III. — L'intégrale

X h i — ) as,

dp dp)

l8 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.

relative à tout le contour de T, est égale à la somme des intégrales

wUlU « J Ci OW1A11I.1V/ UV/J nnv.^1

dp dp

relatives aux contours qui encadrent tous les lieux de discontinuité, et, relativement à chacun de ces lieux, l'intégrale conserve la même valeur, quelque étroites que soient les limites dans lesquelles on renferme ces discontinuités.

Dans le cas d'un point de discontinuité cette valeur est nécessairement égale à zéro lorsque, p désignant la distance du point O à cette discontinuité, pX et pY sont en même temps infiniment petits avec p. En effet, si l'on introduit relativement à un tel point pris comme origine et avec une direction quelconque de Taxe, les coordonnées polaires p et cp, et, si l'on choisit pour contour une circonférence décrite de ce point comme centre avec un rayon p, l'intégrale prise autour de ce point sera exprimée par

dx dy\

X h Y — p do

dp dp v '

et ne peut, par conséquent, avoir une valeur x différente de zéro, puisque, quel que soit x, p peut être toujours pris suffisamment petit pour que, abstraction faite du signe, ( X - — h Y — jp

soit, pour toute valeur de cp, plus petit que — et pour que, par suite, l'on ait

dx dy\

Xdp-+YdJ})?

IV. — Lorsque, sur une surface simplement connexe recouvrant A, l'intégrale

dp dp ]

ou encore

as ds '

prise autour du contour total d'une partie quelconque de la surface, est nulle, cette intégrale, prise le long d'une ligne menée

PONCTIONS D'UNE GRANDEUR VARIABLE COMPLEXE. ig

lIo « V, m O. Jeux points lîx es quelconques sur cetle surface, possède la même valeur pour chacune de ces lignes.

En effet, deux lignes s, et s2< joignant les points O0 et O, forment toujours parleur réunion une ligne fermée s3 ; ou Lien cette Ligne jouit elle-même de cette propriété de ne traverser aucun point plusieurs fois, ou bien on peut la décomposer en plusieurs lignes fermées ayant celte propriété et cela comme il suit: on part d'un point quelconque pour décrire le contour et, chaque fois que l'on rencontre un point déjà traversé, l'on sépare la partie intermédiaire décrite pour considérer la partie qui suit comme le prolongement immédiat de celle qui précédait. Mais toute ligne pareille fermée partout simple décompose la surface en une partie simplement connexe et une partie doublement connexe. Elle forme donc nécessairement le contour total d'un de ces morceaux, el l'intégrale

as Os

relative à cette ligne, sera donc, d'après notre supposition, égale à zéro. Il en sera, par suite, de même de cette intégrale étendue à toute la ligne s3, lorsque la grandeur s est regardée comme croissant partout dans la même direction.

Par conséquent, les intégrales prises le long des lignes s{ et s->, lorsque cette direction ne change pas, c'est-à-dire lorsqu'elle est comptée le long de l'une de ces lignes de O0 à O et le long de l'autre de O à O0, se détruisent et, par suite, lorsque le long de la seconde ligne la direction est changée, les intégrales sont égales.

Si l'on a maintenant une surface quelconque T sur laquelle, en général, on a

d\ dY

o.v ôy

on exclura d'abord, lorsqu'il est nécessaire, les points de discontinuité, de sorte que, pour la surface restante, l'on ait pour chaque partie

et, en pratiquant des sections transverses, l'on transformera cette surface restante en une surface simplement connexeT*. Pour toute ligne joignant à l'intérieur de T* un point O0 à un autre point O, notre intégrale a alors même valeur. Cette valeur, que pour abréger l'on pourra désigner par

Os os

O0 étant fixe et O mobile, est donc bien déterminée pour chaque position de O, quel que soit le cours de la ligne joignant ces points et elle peut être, par conséquent, considérée comme fonction de x, y. La variation de cette fonction, lors d'un déplacement de O le long d'un élément quelconque de ligne ds, sera exprimée par

os os J

et elle sera partout continue sur T* et le long d'une section transverse de T elle a même valeur sur chacun des deux bords.