iu

(2) tù = — = ( 1 -, 2 7t (Mallard).

Cet angle tu ne devant pas être nul, on tire des inégalités

des conditions de possibilité pour q et q' . Les seuls cas possibles sont :

avec

Les deux derniers cas ne se distinguent pas des deux précédents. Dans les systèmes sphéroédriques, tous les axes sont d'ordre inférieur à 6 (Bravais).

31. En se servant des équations (2) et des équations (1) n = pq = p' q' = p" X 2,

on arrive aux trois types suivants comme étant les seuls possibles :

ior groupe.

2e groupe.

3e groupe.

(12L5), (20L3), (ioL2), CJ°.

32*. Les axes binaires des trois groupes et tous les axes des deux derniers groupes doivent être des axes doublés. Les axes ternaires du premier groupe sont au contraire des axes simples et les axes des deux espèces d'axes ternaires de ce groupe sont inverses l'un de l'autre.

33. Pour les trois types que nous venons de considérer, on peut toujours construire l'angle polyèdre régulier, jouant le rôle

de polyèdre adhérent à l'un des axes. Ce polyèdre d'angle solide -

4tc

et d'angle dièdre —7- sera unique.

34*. Avec l'angle polyèdre précédent, on pourra toujours construire un système cohérent. Ce système sera unique.

Les trois types précédemment considérés existent donc et il n'existe qu'un système répondant à chacun d'eux.

Systèmes à axes principaux. — (Systèmes possédant un axe doublé, unique de son espèce.)

36. Les portions adhérentes à chacun des axes comprennent toutes les directions correspondant à un hémisphère.

37. Les autres axes du système ne peuvent se trouver que dans le plan normal au premier axe qui sépare les deux hémisphères.

38. Ces axes sont tous binaires, ils doivent être en nombre iq (q étant l'ordre de l'axe doublé).

Ces axes binaires sont de deux espèces, q de chaque espèce. C. 5

Les axes successifs forment entre eux des angles égaux et sont d'espèce différente.

Notation générale (2L?), qh'2, ^L"2, C'lq.

Lorsque q est pair, les axes binaires sont doublés; lorsque q est impair, ils sont simples, et un axe d'une espèce a pour inverse un axe de l'autre.

L'axe doublé peut être d'un ordre quelconque.

39. Systèmes à une seule direction cV axes. Systèmes possédant un axe unique et son inverse. — Ce système, comprenant évidemment un seul type, peut exister, et l'axe peut être d'un ordre quelconque L?, /?, G^.

40. Cas des axes d'ordre infini ou d' 'une infinité d'axes. — Lorsqu'il existe deux directions d'axe d'ordre infini (d'isotropie) ne constituant pas un axe doublé, toutes les droites sont des axes d'ordre infini de même espèce. C'est le cas des systèmes sphériques (ooLM), Cr.

41. Lorsqu'il existe un seul axe d'isotropie doublé, les autres axes qui peuvent et doivent exister sont des axes binaires en nombre infini, situés dans un plan normal à l'axe d'isotropie (n°19).

On est évidemment dans un cas particulier des systèmes à axes principaux (2L°°) (goL2)Cr.

42. Il peut encore exister un seul axe d'isotropie et son inverse d'une autre espèce. Cas particulier des systèmes à une seule direction d'axe, L°°, /", Cr.

43*. Il ne peut exister une infinité d'axes d'ordre fini supérieur

44*. Lorsqu'il existe une infinité d'axes d'ordre 2, le seul cas possible est celui des systèmes à un seul axe d'isotropie ■doublé (n° 41).