XVI
Théorème. — Soient a et (3 deux fonctions quelconques de x, y, pour lesquelles V intégrale
relative à toutes les parties d'une surface T recouvrant le plan d'une manière quelconque, possède une valeur finie; lorsqu'on adjoint à a des fonctions continues, ou discontinues seulement en des points isolés, et qui sur le contour sont égales à zéro, cette intégrale atteint toujours pour une de ces fonctions une valeur miniina; et, quand on exclut des discontinuités qui peuvent être détruites par une modification de la fonction en des points isolés, cette fonction est unique [o].
Nous désignerons par A une fonction indéterminée continue ou qui n'admet de discontinuités qu'en des points isolés, qui sur le contour est égale à o, et pour laquelle l'intégrale
relative à toute la surface, a une valeur finie, par to + A une des fonctions indéterminées a + A, et enfin par û l'intégrale
J \dx dy) + \dy ' dx) J
relative à toute la surface.
L'ensemble des fonctions ), forme un domaine connexe et qui contient ses limites ('), puisque l'on peut passer d'une manière continue de l'une quelconque de ces fonctions à chacune des autres, aucune d'elles d'ailleurs ne pouvant jamais tendre indéfiniment vers une fonction discontinue le long d'une ligne sans que L ne devienne alors infinie (§ XVII) ; maintenant, si l'on pose u = a + X
(') C'est ce que M. Cantor a désigné depuis par les mots ensemble parfait (perfecte Menge).— (L. L.)
FONCTIONS D'UNE GRANDEUR VARIABLE COMPLEXE. 3j
il. pour chaque fonction a. prend une valeur finie qui tend vers l'infini avec L et varie d'une manière continue avec la forme de X, mais a pour une Limite inférieure zéro; par conséquent, pour une forme au moins de la fonction co, l'intégrale il atteint une valeur mini ma.
Pour démontrer la seconde partie de notre théorème, désignons paru une des fonctions to pour laquelle 0 att< indra son minimum i ' . par h une grandeur indéterminée constante sur toute la surface; de la sorte u — fik satisfait aux conditions prescrites à la fonction to. Pour co = u -h AX, la valeur de û s'écrira ainsi
Or, d'après la définition d'un minimum, cette valeur doit alors, pour tout X3 être supérieure à M, pourvu que h soit chaque fois pris suffisamment petit. Mais ceci exige que, pour tout X, on ait -X = o; en effet, s'il en était autrement,
2NA-1- LA2 = LA» (i+^r
serait négatif, h étant pris de signe contraire àN et •< -j— . abstraction faite du siçne.
La valeur de ù pour co = w -f- X, forme renfermant évidemment toutes les valeurs possibles de to, sera donc égale à Al -f- L, et, par conséquent, puisque L est essentiellement positif, Q ne peut, pour aucune forme de la fonction to, prendre une valeur inférieure à celle qu'elle atteint pour co = u.
Si. parmi les fonctions co, il s'en trouvait une autre u' pour laquelle aurait lieu un minimum M' de Q, les mêmes déductions seraient valables, et l'on aurait donc AI 'y M et AI^AI', et, par con-
(') Voir, entre autres, la critique de cette partie du célèbre raisonnement par lequel Riemann démontre le Principe de Dirichlet, dans le Traité d'Analyse de M. Picard, Tome II, p. 38. — (L. L.)
ûb PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.
séquent, M = M'. Mais, si l'on met u' sous la forme u + à', l'on obtient pour M' l'expression M + L', L/ désignant la valeur de L pour \ = V, et l'équation M = M' donne alors L/=o. Ceci est seulement possible lorsqu'en toutes les parties de la surface on a
o): dV
— = o, — - = o; ox oy
par suite, tant que V est continue, cette fonction a nécessairement une valeur constante, et, par conséquent, puisque celte fonction est égale à zéro sur le contour et n'est pas discontinue le long d'une ligne, elle a une valeur différente de zéro au plus en des points isolés. Deux des fonctions co, pour lesquelles ù atteint un minimum, ne peuvent donc être différentes l'une de l'autre qu'en des points isolés, et, par conséquent, lorsque dans la fonction u l'on a supprimé toutes les discontinuités qui peuvent être détruites par une modification de sa valeur en des points isolés, ladite fonction est parfaitement déterminée.
§ XVII
Nous allons donner maintenant la démonstration précédemment annoncée que À, sans pour cela que L cesse de rester fini, ne peut tendre indéfiniment vers une fonction y discontinue le long d'une ligne; c'est-à-dire que si la fonction A est soumise à la condition de coïncider avec y en dehors d'une portion de surface T' renfermant la ligne de discontinuité, T' peut alors être prise suffisamment petite pour que L devienne forcément plus grande qu'une grandeur assignée quelconque C.
