EXEMPLES DE SURFACES D'AIRE MINIMA PODR UN CONTOUR DONNÉ
prise le loag d'un chemin fermé entourant les deux points de
ramification i, T> doit s'évanouir, et que la partie imaginaire de
cette intégrale doit avoir pour valeur 2-*'. Pourles in -j- :>m — i constantes restantes, on a ce même nombre an + 2fli — 2 de conditions; ce sont celles qui exigent qu'aux points c, d correspondent les points donnés C, C sur le plan des 7j.
Supposons maintenant que l'axe des x soit perpendiculaire aux plans des deux polygones de contour, et proposons-nous d'opérer la représentation de la surface minima sur le plan de la variable complexe X, après avoir transformé ce plan en un plan simplement connexe à l'aide d'une section partant de l'un des contours pour aboutir à l'autre. La partie réelle de X est alors constante sur chacun des deux contours et le long de chaque section de la surface qui leur est parallèle. La partie imaginaire, lorsque l'on décrit une telle section, éprouve un accroissement continu et varie en totalité d'une grandeur constante.
Il s'ensuit que la représentation de notre surface sur le plan des X a pour contour un parallélogramme qui recouvre simplement le plan et dont les deux côtés qui correspondent au contour de la surface sont parallèles à l'axe des imaginaires. Les deux autres côtés qui correspondent aux deux bords de la section transverse peuvent, il est vrai, être curvilignes; mais ils viennent se superposer, par l'effet d'une déformation, parallèlement à l'axe des imaginaires.
Ce parallélogramme doit pouvoir être représenté sur la moitié supérieure T, de la surface T, de telle façon que les deux côtés parallèles à l'axe des imaginaires correspondent aux deux contours de T,, et les deux autres côtés aux deux bords d'une section transverse de T,. Une telle représentation sera donc opérée par l'entremise de la fonction
dt
où la constante C est réelle, et où C peut être prise quelconque lorsque l'on dispose à cet effet de la position de l'origine sur l'axe des x.
Soit h la distance entre eux des deux plans parallèles où sont
3gO TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS POSTHUMES.
situés les contours primitifs; on aura
idt
ce qui détermine la constante C.
Le problème, abstraction faite de la détermination des constantes, est donc résolu. On a, en effet, d'après les formules du § IX du Mémoire Sur les Surfaces minima, p. 3 17,
-if'
z = i f.ix
ce qui donne la représentation des coordonnées x,y, : de la surface minima comme fonctions de deux variables indépendantes.
Quant aux constantes qui se présentent en y,, l'on obtient encore deux conditions qui énoncent que les parties réelles des deux intégrales qui expriment Y et Z, prises sur le plan des rt le long d'une courbe fermée entourant l'origine, doivent avoir pour valeur zéro.
Si l'on suppose données h et les directions des droites du contour, nos expressions, abstraction faite des constantes addilives dans X, Y, Z, dépendent de n + m — 2 constantes indéterminées, pour lesquelles on peut prendre les distances à l'origine des points C, G' sur le plan des 7|, distances entre lesquelles, comme il a été déjà remarqué, il existe deux relations. Mais le nombre de constantes qui déterminent la situation relative des deux contours polygonaux est aussi égal précisément à n + m — 1. On peut, en effet, en fixant, pour déterminer l'origine des coordonnées, deux côtés des polvgones, faire éprouver encore à chacun des n-trin — 2 côtés qui restent un déplacement parallèle dans leurs plans.
Les résultats prennent une forme plus simple lorsque l'on suppose qu'il existe une certaine symétrie dans les rapports mutuels des contours polygonaux. Dans ce qui suit, nous traiterons le cas où les deux polygones sont réguliers et sont les bases parallèles d'une pyramide droite tronquée.
EXEMPLES DE SDRPACBS D'AIRE MKIMA POUR UH CONTOUR DONNE. 891
Les points où le> normales changent de sens sont alors tous situés au milieu des droites de contour et elles sont alors, par con- - ruent, situées respectivement par paires dans un même plan passant par l'axe de la pyramide.
Prenons l'axe des r perpendiculaire à l'une des droites de contour: alors sur le plan des 7, un point C et un point C seront situés sur l'axe réel ta des distances à l'origine que l'on peut désigner par 7)0 et t\0. Les points C et C sont situés respectivement sur deux eirconférences concentriques sur lesquelles ils représentent respectivement les sommets de deux polygones réguliers, de telle sorte qu'un point C et son correspondant C'sont toujours situés sur le même rayon vecteur.
.Maintenant, puisque, sur le contour de la surface T. un point peut être pris quelconque, on peut supposer qu'au point C situé sur l'axe réel corresponde le point t=o sur l'un des deux feuillets de T. Il s'ensuit, pour (]<■> raisons de symétrie, que la partie de l'axe réel sur le plan des r . comprise entre C et C, correspond sur Ta une ligne partant du point < = o sur le premier feuillet pour aboutir en t — i. et de là revenant sur le second feuillet au point t = o le long de l'axe imaginaire. Alors la fonction 'f[/. A(/)], pour des valeurs imaginaires pures de t, possède elle-même des valeurs imaginaires pure-, et au point C correspond la valeur / = o sur le second feuillet.
Maintenant la surface H. par l'entremise de la substitution 7,7, ' = Y,,, ■/■,'. est transformée en une surface H', représentation congruente de la figure H, de telle sorte que les points C sont transformés en les points C et inversement (l'ordre de la succession seul changé). On voit alors que, aux deux points de la
surface H, 7, et 7/ — ,0 '° > correspondent des points superposés
sur les deux feuillets de la surface T. Or, puisque l'on a
d logr, — r/logr/ — o,
la fonction tp [t. 1( t )] doit avoir la même valeur en les points superposés sur les deux feuillets et. par conséquent, elle est exprimable rationnellement en l, et, d'après une remarque déjà faite, est de forme tty(t2)} ■!/ désignant une fonction rationnelle.
Cela nous conduit à opérer la représentation de la surface T sur
'6ç)ï TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS POSTHUMES.
une surface S par l'entremise de la substitution
de cette façon la moitié supérieure de la surface T correspond à un feuillet qui recouvre simplement le plan des s, et qui est fendu le long de Taxe réel par des sections pratiquées entre les points
s = i et s = y et entre les points 5 = — i et s = — j- Les bords
de ces deux fentes correspondent aux contours de la surface H. On obtient ainsi pour X l'expression
4KJ 1/(I,i,/,^s,»
K désignant l'intégrale
ds
tandis qu'en même temps 7) peut être exprimée comme fonction algébrique de s.
Pour un contour formé par des carrés, on trouve
- m s |(i — m' s) ■t- ms)(i -+- m' s) '
aux sommets du carré d'un contour correspondent sur les deux
bords de la fente les points s = — > s = — -. ; aux points où les nor- 1 m m '
maies changent de sens correspondent les points s = i, s — -y et
un point s = - situé sur les deux bords de la fente, point que l'on doit déterminer à l'aide de l'équation
d Iogï)
et l'on a
(') Les considérations précédentes peuvent s'étendre à beaucoup de cas où les deux polygones ne sont pas réguliers. L'expression précédente pour t, reste valable, par exemple, pour un contour formé par deux rectangles, dont les centres
EXEMPLES DE SURFACES D'AIRE HINIMA POUR UN CONTOUR DONNÉ. 3o3
Pour dm contours formés par des triangles dont les côtés sont égaux, on obtient
ks ■
i — /us \ '■'■ i — ks i — /« s I
pour étudier, dans ce dernier cas, la possibilité de la détermination des constantes, <>n posera d'abord
d'où l'on lire
et, par conséquent .
et, dans le cas particulier où les deux triangles sont des figures congruentes,
T,0T,0 = Il C—l.
Aux sommets du triangle formé par l'un des contours correspondent les points s = — sur les deux bords de la fente, et le
point j> en sorte qu'on doit avoir
Le premier point où la normale change de sens se trouve en s = i ; les deux autres correspondent à un point. s = - sur les deux bords de la fente, en sorte que Ton doit avoir
Pour n Ion obtient d'abord, à laide de l'équation
ds ~ '
sont situés sur une ligne perpendiculaire à leurs plans, si l'on adopte l'hypothèse que le module de i\t\' possède la même valeur aux points où les normales changent de sens. C'est ce qui a lieu, par exemple, lorsque les deux rectangles sont congruents. — (H. Weber.)
3g4 TROISIÈME PARTIE. — FRAGMEXTS POSTHUMES.
la détermination
km ( 7)1 -i- i k)
d'où résulte que, pour chaque système de valeurs de Â", m, satisfaisant ?t la condition
il se présente une valeur de n comprise entre À" et ni.
Mais on obtient encore entre ni, n, k une deuxième équation
qui exprime que, pour s — - > Ton doit avoir r43 = -/)*. C'est l'équation suivante
et. lorsqu'on élimine /i entre ces deux équations, l'on obtient la relation suivante entre k et m
/f(I -+- /II- ) -+- 2/?i
au moyen de laquelle on devra déterminer /, en fonction de ni. Pour k = o, le premier membre de cette équation s'annule et
le second est égal à — ; pour /,• = m la différence entre le premier
et le second membre est
(i — »i2)3 m (3 -h ni»)* '
et elle est, par conséquent, positive pour m << i . Il existe donc, pour chaque valeur de m qui est plus petite que i, un nombre impair de valeurs de k < m. Ensuite, comme l'on reconnaît aisément que la fonction
. , ( i — m - -t- 2 mk )- ( k -+- 2 m )3
lOgA jrj-; --r i —„
n'admet qu'un seul maximum entre k ;= o et k = ni, il s'ensuit que, pour chaque valeur m << 1 , l'on peut trouver une, et seulement une, valeur de k satisfaisant à nos conditions, et, par suite aussi, l'on n'obtient de mêmequ'««e valeur correspondante de n.
IPLES DE SURFACES D'AIRE HINIMA l'OIR IX CONTOUR DONNÉ. 3§b
Pour les deux limites
m — o et m — i,
on obtient
Quant aux fonctions \. Y. Z, l'on trouve, par suite, lorsque l'on a disposé des constantes additives, les expressions
x= — f ds
Y = A r * — (\ iV
8K./, 1/(1 — *3)(i yt*52) V 1/
Les deux constantes qui restent encore. w? et \ Ao7,,,- seront déterminées par les longueurs données des côtés des triangles. Désignons celles-ci par a et b\ on obtiendra alors
ih Cm ds ! i
~ âK J, V/(I S2)(I £ssî) \ '' ' r, / '
, ih Cm ds / t\ rr1r/n\
2KJ, /^i — *«)(i^à**«) ^Wo 1 /
Dans le cas particulier a = b, l'on a
1ot/o = ii
et il ne reste qu'une seule équation transcendante, pour déterminer la constante r?u
a i r,„ ds f i \
Ji ~~ 2^ - i /(.i — **Hi — *2*s) \ 1 / '
Lorsque, dans l'expression au second membre, Ton fait varier m de o à i, cette expression conserve des valeurs positives, mais devient infiniment grande aux deux limites de cet intervalle. Elle doit donc, pour une valeur intermédiaire de m, posséder un mini-
mum. On en conclut, par suite, qu'il existe pour le rapport j une
limite inférieure en deçà de laquelle le problème n'admet plus de
solution, tandis que, pour chaque valeur de j au delà de cette
limite, il existe deux valeurs de m et, par conséquent, deux solutions du problème. On doit présumer que c'est seulement à la plus petite des deux valeurs de m que correspond un minimum effectif de l'aire de la surface.
