V. — L'intégrale
,L \ as
représente donc, le point O0 étant fixe, une fonction de x, y partout continue sur T*, mais qui, à la traversée dés sections transverses de T, varie d'une grandeur constante le long de celles-ci d'un point de branchement à un autre, et cette fonction a pour
dérivées partielles
dZ dZ
dx ' dy
Les variations à la traversée des sections transverses dépendent de certaines grandeurs indépendantes entre elles, dont le nombre est égal à celui des sections transverses. En effet, lorsque l'on parcourt le système des sections transverses dans le sens rétrograde, c'est-à-dire que de deux points quelconques le plus avancé se présente le premier, cette variation est partout déterminée lorsque sa valeur est donnée au commencement de chaque section transverse; mais lesdites valeurs aux commencements des coupures sont indépendantes entre elles [3].
Si Ton remplace les fonctions désignées jusqu'ici par X el ^ respectivement par
Ou' .Ou dx O.r
du' et u -
,du
on aura
OX OX fO-u dx ' dy
par conséquent, lorsque les fonctions u et u' satisfont aux équations
°' 77^ ~ 'oyl'on a
à\ àX dl: + àj ~ °'
cl l'on pourra appliquer à l'expression
dp dp
les propositions du paragraphe précédent; cette expression est
égale à
ou' , du
u —- — u - ] as.
dp dp
Faisons maintenant, relativement à la fonction u1 l'hypothèse que celte fonction, ainsi que ses premières dérivées, n'admette en aucun cas des discontinuités le long d'une ligne, et que, pour chaque point de discontinuité, o étant la dislance du point O à
,. . . , du du , • r. .
cette discontinuité, o— et o -— deviennent infiniment petits avec
' ' dx ' dy L
p ; alors, par suite de la remarque jointe au théorème III du paragraphe précédent, l'on ne doit pas tenir compte des discontinuités de u.
En effet, l'on peut alors, sur chaque ligne droite issue d'un point de discontinuité, assigner une valeur R telle que, p étant plus
petit que R,
du du d.r du dy
1 dp dx dp ' " oy dp
reste toujours fini; et, si Ton désigne par U la valeur de u pour
p = R et par M le maximum en valeur absolue de la fonction o —
' l 'dp
dans cet intervalle, on aura toujours, abstraction faite du signe,
m — U<M(logp — logR),
et, par conséquent, p(w — U) et, par suite aussi, o« seront infiniment petits en même temps que o. Mais il en est de même, par
! , , ! OU , dll • i , , ,
hypothèse, de p — et de p y-? et, par suite encore, lorsque a n eprouve aucune discontinuité, il en est de même de
/ du' , du\ , / du' , du\
^\U-^-Udy) Ctde nU^-U-Jy)'
Par conséquent, le cas envisagé dans le précédent paragraphe est bien celui qui se présente ici.
Supposons maintenant que la surface T, représentant le lieu du point O, recouvre partout le plan A d'une manière simple, et concevons sur cette surface un point fixe quelconque O0 où ù, x, y ont pour valeurs u0, x0, y0-
La grandeur
|log[(.r — Xoï2-+-(y— Jo)2l = logr,
regardée comme fonction de x,y, jouit alors de cette propriété
que
d1 log/- d2 log/'
—faT- + àyi = °'
et elle n'éprouve de discontinuité que pour x = xu, y=y0j c'est-à-dire par conséquent dans notre cas en un seul point de la surface T.
Par conséquent, d'après la proposition III, § IX, si l'on remplace u par log/', l'intégrale
CI a log/- . du\ .
J{"-l>jh-1°STP)ds'
prise relativement à tout le contour de T, est égale à cette inté-
grale prise autour d'un contour quelconque renfermant le point 0„: par suite, si nous choisissons pour ce contour la circonférence d'un tel cercle où r a une valeur constante, et si nous désignons par s l'are qui se termine en O. et que l'on comptera en parties du rayon à partir d'un point quelconque de la circonférence dans une direction déterminée quelconque, L'intégrale susdite sera le à
dlogr
àp
I u /• aa — logr / — as.
et, puisque l'on a [ i]
elle est donc égale à
du ,
— as = o.
