XV

Concevons maintenant une fonction de r. qui, en chaque point O de la surface T recouvrant d'une manière arbitraire le plan A. - de une valeur déterminée, el qui n \ est pas partout égale à une constante, représentée géométriquement de telle sorte que sa valeur w = u — vi au point O soit représentée par un point Q du plan B dont les coordonnées rectangulaires sont u et v; nous aurons alors les propositions suivantes :

I. — L'ensemble des points Q peut être regardé comme formant une surface S, à chaque point de laquelle correspond un point O déterminé variant avec ce point Q d'une manière continue sur T.

Pour le démontrer il suffît de démontrer, c'est évident, que la position du point Q varie toujours avec celle du point O (et cela. en général, dune manière continue). Cette proposition est renfermée dans la suivante :

Une fonction w = u -+- vi de z ne peut être égale à une constante le long d'une ligne, lorsqu'elle n'est pas partout égale aune constante.

Démonstration. — Si w avait a -+- bi pour valeur constante

11 15 i- î d(.u— «)).»i- àv le loue d une hene, alors u — a et — , c est-a-dire ,

O. a 7 (jp fJs

seraient nulles le long de cette ligne, et l'on aurait partout

..' - Oy-

par conséquent, en vertu de la proposition I, § XI, u — a et, par

suite, puisque

du Ov du ôv

Ox ày ôy Ox

ç — b aussi seraient égales partout à zéro, ce qui est contraire à l'hypothèse.

II. ■ — Par suite de l'hypothèse posée en I, il ne peut exister une connexion entre les parties de S, sans qu'il en soit de même entre les parties correspondantes de T. Réciproquement, partout où a lieu une connexion sur T et où w est continue, on peut attribuer une connexion correspondante à la surface S.

Ceci posé, le contour de S correspond, d'une part, au contour de T et, d'autre part, aux points de discontinuité; mais les parties à l'intérieur de S, exception faite de points isolés, recouvrent partout d'une manière unie le plan B; c'est-à-dire qu'une portion de surface ne se prolonge jamais en deux autres portions différentes superposées, ni en une autre portion qui se replierait en se superposant à la première. Le premier de ces faits ne pourrait évidemment se présenter, T ayant partout une connexion correspondante à celle de S, que s'il avait aussi lieu sur T, ce qui est contraire à nos hypothèses. Quant au second point, nous allons le démontrer de suite.

Démontrons, en premier heu, qu un point O' ou -j- est uni ne peut être situé en un pli de la surface S.

A cet effet, joignons le point O' auquel correspond Q' à une portion de la surface de forme quelconque et de dimensions indéterminées. Alors, en vertu du § III, ces dimensions doivent pouvoir être prises suffisamment petites pour que la forme de la partie correspondante sur S diffère aussi peu que l'on voudra de ce morceau sur T; elles seraient de cette manière si petites que le

contour de cette partie sur S séparerait sur le plan B un morceau

entourant Q\ Or, ceci est impossible lorsque Q' est situé sur un

pli de la surface S.

11 • • i dw , ,

< >r. en vertu de la proposition i, -r- ne peut, regarde comme

fonction de s, être nul qu'en des points isolés; d'autre part, puisque w est continu en le-; points de T que nous considé-

rons ici, , - ne peut devenir i m lin i qu en les points de raminca-

tion de celte surface, par suite, etc. c. Q. F. n.

III. — La surface S. par suite*, est une surface pour laquelle ont lieu les hypothèses faites au § \ : sur cette surface, en chaque point Q, la grandeur indéterminée z possède une valeur déterminée, qui varie d'une manière continue avec le lieu de Q, et de

telle façon que r- est indépendant de la direction de la varia- 1 dw r

tiondece lieu. Ainsi r, en attribuant à ces mots le sens précédemment indiqué, est une fonction continue de la grandeur variable complexe w dans le domaine représenté par S.

D'où nous concluons ensuite :

Soient O' et Q' deux points correspondants intérieurs aux surfaces T et S, et soient en ces points z = s', w= w' ; alors, quand

n ■ -i -r» iv — w' ii i

aucun d eux n est un point de ramification, — -p tend, lorsque le

point O se rapproche indéfiniment du point O', vers une limite

finie, et la représentation y est une représentation où la similitude

a lieu dans les plus petites parties; mais, quand Q'est un point de

ramification d'ordre (n — i), O' un point de ramification d'ordre

(ni — i), alors, lorsque le point O se rapproche indéfiniment du

point O',

tend vers une limite finie, et, pour les parties de surface qui se trouvent aux points O' et Q', on obtient un mode de représentation facile à trouver d'après le § XIV.

36 PREMIÈRE PARTIE. — BIÉMOIRES PURLIÉS PAR RIEMANN.