DEUXIÈME PARTIE

ci participe du rei[>os {par le Corollaire de la Proposition 22,jjaWîe //). Par suite, s'il est renvoyé du côté opposé et que seule sa direction soit changée, toute opposition n'est pas détruite pour cela entre ces deux corps, donc [par l'AxiorDie 19) il doit y avoir changement et dans la direction et dans le mouvement. Mais comme, par hypothèse, B se meut plus vite que A, B(j)ar la Proposition 22, piartie II) sera plus fort que A, donc [par r Axione 20) un changement sera produit en A par B, par qui A sera renvoyé du côté opposé. Ce qui était le premier point.

Maintenant, aussi longtemps que A se meut plus lentement que B il est opposé à B {par le Corollaire de la Proposition 22, partie II), donc le changement doit se poursuivre {par C Axiome 19) jusqu'à ce que A ne se meuve pas plus lentement que B. Mais il n'est pas dans l'hypothèse examinée de cause assez forte pour le faire se mouvoir plus vileque B ; puis donc qu'il ne peut se mouvoir ni plus lentement que B, alors qu'il est poussé par B, ni plus vite que B, il continuera à se mouvoir avec la même vitesse que B. En outre, si B transporte dans A moins de la moitié de son excès de vitesse, A se mouvra moins vite que B; si B transporte plus de le moitié de cet excès, alors A se mouvra plus vite que B ; l'un et l'autre sont absurdes, comme nous l'avons déjà démontré. Donc le changement se poursuivra jusqu'à ce que B ait fait passer dans A la moitié de son excès de vitesse que {j^ar la Proposition 20, partie II) il doit perdre ; et ainsi tous deux continueront à se mouvoir du même côté et également vite sans plus d'opposition entre eux.

COROLLAIRE

Il suit de là que plus un corps se meut vite, plus il est déterminé à se mouvoir suivant la ligne qu'il parcourt, et au contraire, plus lentement il se meut, moins il a de détermination à suivre une certaine direction.

SCOLIE

Pour que les Lecteurs ne confondent pas ici la force de détermination avec la force du mouvement, il a paru bon d'ajouter quelques observations établissant clairement la distinction de ces deux forces. Si donc l'on conçoit deux corps égaux A et C se mouvant directement l'un vers l'autre avec des vitesses égales, ces deux corps (joar la Proposition 24, jmrtie II) rejailliront du côté opposé en gardant tout leur mouvement. Mais, si le corps C est en B et se meut obliquement vers A, il est clair qu'il a une détermination moindre à se mouvoir suivant la ligne BD ou CA. Donc, bien qu'il ait autant de mouvement que A, la force de détermination de C se mouvant directement vers A, qui est égale à la force de déterminations du corps A, est plus grande que la force de détermination du même C se mouvant de B vers A; et d'autant plus grande quela ligne BA est plus grande que la ligne CA ; car plus la ligne BA l'emporte en grandeur sur la ligne CA, plus il est requis de temps (le corps situé en B et A étant supposés ici se mouvoir avec la même vitesse) pour que le corps situé en B puisse se mouvoir suivant la ligne BD ou CA par laquelle il est opposé à la direction de A. Et ainsi, quand C venant de B rencontre A obliquement, il est

DEUXIEME PAKTIE

déterminé tout de même que s'il devait continuer à se mouvoir vers B' suivant la ligne AB' (B' étant un point de la ligne BC prolongée situé à la même distance de G que B). A cependant, gardant tout son mouvement et toute sa détermination, continuera à se mouvoir vers G et poussera avec lui le corps situé d'abord en B, puisque ce corps, aussi longtemps qu'il est déterminé à se mouvoir suivant la diagonale AB' et se meut avec la même vitesse que A, a besoin de plus de temps pour décrire une partie quelconque de la ligne AG et est opposé en cela même à la détermination plus forte de A.

Mais, pour que la force de détermination de G se mouvant de B vers A soit égale à la force de détermination du même G se mouvant directement vers A (force égale par hypothèse à celle de A), il est nécessaire que le corps situé en B ait autant de degrés de mouvement de plus que le corps A, que la ligne BA a de longueur de plus que la ligne GA et alors, quand ce corps rencontrera le corps A obliquement, il sera renvoyé vers B' dans une direction opposée à celle qu'il suivait et A vers A' l'un et l'autre gardant tout leur mouvement. Par contre, si l'excès de mouvement du corps situé en B l'emporte sur l'excès de longueur de la ligne BA sur la ligne CA, alors ce

FiG. 13.

corps repoussera A vers A' et lui communiquera une partie de son mouvement jusqu'à ce que l'égalité des deux excès s'établisse (c'est-à-dire qu'il y ait entre les mouvements des deux corps le même rapport qu'entre les lignes BA et CA), perdant lui-même autant de mouvement qu'il en cède et continuera à se mouvoir du même côté qu'avant la rencontre. Par exemple, si la ligne AC est à AB comme 1 à 2 et le mouvement du corps A à celui du corps situé en B comme 1 à 5, ce dernier corps transportera dans A un degré de son mouvement, le repoussera du côté opposé et continuera lui-même à se mouvoir dans la direction qu'il suivait avec quatre degrés de mouvement.

