POUR UN CONTOUR DONNÉ

Œuvres de Riemann , 2" éditition, page l\!\b.

Prem ie i ■ exemp le .

Proposons-nous de déterminer la surface d'aire minima qui a pour contour trois droites qui se coupent en deux points, de telle sorte que la surface ait deux sommets angulaires sur le contour et possède un secteur qui s'étend à l'infini.

Soient aTï, [3tï, ytc les angles que forment entre elles Jes trois droites. La surface cherchée aura pour représentation sur la sphère un triangle sphérique dont les angles sont ait, (3tc, yt, de telle sorte que a -j- [3 -f- y >> i .

Désignons par a, b, c les points qui, sur le plan de la variable complexe t, correspondent aux deux sommets angulaires et au secteur qui s'étend à l'infini (Surfaces minima, § XIII, p. 322).

( ' ) Pour le premier de ces exemples, le résultat a été trouvé sous forme abrégée, mais complète, sur une seule feuille dans les papiers de Riemann.

Relativement au second exemple, on ne trouve guère plus que l'indication de la possibilité de la solution. Ainsi l'Editeur (M. Weber) est responsable de l'exposition de cet exemple. Quelques cas particuliers du dernier problème ont été traités par M. II. -A. Schwarz. {Détermination d'une surface minima particulière; Rerlin, 1871). — (Weber et Dedekind.)

EXEMPLES 1>E SURFACES d'àIRE MIMMV l'OlH IN CONTOUR DONNÉ. 385

On a alora

/const. dt ■c)^t a)(t — b)

ou

u = const. loi

Si l'on fait, ce qui est admissible, a = o, b = oo. c = i, il s'ensuil que

dt

il ii - const.

il = const. lo

M — / Ij /

. - yft

et la dernière constante a pour valeur

quand C désigne la distance la plus courte entre les deux lignes qui ne se coupent pas.

-Maintenant si, conformément au £ XI \ du Mémoire déjà cité, on pose

/ - l 'd" le -ri 7/"

ces fonctions sont en tous les points du plan des £, hormis les points o, y:, i, finies et uniformes, et si l'on recherche, d'après les méthodes du § \I\ déjà cité, comment se comportent ces fonctions dans le voisinage de ces points singuliers, on reconnaît que A", et A-, sont deux branches de la fonction

et pour t, l'on doit prendre le quotient de deux branches de cette fonction P.

Deuxième exemple.

Supposons que la surface minima cherchée ait pour contour deux polygones convexes rectilignes situés dans des plans parallèles, chaque polygone ayant un contour qui ne se rencontre pas lui-même. En ce cas, la surface sera doublement connexe, et elle n'est transformée en une surface simplement connexe que si l'on pratique une section transverse.

La représentation de la surface minima sur la sphère aura pour contour deux systèmes d'arcs de grands cercles, dont les plans sont perpendiculaires à ceux des deux polygones du contour, arcs qui se coupent tous, par suite, en deux points diamétralement opposés de las phère. A chacun de ces'deux points correspondent tous les sommets des deux polygones de contour. Sur chaque cùlé des polygones se trouve un point où la normale change de sens; ce point correspond à l'extrémité de l'arc de cercle correspondant. La représentation de la surface minima recouvrira donc simplement et complètement toute la sphère.

Si nous projetons la surface de la sphère sur Je plan tangent en un des points où se réunissent les arcs de grands cercles correspondant aux contours, nous obtiendrons, comme représentation de la surface minima, un morceau de surface H, qui recouvre complètement le plan de la variable complexe t\. Le contour de H est formé, d'une part, par un système de segments rectilignes, issus de l'origine et aboutissant en certains points C|, C2, . . . , C„, formant ainsi une étoile, et, d'autre part, par un deuxième système de segments rectilignes issus de certains centres C\, C. ,

C^„ et aboutissant au point à l'infini, et dont les prolongements, par suite, se rencontrent tous à l'origine (n et m désignent respeclivcment ici les nombres des sommets des deux polygones donnés).

