T 2TT
De cette façon l'équation réduite du mouvement critique sera la même que dans les deux cas considérés précédemment.
p ayant les dimensions de - > nous prendrons - comme unité
pour exprimer i sous forme réduite.
On aura
ni = — = p i . ;
ni caractérise l'inertie et peut être appelé le degré d'inertie du système. Enfin, on pose comme antérieurement
Les équations réduites peuvent alors s'écrire comme il suit, en prenant toujours les mêmes conditions initiales que précédemment.
Les équations se rapportent aux cas suivants :
ni = o, ni < i, ni = i , ni > i , ni = oo, na = e~ ««'",
ni = - e
\J i — ni
l^ : 2 il
• y/1 — ni ni
\/i — ni y na = e--'Knt"{\ -+- 2Tznt"),
cos ( \Jni — i -^—7 nt'
■ sin \J ni — i — : nt
s/ ni — i \ ni
Enfin il convient de se rappeler que l'on a, pour les oscillations
matérielles,
ficZ/n r-
ni
et l'unité de temps
2TC 11 y
Pour les oscillations électriques
ni = p i =
et l'unité de temps
— =7rRG.
Les relations numériques et les courbes pour ce troisième système peuvent être facilement déduites des Tableaux numériques établis pour le premier système d'équations réduites que nous avons considéré.
On a, en effet,
ni = p 1 = — = — - ?
a2 na2
p t p T nt p 1 nf = -r— = J- = nt± = nt
Ainsi, étant donné le Tableau numérique relatif à une courbe n a fonction de nt pour le degré d'amortissement rc«, il faudra multiplier la colonne des temps réduits fit par — - pour avoir les temps
réduits nt" du troisième système d'équations pour les mêmes valeurs de na.
Le degré d'inertie ni correspondant à cette courbe sera donné
par
ni = •
na*
On voit que, pour une inertie nulle, le système prend un mouvement représenté par une courbe exponentielle [courbe I, jig. 10, équation (36), Tableau VIII] dans laquelle la vitesse va constamment en diminuant. Ce cas limite ne peut jamais être réalisé, puisque l'inertie d'un système ne peut jamais s'annuler complètement; il est, du reste, en opposition avec la condition initiale que nous nous sommes donnée d'avoir une vitesse nulle au temps zéro.
Mais, pour un degré d'inertie très faible, on peut se rapprocher autant que l'on voudra de cette courbe exponentielle. La vitesse, dans ce cas, sera nulle à l'origine, mais au bout d'un temps très
PU
OA
\v\'"\lv
' yiv\
in
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 nt"
noi fonction de nt" pour diverses valeurs de l'inertie.
court la vitesse aura déjà fortement varié, la courbe aura passé par un point d'inflexion et, à partir de cet instant, elle se développera en affectant presque exactement l'allure d'une simple courbe exponentielle.
Pour des degrés d'inertie allant en croissant, la première portion de la courbe s'accentue, le point d'inflexion ayant lieu de plus en plus tard. Le mouvement apériodique, tant que ni<^i, passe par le mouvement critique (courbe V), puis devient périodique pour ni >> i (fig. 1 1).
Le degré d'amortissement décroît quand l'inertie prend des
valeurs de plus en plus grandes, et le rapport de deux élongations successives, d'abord infini pour ni= 1, tend vers l'unité pour ni tendant vers l'infini.
La durée d'oscillation passe par un minimum pour une cer- \\ taine valeur de l'inertie. On a, en effet, pour la pseudo-période réduite nT" :
y ni — 1
Cette quantité, d'abord infinie pour ni=i, passe par un mini- Fier, h.
