ÉQUATIONS RÉDUITES
La Lumière électrique, t. XLI, 1891, p. 201, 270, 307, 56.
Dans un grand nombre de questions de Physique, on est amené à considérer une équation différentielle linéaire du second ordre qu'il suffit d'intégrer pour avoir la solution cherchée. C'est ce qui arrive en particulier, lorsque l'on étudie un appareil oscillant et que cet appareil est amorti par une force antagoniste proportionnelle à la vitesse.
C'est encore une équation différentielle de ce genre que l'on obtient, quand on se propose de calculer les mouvements oscillatoires ou apériodiques de l'électricité dans le circuit de décharge d'un condensateur.
Nous nous proposons de donner ici des Tableaux numériques et une méthode permettant de simplifier les calculs que l'on peut avoir à effectuer.
La discussion d'une formule doit être poussée beaucoup plus loin par les physiciens que par les mathématiciens.
Les mathématiciens peuvent se contenter d'étudier l'allure générale des courbes représentant les variations d'une fonction, de déterminer les lignes asymptotiques, les points d'inflexion, etc.
Les physiciens doivent discuter numériquement, s'ils veulent tirer une conclusion physique quelconque : pour eux, par exemple, une quantité qui varie d'une quantité inappréciable, dans les conditions réalisables par expérience, peut être considérée comme une constante.
CALCUL DES MOUVEMENTS AMORTIS. l5g
La nécessité de discuter numériquement n'exclut pas la généralité de la discussion; il n'est pas nécessaire de prendre un cas particulier. Seulement, il faut mettre les équations sous une forme particulière, en n'y faisant figurer que des rapports de grandeurs de même nature. On a ainsi des équations réduites permettant de faire des discussions numériques générales et facilement applicables à tous les problèmes.
Amortissement dans les instruments de mesure employés en Physique.
Nous allons préciser tout d'abord la question en considérant un appareil particulier.
Nous choisirons, par exemple, le galvanomètre Deprez-d'Arsonval, dont les mouvements ont été étudiés théoriquement et expérimentalement par M. Ledeboer dans un travail publié dans ce journal (').
Désignons par :
a l'angle de déviation compté à partir de la position d'équilibre,
l le temps,
c le couple de torsion du fil de suspension par unité d'angle (c'està-dire par un radian),
îlmr* le moment d'inertie du cadre mobile,
s la surface moyenne d'une spire de la bobine mobile,
n le nombre de tours de cette bobine,
h l'intensité du champ magnétique dans lequel oscillent les côtés du cadre,
R la résistance du cadre,
R' la résistance extérieure qui ferme le circuit du galvanomètre,
i l'intensité du courant électrique.
A un instant quelconque, on a
S mr* — r — = — ca + nshl, dV-
( ' ) La Lumière électrique, t. XX, p. 577.
l6o OEUVRES DE P. CURIE.
( — col) étant le couple provenant de la torsion du fil, et (+ nshi) celui provenant de l'action du champ magnétique sur le courant, i étant pris positivement dans le sens qui donne sous l'action du champ un couple positif.
Nous supposerons qu'il n'y a pas, dans le circuit, d'autres forces électromotrices que celles provenant des effets d'induction pendant le mouvement du cadre.
On a alors, en négligeant les effets de self-induction,
do.
i(R -+- R') = — nsh-j-;
d'où l'équation du mouvement
. d'2 oc n2s2A2 doL v ; dt2 R-f-R' dt
Cette équation est de la forme
d%% do
— : 1- ia—
dt* dt
d2rL dx .
en posant
î(R + R')S mr'
et
On trouverait de même que les mouvements d'autres instruments employés en Physique sont encore parfaitement caractérisés par l'équation (i). Nous citerons, par exemple, le siphon recorder de Thomson, les galvanomètres à aimant mobile amortis parle voisinage d'une masse de cuivre, tels que les vieux modèles de galvanomètres à plaques de cuivre, le galvanomètre de Weber et le modèle à petit aimant mobile en fer à cheval de d'Arsonval.
Nous citerons encore les électromètres apériodiques de J. et P. Curie, de Carpentier, de Blondlot et Curie à amortissement magnétique et l'électromètre Bichat et Blondlot à amortissement à air.
Nous avons aussi réalisé une balance comportant un amortissement à air, dont les mouvements sont très exactement régis par l'équation (i).
CALCUL DES MOUVEMENTS AMORTIS. l()l
Dans d'autres instruments, une équation différentielle linéaire du second ordre n'est certainement plus tout à fait suffisante pour représenter la loi élémentaire du mouvement de l'appareil, le couple d'amortissement n'étant plus exactement proportionnel à la vitesse. Mais l'équation (2) peut donner toutefois une première approximation pour guider le constructeur. Nous citerons, comme instruments de cette catégorie, les ampèremètres industriels, le galvanomètre à arête de poisson de Deprez, le galvanomètre Thomson à amortisseur à air, les électromètres à amortisseurs à palettes dans un liquide, tels que ceux de Thomson et de Mascart.
Un manomètre à liquide, à mercure, par exemple, comporte aussi un certain amortissement provenant du frottement intérieur de ce liquide sur lui-même.
Le mouvement d'un aréomètre est également amorti par lé frottement du liquide dans lequel il baigne.
Enfin, les manomètres métalliques sont sans doute amortis par le frottement intérieur dans le métal lui-même.
On voit que presque tous les instruments de mesure comportant le mouvement d'un système matériel ont un certain amortissement. Il n'j a d'exception que dans des cas où les instruments fonctionnent comme instruments de zéro, au lieu de donner par la grandeur d'un déplacement la valeur de la quantité à mesurer. C'est de cette façon que fonctionnent d'ordinaire les électrodynamomètres et les balances.
En général, il est non seulement utile, mais absolument nécessaire, de régler convenablement l'amortissement d'un appareil pour qu'il puisse fonctionner. Trop amorti, l'instrument est paresseux et la partie mobile ne vient se fixer dans sa position d'équilibre qu'au bout d'un temps considérable; pas assez amorti, l'instrument oscille presque indéfiniment.
Les conditions de bon fonctionnement d'un appareil de mesure sont :
i° Qu'il soit suffisamment sensible;
20 Qu'il soit suffisamment précis, c'est-à-dire qu'il donne fidèlement plusieurs fois les mêmes indications pour les mêmes quantités à mesurer;
3° Qu'il soit suffisamment rapide dans ses indications.