àp
) Uth.
valeur qui, lorsque la fonction // est continue au point O0, se transforme pour /• infiniment petit en
Ainsi, sous les hypothèses que Ton a faites, relativement à u et T, à l'intérieur de la surface pour un point quelconque O0 où u est continue, nous avons
i ff. du d\osr\ ,
u>=-J(loSr^-u-£-)ds,
l'intégrale étant prise relativement à tout le contour, et nous avons
— / u do .
1 intégrale étant prise autour d'un cercle avant le point O0 comme centre. De la première de ces expressions nous concluons la proposition suivante :
Théorème. — Lorsqu'une fonction u à l'intérieur d: une surface T, recouvrant partout simplement le plan A, satisfait.
en général, à V équation différentielle
d- u à- u dx~ dy2
et cela de telle sorte que :
i° Les points où cette équation différentielle ri est pas satisfaite ne forment aucune partie de suif ace continue;
„ r • du du j 7. . /
2° Les points ou u, -r-> -r— deviennent discontinues ne forment aucune ligne continue;
3" Pour chaque point de discontinuité les grandeurs p -r- > p — deviennent infiniment petites en même temps que la distance p du point O à cette discontinuité ;
4° Et qu'enfin, pour u, soit exclu le cas d"1 une discontinuité qui serait détruite par une modification de sa valeur en des points isolés :
Alors ladite fonction est nécessairement, ainsi que toutes ses dérivées, finie et continue pour tous les points à l'intérieur de cette su? face.
En effet, considérons le point O0 comme mobile; les seules valeurs qui varient dans l'expression
, du d\ogr\ ,
logr — — u — -2- ds dp dp ;
sont
, dloçr d\ogr
logr, —~-, * •
8 ' dx dy
Or ces grandeurs, en chaque élément du contour, tant que O0 reste à l'intérieur de T, sont, ainsi que toutes leurs dérivées, des fonctions finies et continues de x0, y0, puisque ces dérivées sont exprimées par des fonctions rationnelles fractionnaires de ces grandeurs, fonctions qui ne contiennent au dénominateur que des puissances de r. Il en est donc aussi de même de la valeur de notre intégrale et, par suite, de la fonction u0. En effet, cette dernière, en vertu des hypothèses considérées auparavant, ne pourrait avoir une valeur différente de celle de l'intégrale qu'en des
KONfTIONS H l'M' (.RANOEIR VARIABLE COMPLEXE. 2-
point* isolés où elle serait discontinue, possibilité exclue parl'hv pothèse -j 'le notre théorème.
§ XI
Sous les mêmes hvpothèses relatives à u et à T qu'à la fin du précédent paragraphe, nous avons les propositions suivantes :
I. — Lorsque le Ion" d'une ligne on a u = o et — - — o l'on aura partout a = o :
Nous démontrerons d'abord qu'une ligne X où ?/=oel — = o
i dp
ne peut former le contour d'une partie de surface a où u est positif.
En effet, si Ton admettait que ce fait pût avoir lieu, l'on séparerait alors de a un morceau qui aurait son contour dune part sur /. et, d'autre part, sur un arc de cercle dont le centre O0 serait en dehors dudit morceau, construction toujours possible à effectuer. L'on aurait alors, en désignant par /• et cp les coordonnées polaires de O relatives à l'origine O0. l'intégrale étant prise relativement au contour entier de ce morceau,
f du r dlogr
I los,r — ds — / u ds = o.
et. par conséquent, en vertu de l'hypothèse, l'on aurait, relalhement à l'arc de cercle total qui appartient au contour,
ru d'i — loe r I : — ds = o,
OJJ
et alors, puisque
du ,
— ds = o,
dp
on aurait
u dff = o,
ce qui est incompatible avec l'hypothèse faite que u est positif à l'intérieur de a.
L'on démontrerait d'une manière pareille que les équations
du .1. . t
u = o et — = o ne peuvent avoir lieu sur une partie de contour
d'un morceau b de surface où u est négatif.
Maintenant, lorsqu'en une ligne de la surface T on a u = o et — = o, si, en une partie quelconque de la surface, u était alors différent de zéro, il faudrait évidemment qu'une telle partie de surface fût limitée soit par cette ligne même, soit par une portion de
surface où u serait égal à zéro ; par conséquent, elle serait toujours
,. . , i. , du . , . , .
limitée par une ligne ou u el — seraient nuls, ce qui conduit nécessairement à une des hypothèses que nous venons de rejeter.
