DETERMINATION DE LA FORME DE L'EQUATION DIFFÉRENTIELLE

Le premier problème qui se présente dans la théorie des équations différentielles linéaires, basée sur ces principes, est la recherche des systèmes les plus simples de chaque classe, et, à cet effet, on devra d'abord déterminer avec plus de précision la forme de l'équation différentielle.

Si nous entendons par les précédentes fonctions y^\ y{~\ • "1 y^n\ comme le fait Lagrange, les dérivées successives de la fonction y, alors les équations (2) représentent l'équation différentielle à laquelle satisfont ces fonctions. Le degré des fonctions en-

lières, qui peuvent être prises pour les coefficients, se détermine comme il suit :

Chaque différentiation par rapport à x diminue d'une unilé tous les exposants de la caractéristique, lorsque l'on suppose qu'aucun deux n'est un nombre entier; alors

2 ± {yx y«K. . /„»-»>) (x - a)-V- (x - 6)-v. . . (x - g)-? = X„

reste partout fini et uniforme, lorsque l'on pose

Pour x = ao, puisque les fonctions y restent finies et uniformes, \ ±) ,)','. . ■ r"'^ est infiniment petit d'ordre n (« — i). Le degré de la fonction entière X0 est donc

si l'on désigne par m le nombre des valeurs de ramification et par s la somme des exposants dans la caractéristique.

Lorsque dans le système des n(/i + i) grandeurs y, au lieu de la dernière ligne verticale, c'est la (n -f- 1 — t)'lème que l'on supprime, le déterminant ainsi formé doit être, en général, multiplié par des puissances de (x — a), (x — b), ..., (x — g) dont les exposants sont augmentés du nombre t; il sera, par suite, une fonction entière de degré r-f- (m — i) t [au cas seul où l — /?, ce degré sera /' -f- (m — 2);'-]

L équation différentielle, si l'on désigne par w le produit (' — a) {x — b). . .(x — g), peut donc être mise sous la forme

X„y + w\„ijK'-i-. . .-f- w"X07(/i) = o,

où les grandeurs X^ seront des fonctions rationnelles entières de degré r -\- (m — i ) t [ X„ sera de degré /• + ( m — 2 ) n ] .

Cherchons maintenant quelles sont les conditions auxquelles doivent satisfaire les coefficients de ces fonctions pour qu'une