ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES A COEFFICENTS ALGÉBRIQUES

valeurs des fonctions

-.. sa 5«) = («)-,(7),

formées par L'application de la substitution (a)-1 à (y), se transforment alors de

c'est-à-dire que

se transforme en

Lorsqu'une fonction s, par l'effet d'un circuit positif de x autour de a, acquiert un facteur constant )., on peut, en la multipliant par une puissance de (x — a), la transformer en une fonction qui, dans le voisinage de a, est uniforme. En effet, (x — a)V-, par l'effet d'un circuit positif de x autour de a, acquiert le facteur er1-"'. Si l'on détermine, par conséquent, ;jl de telle sorte que e|i2TK )Vj on sj l'on p05C ,j— £:, aiors z(x — a)~V- est une fonction uniforme pour x — a. Cette fonction peut donc être développée suivant les puissances entières de (x — a), et c lui-même peut l'être suivant des puissances dont les exposants ne diffèrent de u. que par des nombres entiers.

Par suite, ;,, z2 zn sont développables suivant des puissances de x — a, dont les exposants sont de la forme

logX, logX9 logÀh

où m désigne un nombre entier.

Nous ferons maintenant l'hypothèse que les fonctions y ne deviennent jamais infinies d'ordre infiniment grand, en sorte que ces séries doivent prendre fin du côté des puissances descendantes, et nous désignerons par a,, ul2, ..., uH les plus petits exposants dans ces séries, de telle sorte que

zx(x — a)~V-t, .... zn{x — a)~V"

ont des valeurs finies, différentes de zéro. Il est évident que la différence de deux quelconques des grandeurs jj.,, iju, ..., <xtl ne peut jamais être un nombre entier, puisque les valeurs des grandeurs >.,, Ao, ...,)v, sont toutes différentes entre elles; au contraire les ialeurs des exposants correspondants dans deux systèmes quelconques appartenant à la même classe ne peuvent différer que par des nombres entiers, puisque les grandeurs À,, X2, . . . . A« sont complètement déterminées par (A). Ces exposants peuvent donc ainsi servir à distinguer entre eux les différents systèmes de fonctions de la même classe ou encore à les grouper, et il suffit, lorsqu'ils sont connus, d'assigner au lieu de (A) la substitution (a), puisque les grandeurs À, . X2, ..., Aw sont déjà déterminées par ces exposants.

Nous allons donc comme caracléristique plus exacte du système (y, , y2, . . . ,V/i) employer l'expression

où les grandeurs dans les lignes verticales relatives aux valeurs de ramification b: ..., g ont par rapporta ces dernières même signification que les grandeurs dans la première ligne verticale par rapport à a. Il est alors bien clair que chaque système peut être considéré comme cas particulier d'un autre où les exposants correspondants sont soit en partie, soit tous ensemble plus petits. Maintenant, il n'est pas difficile de démontrer que, entre chaque combinaison de n -+- i systèmes, qui appartiennent à la même classe, a lieu une équation linéaire homogène dont les coefficients sont des fonctions entières de x. Nous distinguerons les grandeurs correspondantes dans ces n 4- i systèmes au moyen d'indices supérieurs. Si nous supposons qu'entre ces grandeurs aient lieu les n équations suivantes

/ «ojri +«i7(,1)^-.. .-*-any\v = o, /2) ] «o/2 + «i y'ï '+...+ «« jk'2" ' = o,

!»/« + «i y\] '-+-.. •+ a-nyp = o,

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES A COEFFICIENTS ALGÉBRIQUES. 35g

les coefficients <z0j <2ij .... a„ devront être proportionnels aux déterminants des systèmes que Ton obtient en supprimant successivement, dans le système des n(n-\-l) grandeurs y, la ire, la 2e, .... La (n -+- i),cme ligne verticale. I u pareil déterminant

lorsque x décrit un circuit positif autour de a, acquiert le facteur Dét. (A), et pour X = a ne peut devenir infini d'ordre infiniment grand. Il peut donc être développé suivant des puissances de x — a dont les exposants augmentent de i. Pour déterminer le plus petit exposant dans ce développement, on peut écrire ce déterminant sous la forme

Dét. (a) 2 ±*\* ^ ■■■ *'?•

Dans ce dernier déterminant, le premier terme

est multiplié par une fonction qui, pour# = a, possède une valeur finie et différente de zéro.

Le plus petit exposant dans le développement de ce terme suivant les puissances de (x — a) est donc

et l'on déduit de ce dernier, en y permutant les indices supérieurs, les plus petits exposants dans les développements des termes restants. Il est évident que l'exposant cherché est en général égal à la plus petite de ces valeurs et certainement n'est jamais plus petit.

Désignons la plus petite de ces valeurs par u, la valeur analogue pour la seconde valeur de ramification par v, ... et ainsi de suite, jusqu'à la dernière valeur analogue que l'on désignera par o ; alors

2 ±y'\l)y\r) • • • y\V (* -a^ix-by^ . . .(*-?)-*

est une fonction de x, qui, pour toutes les valeurs finies com-

plexes, reste uniforme et finie et qui, pour x = cc, devient infiniment grande d'ordre au plus égal à

c'e:4, par suite, une fonction entière de degré au plus égal à

Cette dernière grandeur doit donc, lorsque la fonction ne s'évanouit pas identiquement, être un nombre entier, non négatif.

