ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES A COEFFICIENTS ALGÉBRIQUES

et que, \%v l'effet d'un circuit positif autour de g. i v le soit en

Désignons maintenant, pour abréger, par (y) le système des n valeurs i'i->. .*'«'• Par < ^) 'e système des n2 coefficients

par li I-- système analogue des lî. . .., etc., par (G) le système des G, et par (A) {y 1 , y 2 r„ = \ i (y) les valeurs suivantes

tirées de (y) à l'aide du système de coefficients A i.

Cela posé, entre ces systèmes de coefficients a lieu L'équation

si l'on désigne par (o) un système de eoefficienls qui ne varie pas, c'est-à-dire où les coefficients de la diagonale qui descend vers la droite suit égaux à i, tandis que tous les autres coefficients sont égaux à o.

En effet, si X décrit la ligne totale de contour de manière à passer toujours dune valeur de ramification à la suivante, en suivant le bord positif et en tournant charpie fois dans le sens positif autour de celle valeur de ramification, les fonctions (y) se transforment successivement en G(y), (G) (F) y, . . ., enfin en (G) (F). . .(B) (A) (y). Mais le résultat est le même quand x décrit le bord négatif de la ligne de séparation, c'est-à-dire le contour total du domaine situé le long du bord négatif; dans ce cas iy'\,y-ii •■•■>yn) doivent reprendre leurs valeurs primitives, puisque, en ce domaine, ces fonctions sont partout uniformes.

Un système de n fondions qui jouit des propriétés ainsi définies sera désigné par

On considérera maintenant comme appartenant à une classe tous les systèmes pour lesquels les valeurs de ramifications et les substitutions correspondant à ces dernières ont des valeurs données satisfaisant à l'équation (i), ce qui, du reste, a lieu, comme nous le reconnaîtrons bientôt, pour un nombre infini de systèmes. D'après un théorème facile à démontrer, employé maintes fois par Jacobi, toute substitution, d'une manière générale, peut être décomposée en trois substitutions, dont la dernière est la substitution inverse de la première et dont la substitution intermédiaire a tous ses coefficients, hormis ceux de la diagonale, égaux à zéro, de telle sorte que par cette substitution chacune des grandeurs à laquelle on l'applique acquiert seulement un facteur. On peut donc écrire, par exemple,

/ Ai, o, ... o j

(a)-1 désignant la substitution inverse de (a). Les grandeurs A sont alors les n racines d'une équation de degré /i, complètement déterminée au moyen de (A). Dans le cas où cette équation aurait des racines égales, on devrait modifier légèrement la forme de la substitution intermédiaire; mais, pour simplifier, nous excluerons d'abord ce cas et nous supposerons qu'il ne se présente pas dans la décomposition des substitutions (A), (B), ..., (G). La substitution (a), par la seule adjonction d'une substitution comme facteur, peut être transformée en

t II, O, o j

sous cette forme, comme le font voir les équations qui la déterminent, sont alors renfermées toutes les valeurs possibles de celte substitution.

Par l'effet d'un circuit positif de x autour de «, les valeurs des fonctions (y) se transforment de (/?,,/>2, ..., pn) en (A)(/?). Les