II. Lorsque la valeur de u et de -y- est donnée le long d'une ligne, u est par cela même déterminé en toutes les parties de T.
Soient uK et u2 deux fonctions quelconques déterminées qui satisfont aux conditions prescrites à la fonction u; leur différence ut — u2 y satisfait aussi, comme on le reconnaît directement par substitution dans ces conditions. Maintenant, si U\ et u-2, ainsi que leurs dérivées premières par rapport à /), sont identiques le long d'une ligne, mais non identiques en une autre partie de surface, l'on aurait, le long de cette ligne,
d («] — 11%) «I — w2 = o et : — = o,
sans que l'on eût partout ces mêmes équations, ce qui serait contradictoire avec la proposition I.
III. — Les points à l'intérieur de T, où u a une valeur constante, forment nécessairement, quand m n'est pas partout constant, des lignes qui séparent telles parties de la surface où u est plus grand de telles parties de la surface où u est plus petit (que la constante en question).
Cette proposition consiste en la réunion des suivantes :
u ne peut avoir ni un maximum ni un minimum en un point à l'intérieur de T;
a ne peut être constant seulement en une partie de la surface; Les lignes où u = a ne peuvent sur les deux bords séparer des portions de surface où u — a aurait le même signe :
Toutes propositions dont la contradiction, c'est facile à voir, conduirait à nier L'exactitude de l'équation
u ci.
OU
/ (u — «0 ) dy = o.
démontrée dans le paragraphe précédent, contradictions par suite inadmissibles.
§XII
Nous allons maintenant revenir à la considération d'une grandeur variable complexe w = u-\- vi, qui, en général (c'est-à-dire sans exclure l'exception en des lignes isolées et des points isolés), possède, en chaque point O de la surface T, une valeur déterminée variant avec la position du point d'une manière continue et conformément aux équations
au dv au dv
dx Oy ày Ox
et nous sous-entendrons cette propriété de iv, ainsi qu'il a été indiqué précédemment ('), en disant que w est une fonction de z = x —yi. Pour simplifier ce qui suit, nous ferons cette hypothèse qu'il ne peut se présenter pour une fonction de z une discontinuité qui serait détruite par une modification de sa valeur en un point isolé.
La surface T sera, en premier lieu, regardée comme simplement connexe et recouvrant partout simplement le plan A.
Théorème. — Lorsqu'une .fonction w de z n'éprouve jamais de solution dans la continuité tout le long d'une ligne et qu'ensuite, pour tout point O' de la surface où z = z', w(z — z') devient infiniment petit lorsque le point O se rapproche in-
(') Au §1, page 3.- (L. L.)
définiment de O', cette fonction, ainsi que toutes ses dérivées, est finie et continue en tous les points à V intérieur de La surface.
Les hypothèses que l'on a faites relativement aux variations de la grandeur ir, se partagent, lorque l'on pose z — ^'=pe?', en les suivantes, relatives à u et v :
du dv
dx dy
0 du dv
dy dx
pour chaque partie de la surface T;
3° Les fonctions u et v ne sont pas discontinues le long d'une ligne;
4° En tout point O', ou et pv deviennent infiniment petits avec p, distance de O au point O';
5n Pour les fonctions u et v, des discontinuités qui pourraient être détruites par une modification de leur valeur en des points isolés sont exclues.
Par suite des hypothèses 2°, 3°, 4°j en chaque partie de la surface T l!on a (d'après § IX, proposition III)
d x dy \ .
l'intégrale étant relative au contour entier de cette partie, et ainsi (§ IX, proposition IV) l'intégrale
jC("£— &'1
possède toujours la même valeur quand elle est prise le long de lignes allant de O0 à O, et représente, O0 étant regardé comme fixe, une fonction U de se, y nécessairement continue, sauf en des points isolés et ayant en chaque point (d'après 5") pourdé-
rivees
d\] àU
— — u et — = — t' dx dy
La substitution de ces valeurs à u et à v transforme les hypothèses
1 . > , | en fes conditions du théorème qui termine le § X. La fonction U est donc, ainsi que tontes ses dérivées, finie et continue en tous les points de T, et il en est de même par suite de la
fonction complexe w= ; — .— /, ainsi que de ses dérivées prises
par rapport à ;.
