L -ri +R-r+ 7T q = o; dP dt Cï
L = o,oi et G = io~6,
on a
a = ^L> è2==GL
q doit être substitué à a dans l'interprétation des Tableaux numériques.
Soit q0 la quantité d'électricité initiale, on a
çr0=CV0, Vo=roo, G = io~6 q0 = io-4 coulombs
et
n a = nq = — > 9o
q0 est l'unité adoptée pour évaluer l'électricité dans l'équation réduite.
CALCUL DES MOUVEMENTS AMORTIS. Ig3
Enfin la durée d'oscillation, lorsque R est nul, serait
T0 = — = 2ir\/GL = 6,2832 x io i secondes.
L'on a
t nt = =-,
T0 est l'unité de temps à adopter pour interpréter les Tableaux relatifs aux équations réduites.
Si, par exemple, la résistance R est de 3oow on aura un mouvement apériodique avec un degré d'amortissement na = i, 5.
On trouve, Tableau II (p. 180) et figure 2 (p. 182), les variations de(nq) (substitué à na.) en fonction de nt.
En général, pour avoir le temps t et la quantité q d'électricité, il suffît de multiplier les valeurs de nt par 6,2832 x io-4 et celles de ncj par 10"''.
Quelle sera la charge restant dans le condensateur au bout de
y^ô de seconde?
On a
t = 0,001 seconde,
nt = t. — r^ 7 = 1i 39-
Cette valeur de nt est comprise entre les nombres i ,55 et 1,60 qui figurent dans le Tableau II.
Par interpolation on obtient
na. = nq = 0,02680,
c'est-à-dire que 0,02080 de la charge primitive restent encore dans le condensateur.
Soit une charge
q = io~4x o,0258o = 2,58 x io~é coulomb.
Le Tableau VII montre que la décharge sera complète à j^, -j-i^-, j^j près au bout de
n?i = 1,025, nt2 = [,984, 71^3=2,944, soit
t\ = 0,000644 seconde, £2 = 0,00122, £3=o,ooi85. C. i3
Enfin le Tableau V nous montre que l'intensité du courant circulant dans le fil sera maxima au bout de
n/ = o,i37, soit t = 0,0000861 seconde,
après le commencement de la décharge.
Cette intensité maxima se trouve dans le même Tableau. On a en effet
dncc dnq q0 T0 dq
q0 dt '
soit
dnt
dnt
dq
~dt ~
q0 dna.
T0 dnt
io~4
dq dt
dnn.
Tn 6,2832 xi 0-4 6,2832' dnt 7/ *'
Donc l'intensité du courant est, au moment où elle est la plus forte, égale à 0,274° ampère.
Si la résistance du circuit extérieur était de 200'°, on aurait le mouvement critique na = 1 .
Si R = ioow, on a na = ^, le mouvement est oscillatoire, et l'on trouve dans les Tableaux III, IV et VI toutes les données sur ce mouvement.
Si l'on désire que le condensateur soit déchargé le plus rapidement possible, il convient de réaliser le mouvement critique (R = 2oow). La décharge sera alors complète à -~ près au bout de o, ooo665 seconde.
Il est bien évident que le problème de la charge d'un condensateur est le même que celui de la décharge. La quantité condensée à chaque instant pendant la charge sera (q0 — q), q étant calculé comme précédemment, q0 étant la charge du condensateur.
Il convient toutefois de prendre quelques précautions avant de calculer comme il précède des mouvements très rapides de l'électricité. On sait, en eifet, que, si les conducteurs ont un diamètre suffisamment fort, la résistance qui figure dans les formules est une
CALCUL DES MOUVEMENTS AMORTIS. ig5
résistance fictive, supérieure à celle que l'on mesure par les méthodes ordinaires, et, pour être rigoureux, des formules beaucoup plus complexes doivent être employées. Toutefois, nous ne croyons pas que cette cause d'erreur ait une influence notable dans les problèmes qui se sont présentés jusqu'à ce jour dans la pratique.
— Les problèmes que l'on peut avoir à résoudre sont très variés. Voici par exemple un cas que j'ai eu souvent à considérer dans la construction des balances apériodiques.
Une balance étant construite, on désire savoir quels amortisseurs il convient de lui adjoindre pour avoir le mouvement critique, c'est-à-dire un degré d'amortissement égal à i , ce mouvement ayant été reconnu comme étant celui qui donne les indications les plus rapides. On commence par adjoindre à l'instrument des amortisseurs quelconques, en ayant soin toutefois de les prendre plutôt trop faibles. On observe alors les élongations de la balance, lorsqu'elle oscille, pour déterminer le rapport /• de deux élongations successives. Le Tableau VI donne le degré d'amortissement lia correspondant à r.
