C. TI
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La troisième condition comporte comme condition nécessaire (mais pas toujours suffisante) un réglage convenable de l'amortissement.
L'amortissement paraît avoir occupé jadis une place très secondaire dans la disposition d'un grand nombre d'appareils et le constructeur semble souvent ne pas s'en être préoccupé. On peut faire remarquer toutefois que le constructeur qui est parvenu à faire bien fonctionner un instrument en lui donnant certaines dimensions a par cela même réglé jusqu'à un certain point l'amortissement.
Dans un manomètre à air libre, par exemple, il n'y a pas d'amortisseur, mais le diamètre du tube règle l'amortissement. Le frottement intérieur donne, en effet, pour un même excès de pression, une vitesse d'écoulement qui croit rapidement avec le diamètre. Si donc le tube est trop large, le liquide oscillera longtemps avant de s'arrêter. Si le tube est trop étroit, le liquide viendra très lentement se fixer dans sa position d'équilibre. On est amené à choisir convenablement le diamètre entre ces deux cas extrêmes, c'est-à-dire que l'on choisit un amortissement convenable.
Mais si par tâtonnement on arrive à réaliser pour un instrument un amortissement pratique, on arrive difficilement à avoir le meilleur amortissement si l'on ne se laisse pas guider par la connaissance des lois du mouvement.
Il est quelquefois très utile d'avoir exactement le meilleur amortissement au point de vue de la rapidité des lectures; soit que le phénomène que l'on étudie ne dure qu'un temps très court sans éprouver de variations, soit que l'instrument marchant déjà lentement dans les meilleures conditions possibles, il ne devienne tout à fait pénible de s'en servir avec un amortissement médiocrement réglé.
Les équations du mouvement sont encore fort utiles à connaître lorsque l'on veut modifier convenablement toutes les pièces d'un appareil pour en réaliser un nouveau d'une sensibilité différente. Enfin les équations du mouvement permettent facilement de prévoir et de calculer exactement ce qui se passera pour une modification quelconque imposée à un appareil.
Il existe quelques instruments dans lesquels une partie au moins de l'amortissement est due à un frottement de solide contre
solide ; un amortissement de ce genre a toujours donné des résultats médiocres ou mauvais au point de vue de la précision des indications. L'indicateur de Watt et le Gardew, par exemple, donnent des résultats d'une exactitude douteuse.
Une partie de l'amortissement provient, dans ces instruments, des frottements de corps solides les uns sur les autres, et de ces frottements doivent provenir aussi une partie des erreurs.
On admet que des frottements de cette espèce donnent des forces antagonistes de grandeur constante, c'est-à-dire que la réaction due au frottement est toujours de signe contraire à la vitesse, mais indépendante de la grandeur de celle-ci.
Prenons par exemple un système qui sans amortissement possède un mouvement pendulaire, et adjoignons -lui un frottement de corps solides. On trouve, en traitant la question par le calcul, que la durée d'oscillation est la même lorsqu'il y a un amortissement de ce genre que lorsque le mouvement est libre. A chaque demi-oscillation l'amplitude diminue d'une grandeur constante que nous désignerons par a; mais, lorsque les amplitudes successives ont décru jusqu'à une valeur égale ou inférieure à 2 a, le système s'arrête et la position d'arrêt comporte une incertitude égale à 2 a; le système peut s'arrêter dans une position quelconque, dans une portion comprise entre — a et -+- a de part et d'autre de la véritable position d'équilibre. Alors, si a est grand, l'indication n'offre aucune précision. Si a est petit, le système n'est pas suffisamment amorti puisqu'il diminue seulement de a par demi-oscillation. De toute façon le résultat est mauvais.
Dans les instruments de mesure il est donc bien préférable de' disposer un système fournissant un amortissement proportionnel à la vitesse.
Déplacements électriques dans le circuit d'un condensateur.
Soient :
G la capacité du condensateur,
R la résistance du fil qui unit ses deux faces,
L le coefficient de self-induction du circuit,
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i l'intensité du courant dans le fil, q la quantité d'électricité condensée,
v la différence de potentiel entre les deux faces du condensateur. Supposons que l'on décharge le condensateur à travers le fil. A un instant quelconque pendant la décharge on a :
dt
et, d'autre part,
q = GV
et
dq ~~ ~di
d'où l'on tire
d'2q dt1
+ R$ + dt
G Cette équation est encore de la forme
d'2 q dq dP dt
en posant
et
Cette équation montre que le problème des oscillations de l'électricité est le même que celui des oscillations de la matière. En effet, dans un système matériel on a
,, d-x dx
M —j— 4- v — i- -t- Ex = o, dt1 ' dt
M étant la masse, y le coefficient de frottement ou force antagoniste par unité de vitesse, x le déplacement et E le coefficient élastique ou force antagoniste pour l'unité de déplacement.
Les deux équations sont intéressantes à comparer : on voit que le coefficient de self-induction en électricité joue un rôle analogue à celui de la masse dans le système matériel. La résistance électrique et le coefficient de frottement ont des rôles semblables. L'inverse de la capacité intervient comme un coefficient élastique. C'est l'élasticité électrique du diélectrique du condensateur qui
CALCUL DES MOUVEMENTS AMORTIS. l65
entre ici en jeu; et, pour une même quantité d'électricité condensée, la tension élastique est d'autant plus grande que la capacité est plus faible. Enfin, la quantité d'électricité intervient non comme une matière, mais comme un déplacement.
