VI. — Théorèmes

18. Quand un système possède un centre de symétrie, tout plan, passant par le centre et normal à un axe de répétition d'ordre pair (q = 2 A') passant par le centre, est un plan de symétrie directe à pôle d'ordre q; tout plan, passant par le centre et normal à un axe d'ordre impair (q = ik + 1) passant parle centre, est un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre q.

19. Lorsqu'un système possède un plan de symétrie passant par un centre de symétrie, la droite normale au plan passant par le centre est un axe de répétition d'ordre pair. (Bravais.)

20. Lorsqu'un plan de symétrie passe par un axe de répétition d'ordre q, il y a toujours q plans de symétrie passant par l'axe. (Bravais.)

Deux plans successifs font entre eux un angle égal à ;

si q est pair, les plans sont doublés (par répétition) et sont de deux espèces distinctes pour les répétitions que donne l'axe; si q est impair, les plans ne sont pas doublés, pour l'axe ils sont tous de même espèce, mais leurs inverses peuvent être considérés comme des plans d'une deuxième espèce pour l'axe.

21. Si deux plans de symétrie se rencontrent, leur intersection est un axe de répétition. (Bravais.)

22. On sait qu'un axe de rotation doublé d'ordre q entraine l'existence de 2^ axes {q axes binaires ou d'ordre pair et leurs inverses) dans un plan normal au premier axe. Ces iq axes se rencontrent tous au pied de l'axe principal sur le plan normal.

Théorème. — Si un plan de symétrie directe à pôle d'ordre q contient des axes binaires ou d'ordre pair passant par le pôle (il en aura 2q), le système possédera q plans de symétrie pas-

sant par V axe de répétition normal d'ordre q et par les axes binaires.

En effet, choisissons des axes coordonnés gauches (Oxvz) (fig. 5), ayant pour axe des z l'axe de répétition d'ordre q et pour axe des y l'un des axes binaires. Soient Ox', Oy', Oz' les inverses

des Ox, Oy, O;; puisque xOy est un plan de symétrie, Oxyz' est un système d'axes droits symétriques de (0,xyz), dans le système; puisque Oy est un axe de répétition d'ordre pair, Ox'zy sera homologue par répétition de (Oxyz1) et, par conséquent, correspondant symétrique de (Oxyz); donc le plan zOy est un plan de symétrie.

Réciproquement : si, par un axe d'ordre q et un axe d'ordre pair normal, passe un plan de symétrie, le plan normal à l'axe d'ordre q et passant par l'axe d'ordre pair est un plan de symétrie directe à pôle d'ordre q. Démonstration analogue à la précédente.

23. Théorème. — Si un même plan de symétrie alterne à pôle d'ordre q contient des axes binaires (ou d'ordre pair) passant par le pôle, le système possédera q plans de symétrie passant par l'axe principal d'ordre q et par les bissectrices de deux axes binaires consécutifs.

En effet, choisissons des axes coordonnés rectangulaires gauches (Oxyz), ayant pour axe des z l'axe de répétition d'ordre q (fig. 6) et pour axe des y un axe binaire Oy.

Soient

O:' l'inverse de Os;

Oy' l'axe binaire le plus voisin de Oy (y'Oy = —. j ; Oy\ la bissectrice deyOy'.

xOy étant un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre q, les axes coordonnés droits (Ox'y'z') sont correspondants symétriques de (Oxyz); Oy étant un axe binaire, (Ox"y'z) est homologue par

Fis. 6.

répétition de (Ox'y'z1) et, par conséquent, correspondant symétrique de (Oxyz).

Un changement d'axes de (Oxj z) amenant Oy en OjKi par rotation autour de Oz nécessiterait un changement d'axes du correspondant symétrique (Ox"y'z) amenant aussi Oy' en Oy^ parrotation autour de Oz.

Ces nouveaux axes symétriques montrent que zOyt est un plan de symétrie.

Réciproquement, si par un axe d'ordre q doublé et par la bissectrice des deux axes d'ordre pair consécutifs normaux en un même point au premier axe passe un plan de symétrie, le plan normal à l'axe principal est un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre q. Démonstration analogue à la précédente.

24. Enfin, si un système possède un axe d'ordre q normal à un plan de symétrie ou de symétrie alterne et par lequel passent q plans de symétrie, il possédera également iq axes binaires contenus dans le plan de symétrie ou de symétrie alterne, et l'axe d'ordre q sera doublé.

2o. En résumé, considérons les trois groupes d'éléments d'ordre

suivants :

i° Plan de symétrie ou de symétrie alterne à pôle d'ordre q\ i° Dans ce plan, q axes d'ordre pair passant au pôle; 3° q plans de symétrie passant par l'axe d'ordre q normal au plan.

Ces trois groupes d'éléments d'ordre peuvent exister chacun séparément avec l'axe d'ordre q; ils peuvent exister conjointement, mais deux quelconques de ces groupes ne peuvent se trouver réunis dans un système sans que le troisième s'y trouve également.