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SDR LES SOMMES COMPOSÉES DES VALEDRS

DE MONÔMES SJMPLES MULTÎPHÉS PAR DNE

FONCTION QDÎ RESTE TODJODRS POSITIVE.

(TRADUIT PAR ». SÉLIVANOrr.)

(Lu le 9 octobre 1890.)

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Sur les sommes composées des valeurs de monômes simples multipliés par une fonction qui reste toujours positive.

§ 1. En développant une fonction f{x) suivant les puissances ascendantes de la différence

on obtient une formule servant à exprimer approximativ ement la fonction f{x) sous la forme d'un polynôme dont les coefficients se déterminent par les valeurs de la fonction primitive

et ses dérivées

pour X =X. En développant f{x) en une série de forme plus compliquée

où

sont des fonctions de la variable x indépendantes de f{x)y on obtient pour la détermination des coefficients

des formules pouvant généralement être présentées sous la forme suivante

Les fonctions

?oW, ?l(^), ?2W' ,

qui y entrent, et les valeurs de la variable x^ aux quelles s'étendeut les sommes, dépendent de la nature des fonctions

servant à la formation de la série (1).

Dans les cas singulièrement simples, quand les fonctions

sont des polynômes des degrés

ces sommes se décomposent en sommes élémentaires

et alors les expressions approximatives de f{x) données par la formule

(3) fix) = K, U,-*-K, U.-ir-K, U,-^. . . .

s'obtiennent à l'aide des sommes (2) formées avec les valeurs de monômes

multipliées par f{x-).

Les expressions approchées de la fonction f{x) ainsi obtenues diffèrent essentiellement de celles qu'on déduit par le développement de la fonction t\x) suivant les puissances de la différence x — X et qui donnent des polynômes les plus rapprochés à f(x) dans le voisinage de x = X

Ayant un moindre degré de précision, quand il s'agit de calculer f{x) dans le voisinage de x = X, ces expressions approchées donnent en certains cas une meilleure représentation de la fonction f{x) pour les valeurs de X variant entre des limites plus ou moins étendues.

Ainsi il résulte de notre Mémoire «-Sw l'interpolation par la méthode des moindres carrés» '^), que la série (3) avec les fonctions

déterminées par le développement de la somme

^^^ X — Xi

eu fraction continue, et avec les coefficients

/iTo, K^, Kr,,. . , ,

composés Iméairement à l'aide des sommes

donne l'expression approchée de la fonction f{x) sous forme d'un polynôme du degré plus ou moins élevé se distinguant de tous les autres polynômes du même degré par la moindre valeur de la somme qu'on obtient en additionnant les carrés des écarts des valeurs de ce polynôme des valeurs de f{x.) servant à développer f{x) en série (3). En passant à la limite, quand toutes ces valeurs f{x.) se confondent avec f (X), ce polynôme se réduit à l'expression approchée de la fonction f(x) qu'on obtient en développant cette fonction en série suivant les puissances ascendantes de la différence X — X. Cette expression représente f{x) avec la plus grande approximation pour X infiniment voisin de X

On obtient une formule plus générale pour le calcul approché de la fonction f{x) au moyen des sommes

2^i°A^.-), y,^<fi^i), '^'^i'^i),

par la méthode que nous avons indiquée dans le Mémoire (^Sur les fractions continues» *). Cette formule se présente sous forme d'une fraction

F{x) Foixf

dont le dénominateur F^ {x) est une fonction arbitraire positive pour toutes les valeurs x = x.; le numérateur F{x) est un polynôme du degré plus ou moins élevé. La fraction ainsi obtenue pour l'expression approchée de la fonction f{x) se distingue de toutes les autres fractions ayant le même dénominateur Fq{x) et le numérateur F{x) du même degré par la moindre valeur de la somme

Il en résulte que les sommes de même que les dérivées

f\x), f'ix), rw,....,

peuvent servir à déterminer la valeur approchée de la fonction f{x) pour les valeurs de la variable x contenues entre des limites plus ou moins éloignées.