PROPOSITION XXVIII

Règle \

Si un corps A {voir fig. 1) est complHeinent au repos^ et un peu plus grand que le corps B, avec quelque vitesse que B se meuve vers A, jamais il ne mettra B en mouvement mais sera repoussé par lui du côté opposé gardant tout son mouvonent.

On observera que l'opposition de ces corps peut être détruite de trois manières : ou bien quand l'un deux entraine l'autre avec lui et qu'ils continuent ensuite à se mouvoir du même côté avec la même vitesse ; ou bien quand l'un est renvoyé du côté opposé et que l'autre garde tout son repos : ou ])ien quand l'un est renvoyé du côté opposé et transfère une partie de son mouvement à l'autre qui est au repos ; il n'y a pas de quatrième cas {en vertu de la Proposition 13, partie 11). Il y aura donc à démontrer maintenant (à cause de la Proposition 23, partie II) que dans notre hypothèse le changement qui se fait dans ces corps est le plus petit qui se puisse.

DEUXIÈME PAIITIE 405

Bémonslration

Si B mettait A en mouvement, il devrait {parla Projwsùiou 20, partie II), jusqu'au moment où les deux corps se mouvraient avec la même vitesse, céder à A autant de mouvement que A en acquerrait et {2:>ar la Proposition 21, partie II) il devrait perdre plus de la moitié de son mouvement et conséquemment aussi [par le Corollaire de la Proposition 27, partie II) plus de la moitié de sa détermination ; et ainsi [par le Corollaire de la Proposition 26, pai'tie II) il éprouverait plus de changement que s'il perdait seulement sa détermination. Et, si A perd quelque chose de son repos, mais non assez pour pouvoir continuer de se mouvoir avec la même vitesse que B, alors l'opposition des deux corps n'est pas détruite ; car A s'opposera par sa lenteur, en tant qu'elle participe du repos {par le Corollaire de la Proposition 22, pai'tie II), à la vitesse de B et ainsi B devra encore être renvoyé du côté opposé et perdra avec toute sa détermination la partie de son mouvement qu'il aura fait passer en A, ce qui est un changement plus grand que s'il perdait seulement sa détermination. Le changement donc, dans notre hypothèse, sera, parcequil n'a lieu que dans la seule détermination, le plus petit qui puisse être dans ces corps, et par conséquent (j)a>- la Proposition 23, partie II) aucun autre ne se produira.

On notera dans la démonstration de cette Proposition que la même chose a lien aussi dans d'autres cas ; nous n'avons jias en effet cite' la Proposition 19, partie II, I. 23*

dans laquelle il est démontré^ que la direction peut être entièrement changée, le mouvement subsistant cependant en entier ; il faut cependant y avoir égard 2>otir que la force de la de'monstration soit bien perçue. Car., dans la Proposition 23, p)artie II., nous ne disions pas que le changement doit être le plus petit absolument, mais le plus petit qui puisse être.

Qu'un changement consistant dans la seule détermination tel que celui cjue nous avons supposé dans cette démonstration puisse avoir lieu, cela se voit par les Propositions 18 et 19, partie II, avec le Corollaire.

pnoposrriON xxix

Règle 5

Si un corps A au repos [voir fig. 1) est plus petit que £, si lentement que B se meuve vers A, il le mettra en mouvement avec lui, lui transférant une partie de son mouvemennt telle que tous deux ensemble se meuvent ensuite également vite [Lire Article 50, partie II, des Principes).

Dans cette règle comme dans la précédente on peut concevoir trois cas seulement dans lesquels l'opposition est détruite : nous démontrerons que dans notre hypothèse ce changement qui se fait dans ces corps est le plus petit qui se puisse, et ainsi {par la Proposilion 23, partie II) que c'est celui-là qui doit se faire.

Démonstration

Dans notre hypothèse B transporte dans A [par la Proposition 21, partie II) moins de la moitié de son mouvement et [par le Corollaire de la Proposition 17,

DEUXIÈME PAIITIE 407

partie II) moins de la moitié de sa détermination. Or, si B n'entraînait pas A avec lui mais était renvoyé du côté opposé, il perdrait toute sa détermination et le changement serait plus grand [par le Corollaire de la Proposition 26, partie II) ; et bien plus grand encore si B perdait toute sa détermination et en même temps une partie de son mouvement comme on le suppose dans ce troisième cas ; donc, dans notre hypothèse, le changement est le plus petit possible.

