PREMIÈRE PARTIE

possède une connexité multiple, en une surface simplement connexe T* à l'aide de sections transverses; alors, par conséquent,

l'intégrale

du d?\ , dp + ds)ds>

relative aune ligne cpielconque joignant O0 à O à l'intérieur de T*, possède toujours la même valeur et représente, O0 étant regardé comme fixe, une fonction de x,y qui sur T* éprouve partout une variation continue qui, le long d'une section transverse, est la même sur les deux bords. Cette fonction v adjointe à [3 nous fournil une fonction p= {3-f-v dont les d

dv dx

du

érivées

sont

àv

du

dx'

D'où l'on conclut le

Théorème. — Lorsque sur une surface connexe T, décomposée par des sections transverses en une surface simplement connexe T*, l'on donne une fonction complexe a + fii de se, y, pour laquelle V intégrale

J \\dx Oy) \dy dx j J .

étendue à toute la surface, possède une valeur jinie, celle fonction peut être toujours, et cela d'une manière unique, transformée en une fonction de z par V adjonction d' une fonction [i. + vi de x, y qui satisfait aux conditions suivantes :

i" Sur le contour, ^ = o ou, du moins, diffère de zéro seulement en des points isolés; en un point, v est donnée d'une manière arbitraire ;

2° Les variations de [j. sur T, celles de v sur T* ne sont discontinues qu'en des points isolés, et cela seulement de telle sorte que les intégrales

J [\âxy

dT

et

dv ày

dT.

relatives à toute la surface, restent finies ; de plus, les varialions de v le long d'une section transverse sont égales su/- les deux bords.

rioxs d'une GRANDEUR VAlUVr.l.K COMPLEXE. \ô

- conditions suffisent pour déterminer ul + vï. En effet, oela résulte de ce que ix, à l'aide de laquelle v est déterminée à une constante additive près, fournit toujours également un minimum de l'intégrale !.}. puisque, en posant M = a-f-u., Ton a pour chaque /. évidemment N = o; propriété qui, d'après le § XVI, n'a lieu que pour une seule fonction.

§ XIX

L< -s principes qui servent de Lise au théorème qui termine le paragraphe précédent ouvrent la voie pour l'étude de fonctions déterminées d'une variable complexe (indépendamment d'une expression explicite de ces fonctions).

Pour s'orienter dans ce champ de recherches, l'on fera usage d'une estimation comparative de l'ensemble des conditions nécessaires à la détermination d'une pareille fonction à l'intérieur d'un domaine donné.

Arrêtons-nous d'abord à un cas déterminé; lorsque la surface qui recouvre le plan A et qui représente ce domaine de grandeurs est une surface simplement connexe, la fonction w = u -+■ vi de ^ peut être déterminée conformément aux. conditions suivantes :

i° Pour u, l'on donne la valeur en tous les points du contour, valeur qui, pour une variation infiniment petite de la position, variera d'une grandeur infiniment petite de même ordre, mais du reste d'une manière quelconque (');

2° En un point quelconque, la valeur de v est donnée arbitrairement;

3° La fonction doit être partout finie et continue.

Mais, sous ces conditions, la fonction est complètement déterminée.

En effet, cela résulte du théorème du paragraphe précédent,

(') Les variations de cette valeur sont à vrai dire soumises seulement à la restriction de ne pas être discontinues le long d'une partie entière du contour; on a fait une restriction ultérieure dans le seul but d'éviter ici des complications inutiles. — ( RlEMANN. )

lorsque l'on détermine a + fii: ce qui est toujours possible, de telle sorte que a soit égale, sur le contour, à la valeur donnée et que sur toute la surface, pour toute variation infiniment petite de la position, la variation de a + [ii soit infiniment petite de même ordre.

La fonction u peut être par conséquent donnée sur le contour en général comme fonction toute arbitraire de s, et ce fait détermine partout en même temps p; réciproquement, p peut être prise aussi quelconque en tous les points de l'encadrement; d'où l'on conclut alors les valeurs de u.

Le champ d'évolution pour le choix des valeurs de w sur le contour embrasse donc un ensemble à une dimension pour chaque point de l'encadrement, et la détermination complète de ces valeurs nécessile une équation pour chaque point de l'encadrement, sans qu'il soit toutefois essentiel que chacune de ces équations soit uniquement relative à la valeur (ïun terme en un point de l'encadrement.

