II -4- I
P'-il
1 7-'"+l P — .Pâtt-t-lQ = P
(i) \ =.r"P( , r ' x ) =xnpa+u
où P/?, Q/2 désignent ce que deviennent P et Q quand on remplace a, a' par a + /?, a' — /?. Or, si nous faisons varier d'une
DEVELOPPEMENT DU QUOTIENT DE DEUX SÉRIES HYPERGÉOMÉTRIQUES. 3j I
manière commue x el les fonctions de x de telle sorte que l'affîxc de la valeur complexe x décrit un circuit entourant l'affixé de i pm et qm reprendront les mêmes valeurs, et P, Q, I>„? ()7 se transformeront en d'autres branches de ces fonctions.
Par conséquent, si nous désignons par P', Q', P),, (T les autres branches correspondantes de ces fonctions, nous avons aussi
I Çin+1?' - Pin+iQ' = a?"P'„+l> I ?2« P — />2« Q' =ar»Q'.
Des équations (i) et (2) l'on tire
P*n+X = PPJy , -P'P^i
swi ~ QP^.-Q'P^,' £.„ = pq;,-p'q„ ?*« qq;-q'q„"
Par suite, pour trouver les valeurs de x pour lesquelles ^ el
Ptn+i P ^2"
^—^ convergent vers -, il suffit de rechercher en quels cas ^ Ct <^f convergent vers zéro, pour n croissant indéfiniment.
[§ III
A cet effet, il convient d'introduire les expressions de P„ et Qw par des intégrales définies. Posant
on peut exprimer P„ par
xx+n ( , ,r )y I sa 1-/1 (, S)6 h// ( , .„ )c-« ds 1 et Q„ par
Ua+"(i — a?>Y T »«+ï+»(i—*)*+»(.i— a?* ;«-»«&] .
Pour avoir la valeur générale des fonctions P„, Qn on aurait
besoin de multiplier les intégrales par des facteurs constants, mais nous pouvons substituer les intégrales dans les équations (1) en comprenant les facteurs constants dans les fonctions entières Pmi Cm- Quant aux valeurs des fonctions sous le signe d'intégration, les valeurs que l'on prendra sont indifférentes, pourvu que dans chaque intégrale l'on prenne pour sa, (1 — s)b, (1 — xs)c les
mêmes valeurs.
[Maintenant les expressions pour — restent encore inaltérées
Cm
lorsque l'on remplace P', Q', P^, Q^ par les mêmes combinaisons linéaires de ces grandeurs et des grandeurs P, Q, P„, Q„ :
AP + BP', AQ + BO', AP„-f-BP„, AQ„ -+- BQ^,
où A et B désignent deux constantes, la constante B n'étant jamais nulle. On obtient de telles fonctions correspondantes, lorsque les précédentes intégrales, au lieu d'être prises de o à 1 , le sont
depuis une quelconque des quatre valeurs o, 1, —3 x jusqu'à une
quelconque de ces quatre valeurs, et cela toutes étant prises le long du même chemin.]
Par suite, nous pouvons prendre pour P^, Q^ ces intégrales prises l'une après l'autre autour de - •
Les intégrales [par lesquelles, en vertu de ce qui précède, sont exprimés P/n Q„, P^, Q'rt, ne changent pas de valeur lorsque le chemin d'intégration varie d'une manière continue entre les limites indiquées], puisque le chemin d'intégration ne dépasse pas l'affixe
de -; et nous pouvons disposer du chemin d'intégration, de telle
sorte que l'on puisse trouver plus facilement la limite vers laquelle converge la valeur de l'intégrale, pour n croissant.
A cet effet
1 ■ XS
[Ici s'arrête le texte de Biemann ; mais, à l'aide de quelques ligures et formules employées par Biemann, on peut reproduire les conclusions peut-être de la manière suivante :
Posons]
I — xs
DÉVELOPPEMENT 01 QUOTIENT DE DEDX SÉRIES BYPERGÉOMËTRIQUES. 3j3
[et considérons dans le plan de la grandeur complexe s les courbes le long desquelles le module de ef{s) a une valeur constante. Pour de 1res petites valeurs de ce module, ces courbes entourent les points o et i. à peu près comme le feraient des cercles concentriques de rayons assez petits. Pour de très grandes valeurs du module, ces courbes entourent le point s= — et le point s = gc.
Dans les deux cas, les courbes sont donc formées de deux portions séparées. Si Ton fait croître le module en partant des petites valeurs, les portions séparées qui entourent les points o et 1 et qui correspondent à la même valeur du module se rapprochent toujours l'une de l'autre de plus en plus jusqu'à ce qu'elles ne forment plus qu'une seule courbe cpii possède un point double. Pour ce point double, /'(s) doit être égale à zéro. La considération pareille a lieu lorsque, partant de très grandes valeurs, on fait décroître le module en question.
