TC
(na) — - — 0,736.
Les points d'inflexion caractérisent le moment où les vitesses sont maxima dans le cas d'une oscillation matérielle, où le courant est le plus intense dans le problème des oscillations électriques.
1 86 OEUVRES DE P. CURIK.
On a, pour la vitesse au point d'inflexion,
dn ■
■■, dn t
= — 'i tt e~
Les courbes en pointillé {fig- 2 et 3) donnent la première branche du lieu des points d'inflexion.
Le coefficient angulaire de la tangente à cette branche pour (/?,a) = o est égal à ( — 471)-
Le Tableau V donne les coordonnées des points d'inflexion et la vitesse en ces points pour diverses valeurs de na.
Tableau V. — Coordonnées des points d'inflexion.
na.
nt.
na..
dnx dnt
l5qi55
— 2,3l2IO
95ooo
— o,3io62i
La connaissance du décrément logarithmique et de la pseudopériode (nT) du mouvement réduit étant souvent des données suffisantes pour la solution de certains problèmes, nous avons calculé dans le Tableau VI ces quantités, ainsi que le rapport absolu (r) de deux élongations successives pour des degrés d'amortissement variant de -^ en j$ de <» à 1 .
Ces valeurs sont calculées à l'aide des formules
na?
= TznanT,
Tableau VI. — Valeurs du décrément, du décrément logarithmique, de la pseudo-période réduite pour diverses valeurs de l'amortissement.
na.
y na
y na
oc
oo5o2
3oon
25oo
io,55o5
4oo3
og325
La courbe 1 {Jig- 4) donne les variations du décrément /• pris en ordonnées en fonction du degré d'amortissement na pris en abscisse, r tend vers ce pour na tendant vers 1 . La courbe II représente la même fonction avec une échelle cent fois plus faible pour les ordonnées.
La figure 5 donne la courbe représentant les valeurs de la pseudopériode réduite nT prise en ordonnée en fonction du degré d'amortissement na pris en abscisse. L'origine des ordonnées est d'une unité au-dessous de la limite inférieure de la figure. La figure 6 donne la courbe représentant les variations de la pseudo-période
réduite nT prise en ordonnée en fonction du décrément r pris en abscisse; cette courbe présente un point d'inflexion.
La figure 5 montre combien varie peu pour des amortissements faibles la durée de la période; il faut atteindre le degré d'amor-
,rhe
Ce
Cour
be N
Décrément r en fonction du degré d'amortissement na.
tissement o,43 pour avoir une variation de -^ dans la période. Pour na = i , /iT = oo.
On voit {fi g- 6) qu'il faut un décrément supérieur à i,5 pour que la période augmente de j^ de la valeur qu'elle a pour un amortissement nul.
Nous avons fait également figurer dans le Tableau Viles valeurs
de 1 / — et i / — qui donnent des facteurs commodes à employer
pour calculer les variations de dimensions à donner à certains amortisseurs lorsque l'on veut passer d'un mouvement oscillatoire donné par expérience au mouvement critique que l'on voudrait réaliser.
On peut se demander quel sera le degré d'amortissement le plus profitable pour que, toutes les autres données restant les mêmes,
le mouvement s'arrête le plus rapidement possible. La déviation
Fig. 5.
ni
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.8 1 na
Pseudo-période réduite nT en fonction du degré d'amortissement^/ia.
n'étant jamais définitivement rigoureusement nulle, on doit seulement chercher le degré d'amortissement qui amène définitivement
Fig. 6.
nT
Pseudo-péi'iode réduite nT en fonction du décrément /'.
le plus vite possible la déviation à être inférieure en valeur absolue à une certaine fraction de la déviation initiale.
igo
On voit facilement que le mouvement le plus profitable est un certain mouvement oscillatoire, mais que ce mouvement, correspondant à un degré d'amortissement un peu inférieur à i, est d'autant plus voisin du mouvement critique que la fraction de déviation finale a été choisie plus petite. Si l'on veut que la déviation soit réduite le plus vite possible à une petite fraction de la déviation primitive, à -5-5777, tjttttj, ou k 0 \ 0 () , par exemple, on pourra pratiquement chercher simplement à réaliser le mouvement critique.
Si l'on ne peut réaliser ce mouvement, il est intéressant de savoir quelle perte de temps il en résultera dans les lectures.
Tableau VII. — Temps réduit nécessaire pour amener la déviation au -r^, au — L-, au , ' ., , au , ,. ,' „ ., de la déviation initiale pour divers
1 O 1 UU f U U U ' 1UUUU -*
degrés d'amortissement.
na.
«a = fâ.
na= j^0.
n a — 10 ol-
n a — loooo-
oo
t ,5oo
3,ooo
4,ooo
oc
Le Tableau VII donne le temps réduit (nt) nécessaire pour amener définitivement la déviation à être inférieure au 7^, au 7^, au ttjtjô de la déviation initiale, et cela pour divers degrés d'amortissement.
Pour des degrés d'amortissement faibles inférieurs à o,5 par
exemple, on peut, pour ce calcul, substituer à la fonction vraie la fonction exponentielle
donnant une courbe passant par les maxima successifs de la courbe de la fonction vraie. On n'a ainsi qu'une solution approchée, mais pratiquement suffisante. Les nombres du Tableau VII marqués d'un (*) ont été calculés de la sorte; ils ne sont donc pas tout à fait exacts.
Pour les amortissements d'un degré supérieur à i on s'est servi pour calculer les nombres du Tableau VII des formules (19) et (20). B est ici négligeable, et l'on a simplement
et
n a = \ A logA = m — put.
Les valeurs de n et p se trouvent dans le Tableau I pour divers
Fig. 7.
ojî
na =
Temps réduit nécessaire pour l'arrêt d'un instrument en fonction du degré d'amortissement.
degrés d'amortissement; on pose n = -^, j~, tôVô ou Tôïïïïô et l'on tire les valeurs de nt correspondantes.
Les courbes de la figure 7 donnent le temps réduit nécessaire pour l'arrêt à une approximation de -^, -j-^-, j^ô et jôoïïïï-
On voit qu'avec un amortissement voisin de l'amortissement critique on peut admettre pratiquement que l'instrument sera
arrêté au bout d'un temps réduit égal à une période du mouvement non amorti.
On voit que pour un amortissement deux fois trop fort l'instrument mettra environ trois fois plus de temps à s'arrêter.
Usage des Tables.
Nous allons donner un exemple numérique relatif à un problème d'électricité.
Soit un condensateur de capacité de i microfarad, chargé au potentiel de ioo volts (V0) et que l'on décharge à travers un circuit de coefficient de self-induction égal à -~ de quadrant.
Quelle sera la loi de charge du condensateur en fonction du temps pour diverses résistances données au circuit de décharge, le coefficient de self-induction restant constant?
Nous avons vu plus haut que l'équation différentielle du mouvement de l'électricité sera