§ XIII
Il s'agit maintenant de rechercher ce qui arrive lorsque, en conservant les autres hypothèses du § X1T, nous supposons que pour un certain point O', à L'intérieur de la surface T, (z — s') w = o ef'w ne devient plus infiniment petit lorsque le point O se rapproche indéfiniment du point O'. En ce cas, O se rapprochant indéfiniment de O', w devient infiniment grand, et, lorsque la grandeur w
ne reste pas d'ordre égal à celui de - (nous entendons par là que
le quotient des deux ne tend pas vers une limite finie), nous supposerons que les ordres des deux grandeurs restent au moins en rapport fini entre eux, de telle sorte que l'on peut assigner une puissance de p dont le produit par $v, pour p infiniment petit, devient infiniment petit, ou bien reste fini. Soit ij. l'exposant d'une telle puissance et n le nombre entier qui lui est immédiatement supérieur; alors la grandeur (2 — z')Rw = pne72<PIw deviendra infiniment petite avec p et, par conséquent, (s — z,)n~iw est une
r ■ 1 / • d(z — z')»-Uv . ,, , 1 , \
fonction de ; 1 puisque — — , est indépendant de azj qui,
en cette partie de la surface, satisfait aux hypothèses du § XII et, par suite, est finie et continue au point O'.
Désignons sa valeur au point O' par an\ ; alors
(z— z'y-iw — Ctn-i
est une fonction qui est continue et égale à zéro en O' et qui, par suite, devient infiniment petite avec p; d'où nous tirons cette
conclusion, d'après le § XII, que (z — z')n~-w — - "~l, est une
fonction continue au point O'. En procédant ainsi de proche en
3o PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.
proche, w, par l'effet de la soustraction d'une expression de la forme
est transformée en une fonction, qui reste finie et continue au point O'.
Quand, sous les hypothèses du § XII, il se présente donc cette modification que, O se rapprochant indéfiniment d'un point O' à l'intérieur de la surface T, la fonction w devient infiniment grande, alors l'ordre de cette grandeur infinie [nous considérons une quantité croissante en raison inverse de la distance comme le premier ordre d'une grandeur infinie (')], quand cet ordre est fini, est nécessairement un nombre entier ; et, si ce nombre est égal à m, la fonction w peut être transformée par l'adjonction d'une fonction renfermant lin constantes arbitraires en une fonction continue en ce point O'.
Remarque. — Nous regardons une fonction comme renfermant une constante arbitraire, lorsque les modes de détermination possibles de cette fonction embrassent un domaine continu à une dimension.
§XIV
Les restrictions qui ont été faites, dans les § XII et XIII, relativement à la surface T, ne sont pas essentielles à la légitimité des résultats acquis.
En effet, l'on peut joindre tout point situé à l'intérieur d'une surface quelconque à une partie de ladite surface qui jouit des propriétés supposées en ces § XII et XIII, exception faite du seul cas où ce point est un point de ramification de la surface.
Pour faire l'étude de ce cas, concevons la surface T ou une portion quelconque de cette surface, renfermant un point de ramifica-
(') C'est-à-dire, ainsi que l'on dit habituellement, comme une grandeur infinie du premier ordre. — (L. L.)
FONCTIONS D'UNE GRANDEUR VARIABLE COMPLEXE. 3l
tion O d'drare (/i — i) où Ton a c = z' = x'-\-y' i, représentée par
L'entremise de la fonction £ = (s — s')" sur un autre plan A. c'està-dire que nous supposerons la valeur de la fonction Ç = $ + t\i au point O représentée sur ce plan A par un point 0 dont les coordonnées rectangulaires sont ç et t,, et nous regarderons 0 comme l'image (Bi/d) du point O. De celte manière, nous obtenons comme représentation (Abbildung) de cette partie de la surface ï une surface connexe recouvrant A et cpii au point 0', image du point O', n'a pas de point de ramification, comme nous allons le taire voir de suite
Pour fixer les idées, concevons qu'autour du point O' comme centre, sur le plan A, on décrive un cercle de rayon R et que l'on mène un diamètre parallèle à l'axe des x où, par conséquent, r — r-' prendra des valeurs réelles. Le morceau détaché de ï par ce cercle et contenant le point de ramification se décompose alors sur les deux bords du diamètre, lorsque R est pris suffisamment petit, en n portions de surface ayant leurs cours séparés de chaque côté du diamètre et avant la forme de demi-cercles.