On obtient les équations suivantes :]
f(s) = log(i- s) -logl ' A
,,. I II I — 2S -+- XS
! — S I S- S(l — S) (l — XS)
[Pour /'(s) = o on a, par conséquent] i — xs ■+- xs'2 = o, si i -■ - xs ) — - i — .s', i — is -+- s- = (i — x)s- = (i — s)-,
i = y i — x = I — xs, ■ — s .
[Maintenant on désignera par y/i — x cette valeur du radical carré dont la partie réelle est positive, en excluant de nos considérations le cas où x est réel et ^i. Ensuite, on pourra désigner par o-, 3-' les deux racines de l'équation quadratique
■> s - XS- — o,
de telle sorte que le module de ? est plus petit que le module de a*.
On ;i alors
e/ ff' = u'2 =
Concevons maintenant que le point 5=0 soit joint au point 5 = 1 par une ligne passant par le point i=T et telle que, en cheminant lé long de cette ligne, le module de ef{s) croisse continuellement sur le chemin conduisant de s = o jusqu'à i = u, tandis que sur le chemin conduisant de s = ? jusqu'à s= i ce module décroisse continuellement. Une telle ligne peut servir de chemin d'intégration pour les intégrales prises de s= o jusqu'à s = i, intégrales au moyen desquelles sont exprimées les fonctions P«, Q„.
D'autre part, pour ces intégrales qui peuvent remplacer les fonctions P^, Q'rt, on peut employer un chemin d'intégration qui conduit d'ahord du point s= i jusqu'au point 5 = a-', et qui rejoint ensuite le point 5 = 1 en tournant autour du points = -• Ce chemin d'intégration peut être choisi de telle sorte que le module de cf[Sï atteigne son maximum sur cette ligne seulement au point s = a-'.
Dans les Jïg. i3 et 1 4, dont on a trouvé l'esquisse faite par Riemann même, les chemins d'intégration sont indiqués par les lignes ponctuées.
Il s'agit alors de trouver maintenant une expression qui donne une représentation asymptolique de la valeur de l'intégrale
' l i | — XS Ie
DÉVELOPPEMENT Dl Ql'OTIENT DE DEl \ SÉRIES I1VPERGÉOMÉTRIQI ES. 3j!>
pour les valeurs infiniment grandes de n. On posera
on a donc à évaluer
f''/1' s .s | ds,
pour n = x.
Ces portions du chemin d'intégration, qui ne sont pas situées dans le voisinage de la valeur singulière 5 = 0-, apportent à la valeur de l'intégrale une contribution qui, pour les valeurs infiniment grandes de/*, est non seulement infiniment petite, mais encore (puisque la partie réelle de /?[/(-) — /(>">')]< sous les hypos en question, croît au delà de toute mesure') est infiniment petite par rapport à cette partie de l'intégrale qui est relative à une portion du chemin d'intégration, située dans le voisinage de la valeur s = <x. De là résulte que pour trouver une expression asymptotique de l'intégrale en question, valable pour lim n = x, il suffit de restreindre la sommation à une portion du chemin d'intégration, située dans le voisinage de la valeur s = t.
Posons donc, h désignant une grandeur, dont le module ne peut prendre que de petites valeurs, ]
nf{ s\ = nf\ :i-« — h- -+- 11 (li
h* dz
f>-if s = enf 1 ' ,.
e"f s' 0(5) ds = e"/(^ ci / 7 —
1 F^ri/^
[Maintenant, si l'on suppose que la portion du chemin d'intégration, située dans le voisinage du point s = a-, est rectiligne, et
cela de telle sorte que l'angle droit, formé par les deux tangentes
à la courbe
mod. ef's) = mod. ef{Q)
au point 5 = 0-, est partagé par moitié par ledit chemin, alors, pour lim n = bo, Jes limites de l'intégration relative à la variable c convergent respectivement vers les valeurs — ce et + oc, et, par suite, la contribution qu'apportent à la valeur de l'intégrale considérée les éléments de celle-ci qui sont situés dans le voisinage de la valeur s = 7, est, pour de très grandes valeurs de /?, asymptotiquement égale à
e«/(ff)cD(<7) r+x . , I " - e"f^>
Maintenant, on a
• ■if(o) — aïn —
i^-^i-.rj >- t(i— a) <i*(i — x)
b-hc Ç((T) = ff(«+W (j ,r ) 2 .
Par conséquent, la valeur asjmptotique de
/ e«/^cp(s)«k « 0 est égale à
Par un raisonnement analogue, on trouvera que la valeur asjmptotique de
/ enf{-s)<o{s)ds
est
Jr / , \2rt-t-a4-6+l fe + '' -1- '-
Sous les hypothèses assignées, on obtient par conséquent, pour le quotient P„: P^, la valeur asjmptotique : ]
-vA