Cette surface doublement connexe, nous la représenterons maintenant dans le plan dune variable complexe / sur une surface T, recouvrant deux fois le demi-plan supérieur, de telle sorte qu'aux deux contours correspondent les valeurs réelles de t. Pourque cette surface soit doublement connexe, elle doit admettre •ileux points de ramification. Si nous adjoignons encore à la sur-

EXEMPLES DE SURFACES d'aIRE MINIMA PODR DN CONTOUR DONNE. 387

face T| son* image par réflexion relativement à Taxe des quantités réelles, nous obtenons une surface T, recouvrant deux fois le plan total de la variable t, et dont les quatre points de ramification correspondent à des valeurs imaginaires conjuguées de /.

En introduisant aux lieu et place de t une nouvelle variable (' , reliée à t par une équation quadratique par rapport aux deux variables, nous pouvons arriver à faire correspondre les points de ramification aux valeurs

k étant réel et << i, et en outre à faire correspondre à une valeur réelle quelconque de t une valeur réelle donnée de t' sur l'un des deux feuillets.

Xous devons par conséquent déterminer t comme fonction de la variable complexe r,, de telle sorte qu'en chaque point de la surface H elle ait une valeur déterminée, variant d'une manière continue avec la position, valeur réelle sur les deux contours de H, et, en un point de chacun des deux contours, devenant infinie du premier ordre. Si Ton prolonge cette fonction au delà du contour en lui attribuant eu des points symétriques, de part et d'autre des deux côtés de chaque ligne de contour, des valeurs imaginaires conjuguées, alors, comme c'est facile à reconnaître, la fonction

dlosx -, , -'il ,,

— j— pour des valeurs imaginaires conjuguées de t admettra ellemême des valeurs imaginaires conjuguées. Elle est, par conséquent, uniforme sur toute la surface T et continue, sauf en des points isolés; elle doit être par suite une fonction rationnelle de t et de

Désignons les valeurs réelles de t qui correspondent aux points C(, C2, ...,€„; Ç',, C'2, ..., C'm par c,, c2, ..., cn\ c',, c'.2, . .. , c'/n, et les valeurs également réelles correspondant aux sommets angulaires de la surface H, qui se réunissent respectivement à l'origine et au point à l'infini, par 6,, b-2, . .., b„ ; b\, b'„, . .. , b'm\

, d\oer\ , . , . „ . .

alors — j- — doit devenir infiniment petit du premier ordre pour

t = cu c,, .. ., c„; c\, c", c»,

et infiniment grand du premier ordre pour

t = bu b2, . . ., bn\ b\, b', b'm

eL pour les valeurs de ramification

Nous pouvons donc poser

rflogr) G[t. \(t)]

dt

\/(lH-t*)(l-hk*t*)

expression où » désigne une fonction rationnelle de t et de A(£), qui devient infiniment petite aux points c, c', infiniment grande aux points b, b', et qui est ainsi parfaitement déterminée à un facteur constant réel près. D'ailleurs, pour qu'une telle fonction o existe, entre les points c, c', b, b' doit exister une équation de condition en vertu de laquelle un de ces points est déterminé par tous ceux qui restent ( Théorie des fonctions abéliennes, § VIII, p. 124). Outre cela, d'après la remarque précédente, l'un quelconque des points c, c', 6, b' peut être pris arbitrairement. La constante additive, relative à logr,, est déterminée lorsque la valeur de '/\ correspondant à l'un des points c est donnée ; désignonsla par y\0 ; nous obtenons ainsi

Dans cette équation, après que l'on a fixé ri0 et c, il reste encore ■2ii-\-im constantes indéterminées, à savoir

prises parmi les valeurs e: c', b, b', le module A", et un facteur réel constant de cp.

Relativement à ces constantes, nous avons d'abord deux conditions qui énoncent que la partie réelle de l'intégrale