D'autre part les amortisseurs à cloche qui servent dans la balance donnent un amortissement proportionnel à la quatrième puissance des dimensions homologues. Il convient donc d'avoir des
amortisseurs — fois plus forts, c'est-à-dire de choisir une cloche na r
semblable à la précédente, mais telle que les dimensions homologues soient dans le rapport i à \J na. On arrive ainsi sans tâtonnement à l'amortissement que l'on désire. Le Tableau VI donne aussi la pseudo-période réduite nT ; si l'on mesure la pseudopériode T en secondes, on aura la période T du mouvement non
amorti par la relation
Il sera alors possible, en se servant du Tableau II, de connaître ■exactement le mouvement de la balance pour l'amortissement critique que l'on veut lui donner. On saura en particulier, d'après le Tableau VII, que la balance mettra un temps égal à i,3T0 pour revenir à sa position d'équilibre, à -—^ près de l'élongation primitive.
L'étude expérimentale d'un mouvement apériodique est plus difficile que celle d'un mouvement périodique, parce que l'on n'a pas les points de repère faciles donnés par les oscillations successives. Voici toutefois comment on peut procéder lorsque l'on a à étudier un mouvement apériodique.
On détermine, à partir d'une certaine déviation a0 pour laquelle la vitesse est nulle, les temps tt et t2 nécessaires pour arriver à des déviations a, et ou.
Les déviations réduites correspondantes seront
ai fta,= — et
D'autre part, le rapport des temps est le même que le rapport des temps réduits
nt-2 t. 2 nt1 tx
d'où la méthode suivante. Sur la figure 2 on mène des parallèles à l'axe des temps à des distances /ia, et «a2 de cet axe, on cherche ensuite par tâtonnements quelle est la courbe qui coupe ces parallèles en des points dont les abscisses ntt et nt-2 soient entre elles dans le
U rapport connu — •
Lorsqu'on sait quelle est la courbe réduite qui représente le mouvement, on a le degré d'amortissement na correspondant. De plus, la relation
permet de calculer T0 par lequel il faut multiplier le temps réduit pour interpréter les indications des courbes ou des Tableaux numériques. Le problème est alors résolu. Cette manière de procéder peut recevoir encore un perfectionnement. L'origine du temps est en effet un peu douteuse, par cette raison précisément que la vitesse est nulle au départ.
On peut éliminer l'origine du temps en faisant une troisième détermination a3 au temps tA. On mènera alors trois parallèles au lieu de deux dans la construction précédente aux distances nctl: noL2} /ia3 de l'axe des temps et l'on cherchera la courbe pour
(quelle
nU — nt\ t» — t-.
On trouvera ainsi le degré d'amortissement na et l'on tirera T0 de la relation
(21) J—J-=nt3-ntx.
En procédant par ces méthodes graphiques, on ne tombera pas, en général, exactement sur une des courbes construites pour représenter exactement le mouvement cherché; mais on pourra trouver les deux courbes les plus voisines de part et d'autre de celle qui satisferait complètement au problème. On conçoit que l'on puisse facilement ensuite, par interpolation, reconstituer les valeurs des temps réduits correspondant aux intersections de cette courbe qui n'est pas construite avec les lignes parallèles à l'axe des temps que l'on a tracées.
Cas où l'on change l'élasticité du système.
Nous avons considéré précédemment quels divers types de mouvements on obtient successivement lorsqu'on change l'amortissement d'un système sans altérer la force élastique et l'inertie. Voyons maintenant quelles transformations subit la loi du mouvement lorsqu'on donne diverses valeurs à la force élastique sans altérer en rien l'inertie et l'amortissement. Pratiquement, cela répond, par exemple, au cas où, dans un instrument à fil de torsion, on change le diamètre du fil.
Dans un problème d'électricité sur la décharge des condensateurs, c'est le cas où l'on change la capacité du condensateur sans altérer la résistance et la self-induction du circuit de décharge.
On peut toujours se servir des Tableaux et des courbes précédemment établis; toutefois il convient de remarquer que l'unité de temps T0 nécessaire pour interpréter les formules réduites, varie avec l'élasticité du système; le degré d'amortissement varie également, si bien qu'on doit à la fois changer de courbe et d'unité de temps, quand on fait varier l'élasticité. Il est alors moins
IC;8 oeuvres de p. curie.
facile d'avoir une vue d'ensemble sur les effets de cette variation, et il convient de mettre les équations réduites sous une forme un peu différente pour ensuite tracer des courbes d'une interprétation plus facile.
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