SUR DES

CYLINDRES A SECTION TRANSVERSE CIRCULAIRE ET DONT LES AXES SONT PARALLÈLES.

REPRESENTATION CONFORME DE FIGURES DONT LES CONTOURS SONT DES CIRCONFÉRENCES (*).

Œuvres de Iiiemann. 2e édition, page ^o.

Le problème qui consiste à déterminer la distribution ou de l'électricité statique ou de la température à l'état permanent sur des conducteurs cylindriques infinis à génératrices parallèles, en admettant, dans le premier cas, que les forces distribuées et, dans le second, que les températures des surfaces soient constantes le long de lignes droites qui sont parallèles aux génératrices, ce problème, dis-je, est résolu dès que l'on a trouvé une solution à la question mathématique suivante :

Sur une surface S, plane, connexe, recouvrant simplement le plan, mais ayant pour contour des courbes quelconques, déler-

( ' ) Il n'existe ni pour ce Mémoire, ni pour les suivants, de manuscrits achevés <lus à la plume de Riemann. Ces manuscrits ne consistent qu'eu feuilles détachées qui contiennent seulement quelques indications et des formules.

Le sous-titre indique mieux la portée générale de ce fragment que le premier titre, d'application particulière, seul employé dans la première édition, — (Weber.)

ÉQUILIBRE DE L'ÉLECTRICITÉ SIR DES CYLINDRES A SECTION TRANSVERSE. 3 70,

miner une fonction // des coordonnées rectangulaires x, y. qui, à l'intérieur de la surface S. satisfasse à l'équation différentielle

<i- ii d-u

et qui sur le contour prenne des valeurs quelconques prescrites. Ce problème peut être d'abord ramené à un autre plus simple :

On déterminera une fonction £ = ç + r, i de l'argument complexe z = j-)- 1\ qui, sur tous les contours d'encadrement de S, soit réelle, qui, en un seul point de chacun de ces contours, soit infiniment grande du premier ordre, niais qui partout ailleurs sur la surface S totale reste finie et continue.

Relativement à celte fonction, on peut démontrer aisément qu'elle prend chaque valeur quelconque réelle une seule et unique fois sur chacun des contours, et qu'à l'intérieur de la surface S elle prend n fois chaque valeur complexe à partie imaginaire positive. n désignant le nombre des contours de S, lorsque l'on a fait cette hvpothèse que £ varie de — x à -h x quand on décrit l'un des contours dans le sens positif.

Par l'entremise de cette fonction, l'on obtient, sur la moitié supérieure du plan représentant la variable complexe Ç, une surface T, à n feuillets, qui fournit une représentation conforme de la surface S, et le contour de T sera formé par les lignes qui, sur les n feuillets, coïncident avec l'axe des quantités réelles. Comme les surfaces S et T doivent avoir même connexion, c'est-à-dire être toutes deux rc-uplement connexes, il existe, à l'intérieur de T, in — 2 points de ramifications simples (comparer Théorie des Jonctions abéliennes, § "\ II), et notre problème est ramené au suivant :

Trouver une fonction de l'argument complexe Ç, ramifiée comme l'est la surface T, dont la partie réelle u soit continue à l'intérieur de T, et qui prenne, sur les n lignes du contour, des valeurs quelconques prescrites.

Maintenant si l'on connaît une fonction de Ç, 775 = h -j- ig, ramifiée comme l'est la surface T, qui soit logarithmiquement infinie en un point quelconque t à l'intérieur de T,et dont la partie imaginaire, sauf au point s, soit continue sur T et nulle sur le

38o TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS POSTHUMES.

contour de T, alors, en vertu du théorème de Green (Dissertation inaugurale, § X), on a

ue = - — fu — d\,

où l'intégration s'étend à toutes les lignes du contour de T.

Mais la fonction g peut être déterminée de la manière suivante. On prolongera la surface T sur tout le plan des Ç, en portant sur le demi-plan inférieur (où Ç possède une partie imaginaire négative) l'image par réflexion du demi-plan supérieur.

On obtient ainsi une surface, recouvrant n fois tout le plan des ^ et possédant \n — 4 points de ramification simples, et qui appartient, par suite, à une classe de fonctions algébriques pour lesquelles le nombre p est = n — ï (Théorie des fonctions abêti ennes, § VII et XII).

Maintenant la fonction ig est la partie imaginaire d'une intégrale de troisième espèce, dont les points de discontinuité sont situés au point i et en son conjugué t', et dont les modules de périodicité sont tous réels. Une telle fonction est complètement déterminée à une constante additive près, et notre problème est alors résolu, si toutefois l'on parvient à trouver la fonction Ç de z.

