I \ 2TT

Les rotations dans les q transformations symétriques seront d'angles ( k H — j — [avec k égal à o, 1, 2, . . . , (q — 1)].

On dit que l'on a un plan de symétrie alterne à pôle d' ordre q. Un plan de symétrie alterne ne jouit plus des propriétés des plans de symétrie dans le sens ordinaire du mot, c'est-à-dire que le système ne se confond pas avec son image prise par rapport au plan.

A un point correspondent [q — 1) autres points homologues du premier par répétition, les q points homologues étant situés dans un plan normal à l'axe de répétition et aux sommets d'un polygone régulier de q côtés, l'axe passant par le centre de figure de ce

polygone. Au premier point correspondent encore q points symétriques; ceux-ci peuvent être obtenus en prenant les images, par rapport au plan de symétrie alterne, des q points homologues par

répétition et en faisant tourner ces images d'un ane-le ée-al à - —

0 b fe 2 q

autour de l'axe de répétition. On voit que ces points symétriques alternent, dans leur position autour de l'axe, avec la position de ceux que l'on obtiendrait si l'on avait affaire à un plan de symétrie directe à pôle de même ordre, ce qui justifie la dénomination que nous avons adoptée.

La figure 3 représente les homologues par répétition et par

Fis. 3.

symétrie d'un point a dans le cas d'un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre 3, II3.

Contrairement à ce qui arrive lorsque l'on a un plan de symétrie directe, le pôle d'un plan de symétrie alterne ne peut être un centre de symétrie lorsque son ordre q est pair, et il est, au contraire, nécessairement un centre de symétrie lorsque q est impair. Dans ce dernier cas, une des q transformations symétriques du plan est aussi une transformation par centre de symétrie.

Un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre î comporte une seule transformation symétrique indifférente qui consiste à faire tourner le système d'un angle tz autour de la normale au plan menée par le pôle, puis à en prendre l'image par rapport au plan. Cette transformation symétrique est équivalente à une transformation par centre de symétrie, le centre se confondant avec le pôle du plan.

Donc ce sont des expressions équivalentes que de dire qu'un système possède un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre i ou de dire qu'il possède un centre de symétrie.

15. En résumé : lorsque, dans un système symétrique, un point o est son propre symétrique, il doit toujours y avoir, passant par ce point, soit un plan de symétrie directe à pôle d'ordre q, soit un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre q; le point étant le pôle de ces plans.

Lorsque q est pair, l'existence d'un plan de symétrie directe d'ordre q entraîne celle d'un centre de symétrie au pôle o (les propriétés du centre étant, du reste, entièrement contenues dans les propriétés du plan à pôle d'ordre q).

Lorsque q est impair, l'existence d'un plan de symétrie alterne d'ordre q entraine celle d'un centre de symétrie au pôle o (les propriétés du centre étant encore entièrement contenues dans les propriétés du plan de symétrie alterne).

Au contraire, l'existence d'un plan de symétrie directe à pôle d'ordre q: avec q impair, ou celle d'un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre q, avec q pair, est incompatible avec celle d'un centre de symétrie au pôle o.

Un plan de symétrie directe d'ordre i est un plan de symétrie dans l'acception ordinaire du mot (tous les points du plan sont des pôles d'ordre i).

Dire qu'un système possède un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre i revient à dire qu'il possède un centre de symétrie au pôle du plan.

Dans un système qui possède un centre de symétrie, tout plan passant par le centre peut être considéré comme un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre i.

Normalement à un plan de symétrie directe à pôle d'ordre q ou à un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre q, il existe toujours un axe de répétition d'ordre q passant par le pôle du plan.

16. Considérons maintenant le cas plus général où le système est défini analytiquement de la même manière pour des axes coordonnés rectangulaires gauches et pour des axes coordonnés rectangulaires droits ayant des origines distinctes.

Répétons deux fois la double transformation symétrique indiquée par la correspondance des axes droits aux axes gauches. Le mouvement indifférent qui en résultera (12) sera, dans le cas le plus général, un mouvement hélicoïdal effectué autour d'un axe hélicoïdal de répétition A du système.