On voit encore que le frottement matériel joue le rôle de la résistance électrique. On doit en tenir compte au même titre que de celle-ci; il est aussi nécessaire de faire intervenir un coefficient de frottement déterminé dans un problème relatif à un système matériel que d'avoir une résistance électrique convenable dans le problème électrique correspondant.
Le problème du mouvement de l'électricité dans le circuit d'un condensateur intervient aujourd'hui dans un grand nombre de cas quand on emploie les condensateurs dans les laboratoires, dans l'industrie ou dans la télégraphie.
Le calcul précédent n'est applicable du reste que lorsque l'on ne dépasse pas une certaine limite de rapidité. Quand les oscillations sont excessivement rapides, les lois ordinaires de l'électrodynamique ne sont plus applicables sous une forme aussi simple.
Mouvement avec amortissement proportionnel à la vitesse.
Considérons de nouveau l'équation (2)
dtrJ. da.
v ; dt1 dt
dans laquelle a, a et b ont une signification particulière pour chaque problème que l'on considère.
Dans le cas, par exemple, d'un système matériel oscillant autour d'un axe, a serait l'angle de déviation et l'on aurait
y représentant le couple d'amortissement pour l'unité de vitesse
angulaire, Itinr- le moment d'inertie, c le couple de torsion par unité d'angle.
Nous supposerons, comme conditions initiales, qu'au temps o le
système est abandonné à lui-même avec une vitesse nulle et une déviation angulaire a0 comptée à partir de la position d'équilibre.
Cette équation intégrée se présente sous trois formes différentes, suivant les grandeurs respectives de a et de b.
Pour
(figure i, courbe I), on a une sinusoïde (3) a = z0cosbt.
Pour
(figure i, courbe 11), on a
( 4 ) a = ao e~at ( cos \fb"2 — a2 1 -+-
Pour
sin v/62 — a2 t
b2 — a2 = o (figure i, courbe III), on a
Pour
(figure i, courbe IV), on a
a = oL0e-at -
■\ja^ — b" l
Pour
on a la droite
(7) a = oc0.
Si l'on suppose que l'amortissement, d'abord nul, prend successivement des valeurs de plus en plus grandes, on réalisera successivement tous les types de mouvement, dont quelques-uns sont représentés figure î : le mouvement, d'abord représenté par une sinusoïde (courbe I), devient oscillatoire avec amplitudes successives décroissantes (courbe II) ; en même temps la pseudo-période
va en augmentant et le point où la courbe coupe l'axe des temps s'éloigne vers l'infini.
Puis, pour le mouvement critique, pour lequel a-= b- (courbe III), le mouvement devient apériodique, c'est-à-dire que l'appareil se rapproche d'une façon continue de sa position d'équilibre sans la dépasser jamais. Enfin, pour des amortissements plus grands
Fi g. 1.
encore, le mouvement, toujours apériodique, devient de plus en plus lent (courbe IV); les courbes vont en s'étalant de plus en plus et finissent par se confondre avec une droite horizontale. On voit comment s'opère sans changement brusque la transition du mouvement périodique au mouvement apériodique lorsqu'on augmente l'amortissement. Nous rappellerons quelques-unes des propriétés de ces mouvements.
Lorsqu'il n'y a pas d'amortissement, la durée T0 de la période du mouvement est donnée par la relation
Lorsque le mouvement est oscillatoire, mais amorti, il n'y a plus, à proprement parler, de période, mais nous considérerons une pseudo-période T, qui est la période du terme entre parenthèses de l'équation (B>); on a
y/62 — r/2 La pseudo-période T est toujours plus grande que T0 ; on a
Tu \Jbl — a1 T lend vers l'infini quand a- augmente jusqu'à la valeur b-.
T jouit d'une partie des propriétés d'une période véritable de mouvement sinusoïdal. Par exemple, T représente l'intervalle de temps entre deux maxima successifs ou entre deux minima suc-
cessifs. — représente l'intervalle de temps entre un maximum et un
minimum se succédant, —représente encore l'intervalle de temps
entre deux instants successifs pour lescpjels la déviation s'annule.
Mais une différence essentielle avec un mouvement non amorti,
c'est que l'intervalle de temps entre un maximum ou un minimum
et le moment où la déviation est nulle n'est plus éffal à — •
Les temps correspondant aux déviations nulles sont tous décalés
dans le sens positif d'une quantité oT (o représentant le décalage
en fraction de pseudo-période).
On a
tangage
Le décalage croît progressivement jusqu'à \ de période lorsque a augmente de o à b.
Les temps correspondant aux points d'inflexion de la courbe (la vitesse est alors maxima) sont décalés dans le sens négatif de la ; même quantité oT. On voit que les jambages successifs de la courbe sont dissymétriques.
Les élongations correspondant aux maxima et minima successifs
vont en décroissant; le rapport — de la /iie"leélongation maxima
ou minima à l'élongation suivante est un nombre constant /'. Soient
i = > A = log nep r ;
r est le décrément et h le décrément logarithmique, et l'on trouve facilement
OU
T étant toujours la pseudo-période.
L'étude d'un mouvement oscillatoire amorti est donc assez facile dans un système matériel ; on détermine par exemple le rapport de deux élongations successives, ce qui permet de calculer le décrément logarithmique X; d'autre part, on mesure la durée T de la pseudo-période. On tire a par la relation
puis de la formule