Nous allons traiter ce dernier problème sous l'hypothèse suivante : le contour de S est formé par n circonférences. En ce cas, ou bien tous les cercles peuvent être situés extérieurement les uns aux autres, et la surface S s'étend alors à l'infini entre les cercles, ou bien un des cercles peut renfermer tous ceux qui restent, la surface S restant alors finie. Ces cas peuvent facilement être ramenés l'un à l'autre au moyen de la représentation pratiquée par l'entremise de rayons vecteurs réciproques.

Si la fonction Ç de z est déterminée sur S, elle peut être prolongée d'une manière continue au delà du contour de S, en prenant relativement à chaque point de S le pôle harmonique de ce point par rapport à chacun des contours circulaires, et en attribuant en ce pôle à la fonction Ç sa valeur imaginaire conjuguée. Le domaine S pour la fonction Ç sera ainsi étendu, mais son contour sera toujours formé par des circonférences auxquelles on peut encore appliquer le même procédé, et l'on peut répéter indé-

ÉQUILIBRE OK L'ÉLECTRICITÉ SUR DES CYLINDRES A SECTION TRANSYERSE. 38 I

Animent cette opération qui étend de plus en plus le domaine de la fonction ^ sur tout le plan des z.

Dans ce qui suit, pour exprimer que deux grandeurs a el a' sont imaginaires conjuguées, nous emploierons la notation

La liaison, exprimée ainsi entre deux grandeurs, ne cesse pas d'avoir lieu lorsque Ton ajoute aux deux membres des grandeurs imaginaires conjuguées, ou lorsque on multiplie ou divise ces deux membres par des grandeurs de cette nature; on peut aussi extraire la racine des deux membres, en ayant soin de définir exactement ces racines.

Soit Z X . et soient s, z' les valeurs qui correspondent aux valeurs Ç, Ç'; alors, /'étant le rayon d'un des contours circulaires de S et/? la valeur de z au centre de ce cercle, on a

d'où Ton tire

CZ -r 0

où a. />, c, à désignent des constantes. On en conclut dz a 0 — h c dz'

i i cz' <>

/ dz y/ ai) — bc . dz'

dï

i az

'dz y a t) — bc <l :■'

Par conséquent, si l'on pose

et si l'on désigne par y', y\ les valeurs que prennent y el y,

lorsque l'on remplace Ç par "Q dans ces expressions, on obtient

cy\ -+- «y

y au — bc

yi

ay\ -+- by'

\J ad — bc

y' ad ■ — bc d*y\ d'y'

\J au — bc

Maintenant de

résulte par différentiation

dy\ d*y,

ou

et de même

dï

d'y dÇ* J ' dï?

i dîr i d- ri

ri rfÇ ^,'

y rf£2 y\ dp

i f/2^' [ d°iy\

y' dÇ- "j-, t/p

En vertu de cela et des équations (i) et (2) résulte encore

y' dY:- ~ y\ dC'-

Par conséquent, si l'on pose

<Py dp

s est une fonction de £ qui, pour des valeurs imaginaires conjuguées de Ç, prend elle-même des valeurs imaginaires conjuguées, et qui, par conséquent, ne varie pas, lorsque sur la surface T et sur

ÉQUILIBRE DY. L'ÉLECTRICITÉ SIR DBS CYLINDUES V SECTION TRANSVERSE. 383

son prolongement symétrique l'on revient an point de départ en décrivant un chemin quelconque. Par conséquent, s est une fonction algébrique de Ç, ramifiée comme l'est la surface T; y et V( sont des solutions particulières de l'équation différentielle (-) el ; est leur quotient. Réciproquement, si l'on prend, arbitrairement sur T la fonction algébrique s, mais cela telle qu'en les points conjugués elle prenne des valeurs imaginaires conjuguées et, par conséquent, quelle soit réelle pour les valeurs réelles de "Ç. et, ,-i l'on prend alors deux solutions particulières quelconques de

l'équation (-), la fonction z= — fournira une représentation conforme de la surface T, qui aura pour contour des circonférences. Les constantes indéterminées qui se présentent alors devront être déterminées par ceci : celte représentation ne doit pas admettre à son intérieur de points singuliers et doit, par conséquent, recouvrir une portion du plan des z d'une manière simple, et les contours circulaires doivent occuper des positions assignées.