LE "2 0 FÉVRIER

Œuvres de Riemann, 2e édition, page 879.

On sait que chaque solution d'une équation différentielle linéaire homogène du n'eme ordre peut s'exprimer linéairement au moven de n solutions particulières indépendantes entre elles à coefficients constants. Si les coefficients de l'équation différentielle sontdes fonctions rationnelles de la variable indépendantes, chaque branche des fonctions, en général multiformes, qui satisfont à l'équation, peut s'exprimer linéairement avec des coefficients constants au moyen de n fonctions uniformément déterminées pour chaque valeur de x, mais qui doivent, il est vrai, être discontinues le long d'un certain système de lignes. Mais, si les coefficients sont des fonctions algébriques de x, qui peuvent s'exprimer rationnellement à l'aide de x et d'une fonction algébrique de^àjj. déterminations, à chaque branche de cette fonction à u. déterminations appartient un groupe de n solutions par- R. 23

liculières indépendantes entre elles, de telle sorte qu'en ce cas chaque branche d'une solution de l'équation différentielle peut être représentée comme une expression linéaire de fonctions uniformes, en nombre au plus égal à u./?, mais qui ne renferme jamais plus de n de ces fonctions appartenant à un même groupe.

D'après ces remarques préliminaires, puisque toute équation différentielle linéaire non homogène peut être facilement transformée en une équation homogène de l'ordre immédiatement supérieur, on reconnaît que les propositions qui suivent s'étendront à toutes les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques.

Soient y\-,y-ii • • •iXn des fonctions de .r, qui, pour toutes les valeurs complexes de cette grandeur, sont uniformes et finies, sauf en a, b, c, . . . , g, et qui, lorsque x décrit un circuit autour d'une de ces valeurs de ramification, se transforment en des fonctions linéaires à coefficients constants de leurs valeurs précédentes. Pour les déterminer dune manière plus précise, partageons l'ensemble des valeurs complexes en deux domaines au moyen d'une ligne qui se ferme en revenant sur elle-même, et qui passe successivement par toutes les valeurs de ramification dans l'ordre («, .... c, b, a), de telle sorte qu'en chacun de ces domaines les fonctions aient un cours complètement séparé et continu, et regardons comme donnée la valeur des fonctions dans le domaine situé du côté positif de celte ligne.

Supposons que, par l'effet d'un circuit positif de x autour de a . y, soit transformé en

y 2 en

2 Al' ru

2 Ai"/.

que, d'une manière toute pareille, par l'effet d'un circuit positif autour de b, y,, le soit en