Cette détermination peut aussi être effectuée de telle sorte que pour chaque point de l'encadrement une équation contenant les deux termes et variant de forme d'une manière continue avec la position du point soit donnée ; ou bien la détermination peut être effectuée simultanément pour plusieurs parties d'encadrement, de telle sorte qu'à chaque point d'une de ces parties soient associés n — i points déterminés, dont chacun tire son origine d'une des autres parties respectives, et de telle façon qu'alors pour chaque groupe de n points ainsi associés soit donné un groupe de n équations,variant d'une manière continue avec la situation de ces points. Mais ces conditions, dont la totalité forme une variété continue, et qui sont exprimées par des équations entre des fonctions arbitraires, doivent encore, en général, pour être admissibles et suffisantes à la détermination d'une fonction partout continue à l'intérieur du domaine de grandeurs, être soumises à une restriction ou bien à une extension qui sont données par des équations de condition particulières (équations relatives aux constantes arbitraires), car l'exactitude de nos estimations ne s'étend pas évidemment jusqu'à ce dernier point relatif aux constantes.

Dans le cas où le domaine de variabilité de la grandeur z est représenté par une surface multiplement connexe, ces considéra-

rioNS d'une grandeur variable complexe. 45

lions d 'éprouvent aucune modification essentielle; en effet, !'. p plication du théorème du § X\ III fournit une fonction jouissant des mêmes propriétés que celles que l'on vient d'étudier, aux

variations près à la traversée des sections transverses, variations qui peuvent être rendues égales à zéro, lorsque les conditionrelatives à l'encadrement contiennent un nombre de constantes disponibles égal à celui des sections transvers< -

Le cas, où la continuité est interrompue le long d'une ligne à l'intérieur de la surface, peut être subordonné au précédent, si l'on considère celte ligne comme une section pratiquée dans la Mirl'ace.

Finalement, si l'on admet une solution de la continuité en un point isolé, c'est-à-dire, d'après le § XII, un infini île la fonction en un point, alors, en conservant les autres hypothèses faites dans le cas étudié au commencement, l'on peut trouver relativement à ce point une fonction de r quelconque1, après soustraction de laquelle la fonction qu'il s'agit de déterminer se/a continue; mais, par cela même, cette dernière sera complètement déterminée. En effet, supposons la grandeur a — fti égale à la fonction donnée dans un cercle aussi petit que l'on voudra, dont le centre est en ce point de discontinuité, et cela d'ailleurs conformément aux prescriptions antérieures, alors l'intégrale

relative à ce cercle, est égale à zéro; prise relativement à la partie restante, l'intégrale est égale à une grandeur finie; on peut donc faire l'application du théorème précédent, ce qui permet d'obtenir une fouction qui jouit des propriétés exigées. L'on peut de ceci conclure, en vertu du théorème du £ XIII, que, lorsqu'en un point isolé la fonction peut devenir infiniment grande d'ordre n, le nombre des constantes dont on peut disposer sera en général égal à in.

Représentons géométriquement (d'après le § XV), une fonction w, d'une grandeur complexe s, variant à l'intérieur d'un domaine donné à deux dimensions; celte fonction fournit alors une représentation conforme S, recouvrant le plan B, d'une surface donnée T, recouvrant le plan A, la similitude étant conservée

dans les plus petites parties, à l'exception de certains points isolés. Les conditions que l'on a trouvées précédemment, suffisantes et nécessaires pour la détermination de la fonction, sont relatives soit à ses valeurs sur le contour, soit à ses valeurs aux points de discontinuité. Elles se présentent donc (§XV) toutes comme conditions pour la figuration du contour de S en donnant pour chaque point du contour une équation de condition. Si chacune de ces équations est relative seulement à un point d'encadrement, elles seront représentées par un réseau de courbes, le lieu géométrique de chaque point du contour étant formé par une de ces courbes. Lorsque deux points du contour, dont l'un varie d'une manière continue avec l'autre, sont soumis ensemble à deux équations de condition, il existe par ce fait, entre deux parties du contour, une relation de dépendance telle que, la situation de l'une étant prise arbitrairement, la situation de l'autre en sera une conséquence. De même l'on obtiendra, pour d'autres formes des équations de condition, une interprétation géométrique analogue ; mais nous n'insisterons pas davantage sur ce point.

