ZA = (A-4-K)A

et c'est là précisément le nombre n des termes de la série thêta qui sont > e-A*. On a d'après cela

K étant une constante à laquelle on peut assigner une valeur aussi petite que l'on veut, pourvu que l'on attribue une valeur suffisamment grande à la valeur h dont on part. Les fonctions F(^), cp(y) peuvent donc être prises comme il suit :

et, puisque l'intégrale

e-r5(A -1- K)pyP~l dy

est convergente, il en est de même, sous les hypothèses assignées, de la série thêta. On en conclut :

La série thêta p-uplement infinie est convergente pour toutes les valeurs des variables r,, c2, • . ., vpi pourvu que la partie réelle de la forme quadratique dans l'exposant soit essentiellemen t négative.