ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES A COEFFICIENTS ALGÉBRIQUES. 3Ô

sions l'on rayonnait évidemment que chaque facteur linéaire de Y, a pour conséquence n conditions entre les fonctions X (').

.Nous niions maintenant supposer qu'un des points singuliers, par exemple g% est situé à l'infini, et nous désignerons par tu h» fonction de degré ni — i .

Les déterminants d'ordre /?. formés à l'aide de la matrice

y, yt ... ... .

yn y'n ■ ■ ■ y,',' •

seront désignés par A(). A, A„, eu sorte que yt, y-, r

sont des solutions particulières de I équation différentielle

La fonction

A ,■ - a \ '-['■ X — b)~-v . . . tû 2 —XijA.

est alors, ainsi qu'il a été déjà remarqué, une fonction rationnelle entière de .r, dont on obtient le degré au moven de la considération du point singulier .r = oo; ainsi, en désignant par rt le degré de

X,, on a

// = r -f- ( m — ï)t où

est le degré de X0, et où

S = I. [j. — X / - ■ - . . . — X p est un nombre entier.

(') Quant à la manière dont se comporte l'équation différentielle pour des valeurs infinie? de .r, nous ne trouvons rien dans le manuscrit de Riemann. Le dénombrement des constantes est seulement indiqué. Ce qui suit a donc, autant que possible, été supplémenlé par l'Éditeur. On a remarqué, dans la première édition, qu'on obtient une simplification essentielle lorsque l'on transporte un des points de discontinuité à l'infini. Dans cette simplification, introduite pour la première fois dans cette deuxième édition, nous corrigeons en même temps une erreur clans le dénombrement des constantes, qui s'était glissée dans la première édition, et sur laquelle M. le Dr D. Ililbert a attiré mon attention.

( \\ KBER.

L'équation différentielle pour y peut alors s'écrire sous la forme

w"Xoj'") -+■ w"-1 X, j'("-i; +. . .-+- o)X«-ij'-+- X„jk = o,

et, à cause des /• zéros de X0, qui, par hypothèse, ne font pas partie des points singuliers, il faut, d'après ce qui précède, que rn conditions aient lieu entre les constantes renfermées dans cette équation différenlielle.

Par conséquent, il reste ainsi dans l'équation différentielle un nombre de constantes dont on peut disposer (puisque un des coefficients peut être pris = i) égal à

ou, si 1 on remplace /• par sa valeur, égal a

et, dans un système quelconque de n intégrales particulières^,, y2, ..., yn où entrent encore n- constantes d'intégration, le nombre de constantes indéterminées est alors

Le nombre des coefficients dans les substitutions (A), (B), . . ., (G) est mn'2, et, par conséquent aussi, miï- conditions devraient être satisfaites, lorsque ces substitutions sont assignées arbitrairement.

Or ces substitutions sont liées par la condition (i), en sorte que n- des conditions précitées sont une conséquence identique de celles qui restent. 11 reste donc ainsi (m — i)n'2 conditions, et le nombre des constantes dont on peut encore disposer est n — s1. Ce nombre doit être au moins = i , puisqu'un facteur commun à tous les y doit rester arbitraire; on en conclut, par suite,

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