent cette égalité donne

yi — X2 8in2 t

Z2«^8inÇ

d'où, en substituant la valeur de S, tirée de (10), nous obtenons

1:, 1 , 2l/ i-^'^i' , , 01/ i-fc^% p-i«^» 2 "^ ^^^ V (l-X2V)P^---^^ K (1-X2 V)P

yi— X2sin2tt ^26910^ lH-2 yi— ;c2 5^2^.^2 yi fc2g^2

Dans le cas particulier, où l'on prend k = y— et w = 1, cette égalité, en y portant la valeur

s^=sn ^=0,9002272, donnera pour la détermination de l'intégrale

^ tangP— ^ u du yi — X2 ain^w'

pour ^ < l/y, ïa formule suivante: