FRAGMENTS SUR LES CAS LIMITES

FONCTIONS MODULAIRES ELLIPTIQUES.

Œuvres de Riemann, 2" édition, Mémoire XXVIII, page 'pi-

Comme ces fragments sont écrits en latin, il a paru superflu de les traduire. Ils consistent du reste surtout en formules.

Au contraire, il a semblé indispensable de traduire le Commentaire de M. Dedekind, Mémoire fondamental sur cette question.

« Les éclaircissements relatifs à ce fragment ont été rédigés de

nouveau par M. Dedekind, et, sous cette forme complètement neuve, facilitent davantage l'accès aux formules de Riemann. » (Préface de M. Weber, Œuvres de Riemann, 2e édit., p. vu.)

COMMENTAIRE RELATIF AUX FRAGMENTS XXVIII par R. Dedekind.

(2° édition, page 467- )

L'époque où a été composé le premier des deux fragments (septembre 1802) rend très probable que Riemann, à l'occasion du Mémoire Sur les fonctions Irigonométriques (p. 225-2-9), cherchait alors des exemples de fonctions admettant une infinité de discontinuités dans chaque intervalle; peut-être aussi le second fragment, qui se trouve écrit sur une feuille de papier à peine lisible, devait-il servir au même but. La méthode dont Riemann fait usage ici, pour déterminer la manière dont les fonc-

3û8 TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS POSTHUMES.

tions modulaires qui se présentent dans la théorie des fonctions elliptiques se comportent dans le cas où le rapport complexe des périodes

Wi loger

tend vers une valeur rationnelle, fournit également une application très intéressante relative à la théorie dite des formes en nombre infini des fonctions thêta, à savoir : la détermination des constantes qui se présentent dans la transformation du premier ordre, qui a été ramenée, comme l'on sait, par Jacohi et Hermitc aux sommes de Gauss et, par conséquent, à la théorie des résidus quadratiques.

L'exposé de cette corrélation forme l'objet du commentaire suivant :

Le point central de la théorie de ces fonctions modulaires, théorie que l'on peut aussi édifier indépendamment des fonctions elliptiques, et qui, depuis la publication de la première édition des Œuvres de Riemann, a fait l'objet de nombreuses recherches, ce point, dis-je, est en un certain sens formé par la fonction

(2) r, ( w ) = I ■'' | J ( i - l™ ) = qn Y \ I i — g'-''),

où l'on a posé, pour abréger,

1 et, par conséquent,

et où le signe produit s'étend à tous les nombres naturels v. Comme cette fonction de la variable complexe w = x -f- yi, l'ordonnée y étant toujours positive ne devient jamais à l'intérieur du domaine simplement connexe ainsi limité ni nulle ni infiniment grande, toutes les puissances de v;((o) à exposants quelconques et, de même, logr,(to) sont aussi des fonctions de w toujours uniformes, pourvu que leur valeur ait été fixée en un certain point déterminé. La fonction logr,(w) devra être définie par

CA> LIMITBS DES FONCTIONS MODULAIRES ELLIPTIQUES. 899

ce l'ait qw, lorsque y croit au delà de toutes limites et que par conséquent q s'évanouit, l'on doit avoir

Ql ta — =0;

alors log7i(w) est conjugué avec log"yj( — ■ to'), to' désignant ici. comme partout dans la suite, la grandeur conjuguée de u. Maintenant on sait 1 Fundamenta nova, ^ 36) que

— -., - ) - i^lCw)3,

et que, par conséquent, d'après la'convention précédente,

; ) — 'ogi ( — — j = -7 ■+" 3 ">g1< w '■ log * = log 4 - -'.' -t- 4 log ï] ( 2 u> ) — 4 log 7) ( ^— ^; J log/ 4logij(^j— 4logT)^i-±-^j,

log -- = - — — , I . . - 2 logr | u .

les logarithmes des premiers membres (comme dans les Fundamenta nova, £ 40) étant définis comme fonctions uniformes de to, telles que les trois grandeurs

log/: — log4 — = log# — log4/?, logA- et log —

deviennent infiniment petites avec q.

De cette manière de se comporter des fonctions l'on conclut maintenant, à l'aide de la transformation du premier ordre des

fonctions thêta, leur mode d'existence étudié par Riemann, dans le cas où (o tend vers une valeur réelle rationnelle, ce qui fait en même temps tendre q vers une racine de l'unité déterminée q0. Si l'on pose

= 2t\(<i>) i Î2 sin~-JT(i — [«v+z)( [Iu)V-3))

la sommation devant s'étendre à tous les nombres entiers s, on aura, la dérivée prise par rapport à z étant désignée par un accent,

3*1 (O, U> ) = ïi TTTj ( tu )3.

Soient maintenant a, (3, y, û quatre nombres entiers satisfaisant à la condition

( G ) a8 — Py = i ,

on sait que

e / Y + 8io\ / t— -3(a + Sw)s>

&,(5, -'- =- =CV/a + pu).iS ai[(a-+-pio)^u],

\ CE — |— vJtO j

c désignant une racine huitième de l'unité dépendant de 7, Jj, y, o et du choix de la racine carrée, racine dont la détermination a été ramenée par Hermite aux sommes de Gauss [Journal de Liouville, 2e série, t. III, 1 858 ). Pour z = o on tire de là

&'f ' "" a + 3io) - c(a ^ M2 ^'i(o,co)

et, par conséquent,