Changeons maintenant les axes coordonnés gauches; transportons l'origine sur Taxe hélicoïdal A et orientons les axes coordonnés de telle sorte que l'axe des s coïncide avec cet axe hélicoïdal et que, de plus, l'axe ox' du nouveau système droit symétrique correspondant soit parallèle au plan des xy du système gauche et fasse avec ox un angle inférieur à u. On peut toujours obtenir ces derniers résultats en faisant tourner les deux systèmes d'axes coordonnés autour de leurs axes des s.

Soient (oxrz) et (o'x'y'z') ces nouveaux systèmes gauche et droit d'axes coordonnés.

Revenons à la double transformation symétrique avec ces nouveaux axes : (oxyz) devient, après la première transformation, (o'x'y'z) et, après la seconde transformation, (olxiyfzi); comme cette double transformation équivaut à un mouvement hélicoïdal autour de os, il en résulte que o( est sur os, que ofs, coïncide avec la ligne os et est de même sens que oz (mais o et o, sont, en général, distincts).

Occupons-nous d'abord des orientations. Par un même point O quelconque menons des axes coordonnés rectangulaires OXYZ, OX'Y'Z, OX,Y|Z, respectivement parallèles, axes pour axes, à o.ryz, o'x'y'z', oKxKy^zK.

Soient es l'angle des axes OX et OX', qui est aussi celui de ox et o' x' ; et 9 l'angle des axes OZ et OZ', qui est aussi celui de oz et o'z' : OX, Y, Y, doit être pour OX'Y'Z' ce que OX'Y'Z' est pour OXYZ (9); OX est dans le plan X'OY', et OZ, doit coïncider avec OZ. Nous avons déjà vu que cela ne peut arriver que dans un des trois cas suivants :

i° 9 = o avec ca quelconque, o' z' est parallèle à oz et de même sens, (otxty{ s,) est parallèle, axe pour axe, à (oxyz);

2° 6 = 7C avec es quelconque, o' z' est parallèle à. oz, mais dirigé en sens inverse ;

3° 8 quelconque avec œ = o, o' x' est parallèle à ox et de même sens; oKxKyKZ\ est parallèle à oxyz.

i" et 3" Les axes coordonnés gauches et droits ont un axe parallèle et de même sens, les axes oz par exemple.

Premier changement d'axes. — Faisons tourner les axes

gauches autour de oz jusqu'à ce que (les axes droits correspondants tournant autour de o'z') les axes ox et o' x' soient parallèles et de même sens, les axes des y sont alors parallèles, mais de sens inverses.

Deuxième changement d'axes. — Donnons aux axes gauches une translation parallèle à oy jusqu'à ce que (les axes droits correspondants se transportant parallèlement en sens inverse) les plans des xz et des x'z' se confondent.

Troisième changement d'axes. — Faisons tourner les axes gauches autour de oy jusqu'à ce que (les axes droits correspondants tournant autour de o'y') les deux axes des x soient sur une même ligne passant par les deux origines.

On a donc finalement : le plan des xz commun pour les axes droits et gauches, les axes des x de même sens et coïncidant avec la même ligne, la distance des origines sur cette ligne étant x, par exemple, les axes des y parallèles, mais de sens inverses, les axes des z parallèles et de même sens. Nous dirons que le système a un plan de symétrie transiatoire {ftg- 4)-

On obtient le symétrique d'un point pour un pareil plan en prenant le symétrique ordinaire du point par rapport au plan et en

lui donnant un déplacement déterminé t, parallèlement au plan et dans une direction déterminée. Pour qu'un plan de symétrie transiatoire soit entièrement défini, il faut donc connaître, outre le plan, la grandeur et la direction de la translation t.

Si l'on répète deux fois la transformation symétrique indifférente qui caractérise un plan de symétrie transiatoire, on obtient une translation de répétition de même direction que celle de la

SUK LA SYMÉTRIE. g3

translation du plan de symétrie et de grandeur 2 t. Cette translation de répétition entraîne, comme on sait, une infinité d'autres translations de répétition de grandeur kii (k étant un entier quelconque). Chaque translation de répétition /:2t, jointe à une transformation symétrique indifférente de translation t, donne une nouvelle transformation symétrique indifférente analogue à la première, mais de translation (2 À" -h i)t; donc on a aussi une infinité de transformations symétriques indifférentes.