Nous désignerons ces portions de surface, du côté du diamètre oh y — y' est positif, par a,, a-,, .... an et, sur le côté opposé, par «',, a'.,, .... an, et nous supposerons que, pour les valeurs négatives de z — z' , aK , «o, . . . , an soient dans cet ordre respectivement soudés pour les valeurs négatives de ; — z' avec «',, a'2, . . . , an et pour les valeurs positives de z — s'avec a'in a\ , a2, ..., o!n K ; de la sorte un point décrivant un circuit autour du point O' (dans le sens convenable) cheminera successivement sur les surfaces at, a\ , "j, r/',, .... <in, a'n et de a'n reviendra sur «,, supposition évidemment admissible.
Introduisons alors sur les deux plans des coordonnées polaires, en posant z — z' = per1, Ç = dë^1, et choisissons pour la représentation de la portion de surface «, la valeur que prend l'expres-
sion (z — z')n = z" en , quand l'on suppose o^cp^Tt; l'on a de la
sorte, pour tous les points de «i, c^R" et o^'i^ —• Les images
de ces points sur le plan A recouvrent donc le secteur s'éten-
dant de <l = o jusqu'à •!/ = —et faisant partie d'un cercle décrit du
point 0' comme centre, avec R" pour rayon, et cela en sorte qu'à chaque point de «, correspond un seul point appartenant au secteur et variant d'une manière continue en même temps que le point sur rtM et réciproquement, d'où il s'ensuit que la représentation de la surface a{ est une surface connexe, qui recouvre simplement le secteur.
D'une manière toute pareille, on obtient comme représentation, pour la surface a'., un secteur s'étendant de <\> = — à fb = — -,
nourc/o, un secteur s'étendant de <l = — '■ à •!> = — et, finalement,
pour a),, un secteur qui s'étend de •} = tt à -i» = 2tc, lorsque
l'on prend respectivement la valeur de cp, pour les points de ces surfaces, entre tc et 27c, 27: el 3-, . . ., [-2/1 — 1)7; et 2/ir:, ce qui est toujours possible, et cela d'une seule manière.
Ces secteurs se suivent dans le même ordre que les surfaces a el a', et cela de telle sorte qu'aux points où celles-ci sont soudées entr'elles correspondent aussi des points coïncidents; par leur réunion on obtient donc une représentation connexe d'une portion de la surface T renfermant le point O' et celte représentation est évidemment une surface qui recouvre simplement le plan A.
Une grandeur variable, qui a en chaque point O une valeur déterminée, a de même une valeur déterminée en chaque point© et réciproquement, puisqu'à chaque point O correspond un seul point 0 et vice versa. Ensuite, si la grandeur est une fonclion de c
elle le sera aussi de "Ç, car lorsque -r- est indépendant de dz, —^
l'est aussi de <r/^, et réciproquement.
De ceci nous concluons qu'à toutes les fonctions w de z on peut appliquer aussi, pour les points de ramification O', les propositions des § XII et XIII, lorsque ces fonctions sont considérées
comme fonctions de (z — z')" . Nous aurons comme résultat la proposition suivante :
Lorsqu'une fonction w de z, quand O se rapproche indéfiniment d'un point de ramification O' d'ordre n — 1, devient infinie, elle est nécessairement infiniment grande de même ordre qu'une puissance de la distance entre O et O' dont l'exposant est
m un multiple de -• et, lorsque cet exposant est =— • ladite
fonction peut être transformée en une fonction continue au point O par l'adjonction d une expression de la forme
où '/,. </ </,„ >ont (.les constante- complexes arbitrai)
théorème renferme comme corollaire la proposition sui-
vaul
La fonction vc est continue au point O lorsque ; — s1 \nw devient infiniment petite quand les points 0 el O' se rapprochent indéfiniment.
