ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES A COEFFICIENTS ALGÉBRIQUES. 3C

ramification fce présente pour les seules valeurs a, b, .... g et pour que les exposants de discontinuité aient en ces ramifications les valeurs assignées. Une ramification ne se présente jamais, et c'est le seul cas où elle ne se présente pas. laut que toutes

- s ilutions de l'équation différentielle sont développantes suivant les puissances entières de l'accroissement de x, c'-est-à-dire encore tant que le développement de y, d'après le théorème de Mac-Laurin, renferme n constantes arbitraires. Cela est toujours le cas lorsque an est différent de zéro. Nous n'avons donc qu'à traiter le cas an = o.

Si l'on écrit l'équation différentielle sous la forme

bQy -+- bt(x — a)y'-+- f>2< ./■ — a rj'"— . . . b (x — a)nj • " = o,

il faut, pour que la fonction y, dans le voisinage de x = «, ait le

caractère prescrit, que les quantités u,, u2 u.n soient toutes

racines de l'équation

bo — b\ y. ■+- . . . — li , [i. • \i — i). . .1 \j. — n -+- i) = o.

Cela fournil /? conditions pour les fonctions X; en outre, puisque toutes les grandeurs ;jl sont finies et inégales entre elles, il est nécessaire que, pour x = a, b„ ne soit pas égal à zéro. Il en est de même pour les racines restantes b, c, . . . , g de u> = o. Par conséquent, X0 = o ne peut avoir aucune racine commune avec 10 = 0. Maintenant, si (pour une racine de X0 = o) <?„ =o, et au contraire an K 7^ o, alors (pour cette racine) y, y', .... yin-2) peuvent être pris arbitrairement, mais y("-l> est déterminé par l'équation différentielle

a,iy<n) -+- fl«-i7(a"1, + . • .-ha0y = o,

de sorte que (n — 1) constantes arbitraires se présentent dans les (n — 1) premiers termes de la série de Mac Laurin, la dernière constante d'ailleurs se présentant au plus toi dans le (n -j-i)ieme. Supposons qu'elle se présente d'abord dans le (/?. -h h)[ème terme. Alors, si l'on élimine dans la dérivée hieme de l'équation différentielle

anyln+h) -T-{ha'n + a„-,);w-"+...= o,

les grandeurs y(n+h-2)^ . . . ; y(n-i) entre les dérivées précédentes

et l'équation différentielle elle-même, les coefficients de j-("+h~[l . J ("~2\ y^n~s\ •'•ijr doivent tous s'évanouir, puisque ces grandeurs sont indépendantes entre elles. On obtient donc

hd„ + «„, = o;

par conséquent, an est différent de zéro et l'on a en outre encore n — i équations, et l'on obtient donc n équations de condition pour les coefficients des fonctions X.

En second lieu, supposons que an et an K s'évanouissent simultanément, mais que ««o reste fini, en sorte que les n — 2 premiers termes de la série de Mac Laurin renferment n — 2 constantes arbitraires, et supposons que la constante suivante se présente d'abord dans le (/? -h h — 1 )"'""' et la dernière dans le (n + A' — i)ième terme.

Alors, pour que y(»+à-i) et ^(«+A'-2j soient indépendantes devaleurs des dérivées d'ordre inférieur, on doit avoir les équations

ann + ka'n i -+- «„2 h'a'/:l -r- a„^2 — o,

et, par conséquent, a"n et dn { sont différents de zéro, et de plus l'on a encore in — 3 équations. Par conséquent, deux facteurs linéaires de an sont égaux à zéro, et l'on obtient in condition> pour les fonctions X.

D'une manière tout analogue,' dans le cas oùa«, rt«i, fin 1 s'évanouissent simultanément, mais où an 3 reste fini et où les trois dernières constantes arbitraires se présentent d'abord dans les ( n + h — 2)ième, (n + h'-- 2)ième, (n + h" — 2)ième termes, on trouve les conditions suivante- :

hi-i = o,