Si t est la plus petite des translations de ces transformations symétriques indifférentes, il existera, comme nous l'avons vu, une translation de répétition de grandeur 21; deux cas pourront alors se présenter : ou bien la translation de répétition 21 sera la plus petite parmi celles parallèles à la direction considérée; ou bien la translation de répétition la plus petite parmi celles parallèles à la direction considérée sera de grandeur t. Aucun autre cas n'est admissible, car une translation égale à une fraction de t entraînerait l'existence d'une transformation symétrique translatoire de translation inférieure à t, ce qui est contre l'hypothèse.

Lorsque la translation de répétition la plus petite est 7, on a un plan de symétrie translatoire direct, un pareil plan n'est autre chose qu'un plan de symétrie pris dans le sens ordinaire du mot accompagné d'une translation de répétition t, parallèle au plan. A un point correspond une infinité de points homologues par répétition situés sur une même ligne parallèle au plan et se succédant à des intervalles égaux à t. A ce point correspond aussi une infinité de points symétriques qui sont les images prises par rapport au plan des homologues par répétition.

Lorsque la translation de répétition la plus petite est 2t, on a un plan de symétrie translatoire alterne. A un point correspond une infinité d'autres points homologues par répétition situés sur une même parallèle au plan et se succédant à des intervalles égaux à 2T. A ce point correspond aussi une infinité de points symétriques qu'on peut obtenir en prenant les images par rapport au plan des points homologues par répétition et en les faisant glisser d'une quantité t sur la ligne sur laquelle elles se trouvent. On voit que ces points symétriques alternent en position sur une même droite avec ceux qui auraient existé si l'on avait eu affaire à un plan de symétrie translatoire direct.

On peut considérer un plan de symétrie translatoire direct comme étant un plan de symétrie direct à pôle d'ordre infini, ce pôle étant situé à l'infini dans une direction normale à la translation. On peut considérer un plan de symétrie translatoire alterne comme étant un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre infini, ce pôle étant situé à l'infini dans une direction normale à la translation.

2° Les axes des z du système droit et de son correspondant symétrique sont parallèles, mais de sens inverses.

Changeons les axes coordonnés : donnons aux axes gauches une translation parallèle aux z, jusqu'à ce que (les axes droits correspondants se transportant parallèlement en sens inverse) les plans des xy se confondent.

Faisons tourner ensuite les axes gauches autour de os jusqu'à ce que oy passe par o' (les axes droits tournant autour de o'z').

o{ doit être à (o' x1 y' z') ce que o' est à (oxyz), donc il doit être situé sur o'y', mais il doit être, en outre, sur l'axe hélicoïdal A ou os; donc, en premier lieu, o, ne peut être autre chose que o.

Deux cas sont seulement possibles : ou bien la distance oo' est nulle et nous retombons sur un cas déjà étudié de systèmes symétriques en un point; ou bien o' y' et oy sont de sens inverses et se confondent avec la ligne qui joint les origines. On peut, dans ce cas, donner une translation aux axes gauches parallèlement aux y jusqu'à ce que (le système droit se transportant en sens inverse) les deux origines coïncident; on est donc encore dans un cas déjà considéré. Les axes de même nom des systèmes droits ou gauches sont dans le prolongement les uns des autres et de sens inverse : on a un centre de symétrie.

17. Ainsi, outre les plans de symétrie directe à pôle d'ordre q, les plans de symétrie alterne à pôle d'ordre q et les centres de symétrie, un système peut encore posséder des plans de symétrie translatoire directe ou alterne.

Ces derniers ne conviennent qu'à un milieu illimité.

Un système symétrique qui ne possède aucun point symétrique (c'est-à-dire aucun point qui soit son propre symétrique) ne peut posséder que des plans de symétrie translatoire alterne.

SUR LA SYMÉTRIE. g5

On a un plan de symétrie translatoire continue lorsque la translation x est infiniment petite.