S XVIII

Prenons pour contour d'encadrement les quatre droites qui se coupent, que l'on obtient en supprimant dans un tétraèdre quelconque deux arêtes n'ayant aucun point en commun.

La représentation sur la surface de la sphère est un quadrangle sphérique dont on peut désigner les angles par a-, [jtz, vit, o~.

On obtient

du =

Cdt

lorsque les valeurs réelles t = a, b, c, d désignent les points du plan des *, qui sont la représentation des sommets du quadrangle. Si l'on applique la méthode développée au § XIV pour la détermination de 7j, on a ici, en particulier,

«p(0 = i, x(0 = MO;

par suite,

les fonctions *,, k, satisfont à l'équation différentielle

kiW~k* d, -'

et sont des intégrales particulières de l'équation différentielle du second ordre

4 rf»*(a»-*)A'(a) t (P*-jW&) k dv*~ t — a t — b

La fonction F(«) du § XIV est ici du second degré, mais les coefficients de «2 et t sont égaux à zéro; par conséquent h est une constante. On doit introduire t comme variable indépendante dans le premier membre de la dernière équation, et l'on obtient

i dkl

4 fw.N fZ'2/'

= — 7±^^+ ^Tô *-c «-«<

pour l'équation différentielle du second ordre que doit vérifier k. Si l'on a exprimé d'une manière effective a?, j, 2 comme fonctions de t, il se présente encore dans la solution seize constantes indéterminées réelles, ce sont : les quatre grandeurs a, b, C, d dont, comme ci-dessus, trois peuvent être prises quelconques, les quatre grandeurs a, (3, y, o, la grandeur A, ensuite, six constantes

SURFACES D'AIRE MIMMA POUR IX CONTOUR DONNÉ. 33q

réelles dans l'expression pourr,, un facteur constant de du et une constante additive pour chacune des expressions de x,y, z.

Pour la détermination de ces seize grandeurs, nous avons seize équations de condition; à savoir, les quatre équations qui expriment que les quatre lignes de contour dans le plan des r\ sont représentées sur la sphère le long de grands cercles et les douze équations qui expriment que x, y, z ont aux quatre sommets des valeurs données.

Dans le cas particulier du tétraèdre régulier la représentation sur la sphère est un quadrangle régulier dont chaque angle = \ ~. Les diagonales en ce cas se coupent par leurs milieux et à angle droit. Les points sur la surface de la sphère diamétralement opposés aux sommets de ce quadrangle sont les sommets d'un quadrangle congruent au premier. Entre les deux sont situés quatre quadrangles également congruenls au quadrangle primitif; ils ont chacun deux sommets en commun avec le quadrangle primitif et deux avec son opposé diamétral. Ces six quadrangles recouvrent une fois la surface totale de la sphère. Par conséquent,

aHogTî est une fonction algébrique de rt .

La surface minima cherchée peut être prolongée d'une manière continue au delà de son encadrement primitif, en lui imprimant une rotation de i8o° autour de chacune de ses lignes d'encadrement, prise comme axe de rotation. Le long d'une telle ligne la surface primitive et son prolongement ont leurs normales en commun. Si l'on répète celte opération sur les nouvelles portions de surface, on peut en continuant ainsi prolonger indéfiniment la surface primitive.

Mais, quel que soit celui de ces prolongements que l'on envisage, il est toujours représenté sur la sphère par un des six quadrangles congruents; et les représentations sur la sphère de deux portions de surface ou bien ont un côté en commun, ou bien sont situées à l'opposite l'une de l'autre, selon que les portions même ont commune ligne de contour, ou bien sont situées le long de lignes de contour opposées d'une portion de surface intermédiaire. Dans ce dernier cas, les portions de surface en question peuvent être amenées à se recouvrir par un déplacement parallèle. Par conséquent, ( j reste invariable lorsque l'on remplacerj par

34o DEUXIÈME PARTIE. — MÉMOIRES PURLIÉS APRÈS LA MORT DE RIEMANN.

Si l'on prend pour pôle (r, = o) le cenlre d'un des quadrangles et si le méridien initial passe par le milieu d'un des côtés de ce quadrangle, on a, pour les sommets de ce dernier,

t\ = tang - e 4 , tang - e *

tancr -

Les points auxquels correspondent des valeurs de r, égales et de signes contraires ont les mêmes coordonnées x. Par conséquent,

quand on remplace t\ par — t\, ( , n - j reste invariable. On obtient alors

du \ - Ci

La constante C| doit être réelle afin que du- possède des valeurs réelles sur le contour.

On arrive au même résultat de la manière suivante : la substitution

fournit sur le plan des £ une représentation dont le contour est formé par une ligne fermée à courbure partout continue. Le calcul montre que dlogt est imaginaire pure sur le contour. Par conséquent, la représentation du contour sur le plan des t est une circonférence dont le centre est t = o. Le rayon de cette cir-

conférence est égal à i Aux sommets

correspond aux sommets

correspond

7) = ± tanjr - ew

SURFACES D'AIRE MIXIMA POIR UN CONTOUR DONNÉ. i\\

Lorsqme sur la surface minima on décrit dans le voisinage d'un de ces quatre points un chemin conduisant d'une des lignes de contour à la suivante, l'argument de dt varie de 7t. On peut donc, comme au § XIII, poser de même ici

du. C2

et C2, doit être imaginaire pure, afin que du'2 soit réel sur le contour. On trouve

Cette expression coïncide avec celle précédemment établie pour ( -,-, ) • Pour simplifier encore posons

t2 -+- 1 et remarquons que

du \ - ,. / du\ 2 c/À ,.

rfl0g7)= -^ — — dl.

d\o'Z,rJ ° \d\/ d lu- r,

Alors un calcul très simple donne

do>

v/w(i — pw)(i — P'2 w)

«•> | y = - ui^y ('■- ï.) "°" = cp,//,(— )(.-p.,)

où o = — Mi — ^v^/ désigne une racine cubique de l'unité. La constante réelle G = ^ C| sera déterminée par la longueur donnée des arêtes du tétraèdre.

§ XIX

Pour terminer, nous traiterons encore le problème de surface minima pour le cas où l'encadrement est formé par deux circonférences quelconques situées sur des plans parallèles. Ici l'on ne

connaît donc pas la direction des normales au contour, et l'on ne peut donc en opérer la représentation sur la sphère. Mais on arrive à la solution du problème en faisant l'hypothèse que toutes les sections planes, parallèles aux plans des deux circonférences d'encadrement, sont également des circonférences. On démontrera que, sous cette hypothèse, la condition du minimum peut être satisfaite.

Si l'on prend l'axe des x perpendiculaire aux plans des circonférences de contour, l'équation de la courbe d'intersection déterminée par un plan qui leur est parallèle sera

et il s'agit alors de déterminer a, [3, y comme fonctions de x. Posons, pour abréger,

en sorte que

cos/- = n

/dF\2 [âFy /^Fx \àx) + \ày) + [iz;

sin /• cosc? = n — - ,

sin r sin cp

dx dy dx

Alors la condition du minimum peut se mettre sous la forme

dx dy dz

ou, après avoir effectué les difFérenlia lions,

4^(F + at+p.ï) + 4 (t*

dx'2

♦Sic-

-+- 4 • a ( F -h a2 ■+■ pa — y ) = °-

Si l'on pose a2 -j- (32 — y = q, et si l'on observe que F = o, la dernière équation se transforme en

dF dq

dx2 dx dx

et l'on a, après une première intégration,

l (11 q dx

dx T

const.