Conservant à s et p, relativement à la ligne de discontinuité, les significations habituelles, désignons, pour un s indéterminé, par x la courbure, une courbure convexe du côté des p positifs étant considérée comme positive, par pK la valeur de p sur le contour de T' du côté des p positifs, par/>2 la valeur de p sur le contour de T' du côté des p négatifs, et enfin les valeurs correspondantes dey par y, et y2. Considérons alors une portion quelconque à courbure continue de cette ligne; la partie de T' comprise entre
hons d'une grandeur variable complexe. 3g
les normale- menées par ses extrémités, Lorsque celle-ci ne sYi nd pas jusqu'au centre de courbure de la ligne s, apporte à la valeur de L la contribution suivante :
mais la valeur miriima de l'expression
) {i — y.p)dp
pour les valeurs limites fixes y, , y2 de /.. obtenue d'après les règles connues, est égale à
i - ■/./>-, i — iogvi — >■./'! i
et, par suite, celte contribution, de quelque manière que a soil pris à l'intérieur «le T. est plus grande que
(Y' — Y s ': x ds
I — v.pi j — log ( I — /./>[ i
La fonction y serait continue, pour/? = o, si la plus grande valeur que puisse atteindre (y, - — ya)2, pour ~, >/>,>» o et -. ^/?2<!o, devenait infiniment petite avec -, — -,. Nous pouvons donc pour toute valeur de s assigner une grandeur finie />?, de telle sorte, quelque petit que l'on prenne 7t, — tc2, qu'il existe toujours entre les limites données par les expressions
(les signes d'égalité s'excluant l'un l'autre), des valeurs de />, et l>.> pour lesquelles on ait (y, — y2)2 > m.
Envisageons maintenant une forme quelconque de T' soumise aux restrictions précédentes, et soient P( et P2 les valeurs déterminées de pt et p2 pour cette forme, et désignons par a la valeur
de l'intégrale
m v. ds
Iog(l — zPj)- l0g(l — 7.Pj)
relative à la partie en question de la ligne de discontinuité; nous
4o PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES Pl'RLIÉS PAR RIEMANN.
pourrons alors évidemment obtenir
J log ( i — v.p2 ) — log ( i - xpi )
si nous prenons />, et p2, pour chaque valeur de s, de telle sorte que les inégalités
-t — (i — xP()C [-(i-xP5)ë
et
soient satisfaites. Mais cela, de quelque façon que l'on prenne \ à l'intérieur de T', a pour conséquence que la partie de L qui provient de la portion de T' en question sera >> C, et il en sera de même a fortiori de L tout entier [6]. c. o. f. n.
§ XVIII
D'après le § XVI, pour la fonction u qui y est complètement définie et pour l'une quelconque des fonctions ~k, l'on a
\ - f\(— — ôt\ °}l ^ (l)n . dl \ 0)l\ /t - J \\dx dyjàx ' \dy dx) dy\ ~ "'
l'intégrale s'élendant à toute la surface. De cette équation nous allons maintenant tirer encore d'autres conséquences.
Séparons sur la surface T un morceau T' renfermant les lieux de discontinuité de u, (â, X; à l'aide des principes des § VII, VIII,
en posant
X=(£f)x et Y = /^ + ^X,
\dx ôyj \0y dx)
l'on trouve que la partie de N, qui provient du morceau restant T" de T, est égale à
Par suite de la condition relative au contour imposée à la fonc-
lion X, la partie de
du
dp ds
relative à la portion de contour que T ' possède en commun avec I est nulle, en sorte que N peut être regardée comme formée de l'intégrale
-fxi 1,r)dT.
relativement à T . et de
J l dx dy) dx \dy dx . ' dp
relativement à T'.
Maintenant, il est évident que, si était différent de
*■ dx1
11 une partie quelconque de la surface ï, N prendrait également une valeur différente de zéro, pourvu que Ton ait choisi /., ce que l'on est libre de faire, égale à zéro à l'intérieur de 1 '. et
i il ,, i». . , • ï rrii - t >>-!/ i)'2ll\
de telle nature au a 1 intérieur de 1 . a — — — ■ ait partout
le même signe. Mais si ■ — est eçraie a zéro en toutes les
° dx- dy- °
parties de T, alors la partie de \ qui dérive de T" s'évanouit pour chaque )., et de la condition N = o résulte alors que les parties relatives aux lieux de discontinuité sont égales à zéro.
..... r . du dri du d$ .
Ainsi, relativement aux fonctions -i 1 — -, en désira; dy dy dx
gnant la première par X et la seconde par Y, nous avons non seulement d'une manière générale l'équation
àX o\ dx
mais encore celle-ci
dx dy >
\ h 11 -r-) as = n.
dp dp/
l'intégrale étant prise relativement au contour total d'une partie quelconque de T, en tant au moins que cette expression présente un sens déterminé.
Décomposons (§ IX, proposition V) la surface T, lorsqu'elle
