TT

nb =

nt =

nb =

nt' a nt b

= na

Donc on aura une courbe du deuxième système en changeant l'échelle des temps dans les Tableaux précédents ; il faudra multiplier la colonne des temps réduits par le degré d'amortissement na.

Puis on saura que le degré d'élasticité de cette nouvelle courbe

sera — • na

On voit {fig. 8) que pour une élasticité faible le mouvement est lent et apériodique (26); la rapidité de ce mouvement s'accroît en même temps que nb jusqu'à ce que l'on ait nb = 1, qui donne le mouvement critique (27); puis le mouvement devient oscillatoire (28) et la durée de la pseudo-période tend vers zéro lorsque nb tend vers l'infini. Il faut remarquer que la courbe exponentielle (3o) (courbe en pointillé, fig. 8)

(3o) ni! = ±e^nt'

passe par tous les maxima et minima de toutes les courbes oscillatoires (28), quel que soit nb.

Il en résulte les conséquences pratiques suivantes : si l'on aug-

mente le diamètre du fil de suspension d'un appareil à torsion, par exemple, ou si l'on baisse le centre de gravité d'une balance à amortissement, tant que nb sera inférieur à i on diminuera beaucoup le temps nécessaire pour que l'instrument ne s'écarte plus de sa position d'équilibre que de j~^ de sa déviation initiale, par exemple. On augmente donc ainsi la rapidité des lectures. Lorsque nb augmentera au delà de i on aura, tout d'abord, encore un peu plus de rapidité, mais bientôt tout se passera, quel que soit nb, comme si l'on avait affaire à la courbe exponentielle (3o). Ainsi, si l'on augmente l'élasticité d'un instrument à partir d'une certaine valeur de nb, on n'aura plus de variations sensibles dans le temps nécessaire pour les lectures. Le mouvement oscillatoire deviendra, il est vrai, de plus en plus rapide, mais, en même temps, le rapport des élongations de deux oscillations successives devient de plus en plus voisin de i et, finalement, il n'y a ni bénéfice ni perte pour la rapidité des indications.

Dans le problème de la décharge d'un condensateur, on voit qu'en diminuant la capacité supposée d'abord très grande on diminue la durée de la décharge, qui est tout d'abord apériodique.

Pour une capacité suffisamment faible du condensateur, la décharge devient oscillante, et, si la capacité diminue encore, la durée des oscillations sera de plus en plus courte. La capacité et la durée d'oscillation tendent à la fois vers zéro.

Il faut remarquer que la durée de la décharge complète et définitive du condensateur décroît lorsque la capacité décroit tant que le mouvement est apériodique; mais, lorsque le mouvement devient oscillatoire, il n'y a bientôt plus ni bénéfice ni perte dans la durée de la décharge lorsque la capacité diminue. La durée d'oscillation diminue, mais le décrément diminue en même temps, et, finalement, on a un plus grand nombre d'oscillations moins amorties qui mettent le même temps à s'éteindre.

Les calculs qui précèdent ne s'appliquent plus lorsque les capacités sont excessivement faibles, mais nous pouvons cependant, en les supposant exacts, nous en servir pour nous faire une idée approximative de ce qui se passe dans ce cas.

On voit que, dans un condensateur de capacité très faible, une bouteille de Leyde par exemple, les oscillations doivent être excessivement rapides, mais elles doivent s'éteindre en un temps

Tableau VIII.

nt.

e-*nt.

oo5

0,96908 93gio

5oioo

36593 333oi

ig5 21

oo656

oo35o

fiAl.CUI. DES MOUVEMENTS AMORTI?.

tout à fait comparable au temps nécessaire à la décharge complète d'un condensateur de capacité beaucoup plus grande (un microfarad par exemple). Par conséquent, le nombre d'oscillations avant extinction complète doit aussi être considérable.

Le Tableau VIII donne les valeurs des ordonnées de la courbe exponentielle e~-'Knt pour diverses valeurs de nt' . On peut dire que ce Tableau donne la loi unique suivant laquelle s'éteint l'amplitude des oscillations lorsque le mouvement est oscillatoire.

Le Tableau IX est une transformation du Tableau VII; il donne les temps réduits nécessaires pour le retour définitif du système oscillant à -^, -p^j, Yoôôi rôoïïïï Près de l'élongation initiale pour divers degrés d'élasticité; il donne encore le temps nécessaire pour la décharge d'un condensateur pour diverses valeurs de la capacité et aux mêmes fractions près de la charge initiale.

Tableau IX. — Temps réduit nécessaire pour amener la déviation au uji Tôôi TôVin 10 o o~ô de l'élongation initiale pour divers degrés d'élasticité.

nb.

n*'=-nhnï-

na- — 1 000 0*

2g3oo

o,5oo

o,3oo

Les différentes courbes de la figure 9 donnent en ordonnées les

temps du Tableau IX en fonction de nb, pris en abscisses pour un retour à jj, -p^, j~, tôtôô Pr^s de ^a déviation initiale.

On voit que le temps nécessaire pour l'arrêt décroît quand nb augmente et tend à prendre une grandeur constante, qui est déjà

Fig- 9-

O 0. 5 1 1.5 nb

Temps réduit nécessaire pour amener la déviation au ±, au rL, au yJL, au y^ de la déviation initiale pour divers degrés d'élasticité.

pratiquement atteinte pour nb = i,2. Nous rappellerons que nb est proportionnel à la racine carrée de l'élasticité (c) du système matériel ou à l'inverse de la racine carrée de la capacité du condensateur

Imr* ,- i /L

Cas où l'on change l'inertie du système.

Considérons maintenant le cas où l'inertie du système prend diverses valeurs, la force élastique et le coefficient d'amortissement restant les mêmes.

Pratiquement, cela répondra, par exemple, au cas où, toutes

CALCUL DES MOUVEMENTS AMORTIS. 2o5

choses égales d'ailleurs, on alourdira la partie mobile d'un appareil oscillant. Dans le problème des oscillations électriques, ce sera le cas où la self-induction varie seule dans le circuit.

Les quantités a et b considérées précédemment sont toutes deux variables et il convient de changer de notation pour faire une discussion facile.

Soit l'équation

, d2 a da.

-mr'-lâï + 1dï + Ca =

Posant

on a

. d2 a. dx

i —r- -+- 2 -z h pot = o,

dt2 dt r

i croît proportionnellement à l'inertie du système et p est au contraire invariable.

Dans le problème des oscillations électriques on a

On pose ici

dïq dq i

(33) .R-=«, rc—P, et l'on a une équation analogue à (32), soit

(34) »^+arfF + Py=!0-

On peut obtenir facilement les équations du mouvement dans les divers cas.

On a du reste les relations

Etablissons les équations réduites.

p étant une quantité constante, nous nous en servirons pour former les unités à employer, p a les dimensions de a et de b, c'est-à-dire celles de l'inverse d'un temps. Nous prendrons alors

ao6

comme unité de temps — • On a, pour le temps réduit nt",

t ot

ntr = -