Les déterminants partiels, auxquels les grandeurs a0, au . . . , an sont proportionnelles, se comportent donc comme des fonctions entières, multipliées par des puissances de x — a, x — b, ..., x — g, dont les exposants dans les divers déterminants diffèrent entre eux par des nombres entiers. Par conséquent, les grandeurs «0,r/,, ..., an elles-mêmes se comportent comme des fonctions entières et peuvent donc être remplacées dans les équations (2) par de telles fonctions, ce qui nous fournit la proposition que nous voulions démontrer.

Les dérivées des fonctions yt, y2, ..., yn par rapport à x forment évidemment un système appartenant à la même classe, car les quotients différentiels des fonctions (A) (yi,y->, •••, y,i), en lesquelles sont transformés (yt1 y2, ■ • • , y„) lorsque x décrit un circuit positif autour de <2, sont égaux à

(K)(dy\ -■-*, •-, dyn]> \ dx ' cl.r ' dx J

puisque les coefficients dans (A) sont des constantes. A l'aide de cette remarque, du théorème déjà démontré, on tire les deux corollaires :

Les fonctions y d'un système satisfont à une équation différentielle du nième ordre dont les coefficients sont des fonctions entières de x.

Et:

Chaque système appartenant à la même classe peut s exprimer linéairement avec des coefficients rationnels à l'aide de ces fonctions et de leurs n — 1 premières dérivées.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LIISÉAIRES A COEFFICIENTS ALGÉBRIQUES. 36l

Au movâi de cette dernière proposition, on peut former une expression générale pour tous les systèmes d'une classe, expression qui permettra de reconnaître aussitôt que le nombre de tous les systèmes est infini, ainsi que nous l'avions déjà affirmé; toutefois, nous n'en ferons ici l'application qu'à la recherche de tous les systèmes où non seulement les substitutions, mais encore les exposants aussi sont les mêmes. Pour un système quelconque Y,, Y2, ..., Yrt à mêmes substitutions et à mêmes exposants que r,,

j'2 ya, on aura, d'après le dernier corollaire, en désignant

les dérivées suivant les notations de Lagrange, n équations linéaires de la forme

c0 V, = b*yx 4- bxr\ +. . .-f- 6„ijK(»- ' »,

o Y„ = b0y„ ■+- />,,)•; — . . . -r- bn-iy% n,

où les coefficients sont des fonctions entières de x. La fonction c„ ne dépend que des fonctions y\ quant au degré des fonctions 6, il ne dépasse pas un maximum fini, en sorte que ces fonctions n'ont qu'un nombre fini de coefficients. Réciproquement, pour que les fonctions \,, Y2, •••, Yn définies par ces équations, jouissent des propriétés requises, il faut que ces coefficients soient tels que, pour les valeurs de ramification, leurs exposants ne soient pas inférieurs à ceux des fonctions j', et il faut que, pour toutes les autres valeurs de jc, ces coefficients restent finis.

Ces conditions fournissent un système d'équations linéaires homogènes pour les coefficients des puissances de x dans les fonctions b.

La résolution de ces équations, lorsqu'elles suffisent à la détermination des coefficients, donne, comme valeur la plus générale des fonctions (Y), la valeur const. {y)', mais, lorsque cela n'est plus le cas, elle donne une expression de la forme

Y — lev L- /• Y" i- -i- /- Y(""

où /., /,,, . . . ,- km sont des constantes arbitraires. On peut dé-

terminer ces constantes l'une après l'autre, chacune comme fonction de celles qui restent, en sorle que le premier terme dans le développement d'une des fonctions (a)"1 (Y), ((3)~4(Y), .... (Er)~' (Y ) soit nul, ce qui a pour conséquence d'augmenter chaque fois la somme des exposants au moins d'une unité; de la sorte la somme des exposants est finalement augmentée au moins de /;?, le nombre des constantes arbitraires étant alors diminué exactement d'autant. De cette manière, de chaque système de n fonctions, on peut en tirer un autre à exposants plus élevés qui est alors complètement déterminé, à un facteur constant près, commun à toutes les fonctions, au moyen des substitutions et des exposants dans sa caractéristique.

Maintenant ce facteur aussi sera lui-même déterminé parce fait que l'on égale à i le coefficient de la plus petite puissance de x- — a dans le développement de la première des fonctions (a)-,(y)< et ainsi les fonctions y seront déterminées d'une manière uniforme (' ).

[On n'a plus besoin que d'étudier avec précision comment la marche de ces fonctions varie avec la position d'une des valeurs de ramification, a par exemple, pour arriver à la proposition suivante : les grandeurs y forment un système analogue de fonctions de a aussi bien que de x, dont les valeurs de ramification sont 6, c, cl. ..., g, x, et dont les substitutions sont formées par composition des substitutions (A), (B), . . . , (F).

Au cas où il est impossible de faire varier les fonctions avec a de telle sorle que toutes les substitutions restent constantes (parce que le nombre des constantes arbitraires qu'elles renferment serait alors plus petit que le nombre des conditions nécessaires pour cela), on peut regarder le système comme un cas

(') Jusqu'ici l'on n'a eu besoin que de suivre un manuscrit complètement rédigé par Riemann. A l'endroit où se trouve le crochet on trouve écrit en marge dans la suite du manuscrit de Riemann : à partir d'ici inexact. Néanmoins, je n'ai pas cru devoir supprimer le passage suivant (entre crochets), car il contient le germe d'un développement ultérieur des profondes théories, qui y sont indiquées. Sur quelques feuilles du brouillon de Riemann on trouve une esquisse de ces développements. Je les ai reproduits, dans ce qui vient ensuite, en les modifiant le moins possible. — ( H. Weber. )