*) T. I, pag. 203—230.

D'après ce que nous avons indiqué*) sur les intégrales

[ f{x) dx, J xf{x) dx, J x^f{x) dx, ,

aux quelles se réduisent en limite les sommes

^^'.'•m), ^^im, Xo'^'fi^ù,

ou voit que ces sommes, de même que les dérivées

peuvent servir à la résolution des questions concernant la fonction f{x)^ essentiellement différentes du calcul par approximation des valeurs de la fonction pour les différentes valeurs de la variable x. Les résultats obtenus ont lieu aussi pour la fonction discontinue f{x)\ il est cependant nécessaire que cette fonction ne devienne pas négative pour les valeurs considérées de la variable œ. Cette condition se trouve réalisée dans plusieurs questions des Mathématiques pures et appliqués présentant, à cause de la discontinuité, des difficultés insurmontables pour l'application du calcul différentiel. Pour cette raison les sommes

formées des produits des quantités positives

et des différentes puissances des quantités réelles

sont bien dignes d'attention. Nous allons montrer maintenant, comment, eu connaissant les valeurs de ces sommes, on peut déterminer la limite inférieure de la plus grande des quantités

^0) ^IJ ^25 • • • '^n—\1

et la limite supérieure de la plus petite de ces quantités.

En supposant données les limites entre lesquelles sont contenues les quantités

^Oj ^15 ^2» • • • '^n — \

*] Sur les valeurs limites des intégrales. T. II, pag. 183—185. Sur la représentation des valeurs limites des intégrales par les résidus intégraux. T. II, pag. 421—440, Sur les résidus intégraux qui donnent des valeurs approchées des intégrales. T. II, pag. 443—478. Sur les sommes composées des coefficients des séries à termes positifs. A la fin du T. II.

dans les sommes

nous ferons voir, comment par les valeurs de ces sommes on peut déterminer les maxima des sommes qu'on obtient par addition des termes de la série

fW, fi^i), fW. — fK-i)'

correspondant aux termes consécutifs de la série

Xq, a?j, X^, . . . .X^^j

n'atteignant pas plus ou moins l'une de ses limites. D'après les formules pour ces maxima on obtient facilement les valeurs limites de l'intégrale

f{x) dx

dans le cas, où l'on connaît les valeurs des intégrales

f{x) dx, X f{x) dx,. . . . x^~^ f{x) dx,

la fonction f{x) ne devenant pas négative entre x = a ei x=^'b et la quantité u étant supérieure à a et inférieure à h.

§ 2. En posant

f W = 2/o 1 fi^i) = Vi , fW = ^2 , . . . . , fK-l) = yn-ii n n n n

on trouve que les quantités

Voi yi, 2/25 Vn-i

sont liées par l relations

(4) 2^'°2'.-=^«' 2^'%=ci. ^x<'yi=o, 2*/~'î'<=^'-.'

où, d'après le § précèdent, les quantités

Xq, a^j , ^2 5 • ■ • • ^n — 1

ne sont pas imaginaires et les quantités

ne sont pas négatives.

En développant la somme

^^ X — Xi

suivant les puissances descendantes de x^ on obtient l'égalité

qui prend, au moyen des équations (4), la forme suivante

^ X — Xi X X2 ^l ^Z-f-1 ^^ t ^t

Il en résulte clairement que pour satisfaire aux équations (4) par des valeurs de

Xq, X^, X^j , . . . x^ ^ ,

Po^ 2/n 2/25 Pn-i

il est nécessaire et suffisant que la somme

soit égale à l'expression

au terme contenant \ près.

D'autre part, à cause des propriétés indiquées des quantités

2/o: Pi. y^l 2/n-i»

la somme

dans l'intervalle deic = — oo à x = -^oo devient infinie pour n valeurs

^Oj ^i> ^3'* • • '^n— 1'

en passant toujours de — oo à -*-cxd.

En se servant de la notation de Cauchy*) on obtient

-♦- oo n

X Xf

-oo O

6/ ^m^ X — Xi