PROPOSITION XXX

Règle 6

Si un corps A au repos était rigoureusement égal à un corps B se mouvant vers lui, il serait en partie poussé par lui et en partie le repousserait du côte' opposé.

Ici encore comme dans la Proposition précédente, trois cas seulement peuvent être conçus : il faut donc montrer que le changement supposé par nous est le plus petit qui se puisse.

Démonstration

Si le corps B entraîne avec lui le corps A, jusqu'à ce que tous deux se meuvent avec la même vitesse, il y aura alors autant de mouvement dans Tun que dans Tautre [par la Proposition 22, partie II) et {par le Corollaire de la Proposition 27, partie II) B devra perdre la moitié de sa détermination et aussi {par la Proposition 20, partie II) la moitié de son mouvement. Si, au contraire, il est repoussé par A du côté opposé, alors il perdra sa détermination en entier et gardera

son mouvement [par la Proposition 18, partie //), changement égal au précédent. Mais ni l'un ni l'autre ne peut être ; car si A gardait son état et pouvait changer la détermination de B, il devrait être nécessairement [par V Axiome W) plus fort que B, ce qui serait contre l'hypothèse. Et, si B entraînait A avec lui jusqu'à ce que tous deux se mussent avec la même vitesse, B serait plus fort que A, ce qui est aussi contre l'hypothèse. Puis donc que ni l'un ni l'autre de ces deux cas n'est possible, c'est donc le troisième qui se produira, à savoir queB poussera A un peu et sera repoussé par A.

Lire Article 51, partie II, des Principes.

PROPOSITION XXXI

Règle 7.

Si ^ et K se mouvaient dans la même direction, A plus lentement mais B le suivant plus vite, de telle façon quil Vatteignît enfin, et que A fût p/w^ grand que B mais que l'excès de vitesse en B fût plus grand que l'excès de grandeur en A, B alors fera passer en A une partie de son mouvement telle que tous deux ensuite s'avancent avec la même vitesse et dans la même direction. iSî jwr contre V excès de grandeur en A ëtait plus grand que t excès de vitesse en B, B serait repousse' dans la direction oppose'e en gardant tout son mouvement.

Lire article 52, partie II des Principes. Ici encore trois cas seulement peuvent être conçus.

DEUXIÈME PABTIE 409

Démonstration

Première partie. — B ne peut pas être renvoyé dans la direction opposée par A, puisqu'il est [par les Propositions 21 et 22, partie II) supposé plus fort que A ; donc B étant le plus fort, il entraîne A avec lui, et cela de telle façon que les deux continuent à se mouvoir avec la même vitesse. Alors le changement sera le plus petit possible, comme il se voit facilement par ce qui précède.

Deuxième partie. — B ne peut, étant supposé moins fort que A {par les Propositions 21 et 22, pjartie II), pousser A ni lui céder aucune partie de son mouvement {j)or Vaxiome 20), donc [par le Corollaire de la Proposition 14, partie II) il retiendra tout son mouvement mais ne se mouvra pas du même côté puisqu'il en est, par hypothèse, empêché par A ; donc [par ce qui est (lit au chapitre II de la Dioptrique) il sera renvoyé [par la Proposition i^, partie II) du côté opposé en gardant tout son mouvement.

Oïl observera que dans cette Proposition et dans les précédentes nous avons tenu pour démontré que tout corps enrencontrant un autre directement et absolument empêche par lui de continuer à avancer du même côte doit rejaillir du côte' oppose' et non dans aucune autre direction ; pour le bien entendre, lire le chapitre II de la DiojUrique.

SCOLIE

Nous avons jusqu'ici, pour expliquer les changements résultant de la rencontre, considéré les deux corps

410 PniNCIPES DE LA PHILOSOPHIE

comme entièrement séparés de tous autres corps, sans avoir le moindre égard aux corps qui les entourent de toutes parts. Maintenant nous considérerons l'état et les changements en tenant compte des corps environnants.

PROPOSITION XXXII

Si un corps B est entouré de toutes parts de petits corps en mouvement le poussant avec la même force dans toutes les directions^ aussi longtemps qu'aucune autre cause n intervient, il restera immobile au même lieu.

Démonstration

Cette Proposition est évidente par elle-même; si, en effet, le corps était mû dans une direction quelconque par l'impulsion des corpuscules venant d'un certain côté, les corpuscules qui le mettraient en mouvement le pousseraient avec une force plus grande que ceux qui, au même instant, le poussent du côté opposé et ne peuvent avoir leur effet [par V Axiome '^0) ^ ce qui serait contre l'hypothèse.

PROPOSITION XXXIII

Le corps B, dans les conditions ci-dessus, peut, par la survenue d'une force aussi petite qu'on voudra, être mû dans une direction quelconque.

Démonstration

Tous les corps touchant B immédiatement, puisque {par hypothèse) ils sont en mouvement et que B {par