L'introduction des grandeurs complexes dans les Mathématiques a son origine et son but immédiat dans la théorie de lois de dépendance simples (' ) entre des grandeurs variables; lois exprimées par des opérations sur les grandeurs. En effet, si l'on applique ces lois de dépendance dans un champ plus étendu, en attribuant des valeurs complexes aux grandeurs variables auxquelles se rapportent ces lois, il se présente alors une harmonie et une régularité qui sans cela restent cachées. Les cas où cette extension avait été faite forment jusqu'ici, il est vrai, un domaine

(') Nous regardons ici comme opérations élémentaires : l'addition et la soustraction, la multiplication et la division, l'intégration et la difierentiation ; et une loi de dépendance est pour nous d'autant plus simple qu'elle nécessite moins d'opérations élémentaires. En effet, toutes les fonctions, dont on s'est servi jusqu'ici dans l'analyse, peuvent être ramenées à un nombre fini de ces opérations. — ( RlEMANN. )

rioîïs ni m: grandeur variable comp ',-

stremt; tous ces cas a peu près peuvent être ramenés à ces lois de dépendance entre deux grandeurs variables où l'une esl soil fonction algébrique de Pautre (c'est-à-dire lorsque entre les deux a lieu une équation algébrique), soit une fonction dont la dérivée est une fonction algébrique : niais presque tout le progrès accompli ici a donné non seulement une forme plus simple, plus expéditive aux résultats acquis sans l'aide des grandeurs complexes, mai- encore a ouvert aussi le chemin à de nouvelles découvertes: l'histoire des recherches relatives aux fonctions alçrébriques, circulaires ou exponentielles, elliptiques et abéliennes en offre les exemples.

Indiquons rapidement le nouveau progrès qui résulte de nos recherches pour la théorie de pareilles fonction-.

Les méthodes dont on s'est servi jusqu'ici pour le traitement de ces fonctions partent toujours du principe qui consiste à prendre pour définition une expression de la fonction, sa valeur et, ml ainsi donnée par chaque valeur de son argument. Nos recherches ont démontré que. par suite du caractère général d'une fonction d'une grandeur complexe variable, une partie des éléments de détermination sont, dans une définition de cette nature, une conséquence de la partie restante, et, à vrai dire, alors l'ensemble de ces éléments est ici ramené à ceux qui sont nécessaires à la détermination.

Cela simplifie essentiellement le traitement de la question. Ainsi pour démontrer, par exemple, l'égalité de deux expressions de la même fonction Ton devait autrefois les transformer l'une en l'autre, c'est-à-dire faire voir qu'elles coïncidaient toutes deux pour toute valeur de la grandeur variable ; or, il suffit maintenant de démontrer qu'elles coïncident dans un domaine bien plus restreint.

Une théorie de ces fonctions, basée sur les principes introduits ici. établirait la figuration de la fonction (c'est-à-dire sa valeur pour toute valeur de son argument), indépendamment d'une méthode pour déterminer la fonction au moyen des opérations sur les grandeurs; on parviendrait à la définition générale d'une fonction d'une grandeur variable complexe en ajoutant seulement les caractères nécessaires pour déterminer la fonction particulière;

et c'est alors seulement que de cette théorie l'on passerait à l'étude des différentes expressions dont la fonction est susceptible. Le caractère individuel d'une classe de fonctions, qui sont exprimées d'une manière pareille à l'aide d'opérations sur les grandeurs, se présente alors pour ces fonctions sous forme des conditions relatives au contour et aux discontinuités. Par exemple, si le domaine de variabilité de la grandeur z recouvre simplement ou multiplement le plan indéfini A tout entier, et si la fonction n'admet des discontinuités qu'en des points isolés, et en ces points seulement des infinis dont les ordres sont finis (pour z infini cette

grandeur elle-même, pour z' fini la grandeur — — étant considérée comme un infini du premier ordre), alors la fonction est nécessairement une fonction algébrique et, réciproquement, toute fonction algébrique satisfait à ces conditions.

Nous n'entrerons pas, pour cette fois, dans le développement de cette théorie qui, suivant nos remarques, est destinée à jeter le jour sur des lois de dépendance simples régies par des opérations sur les grandeurs; en effet, nous laissons de côté l'étude de l'expression d'une fonction.

Pour la même raison, nous ne nous occuperons pas ici d'établir la possibilité d'appliquer nos théorèmes, en les prenant pour principes d'une théorie générale de ces lois de dépendance; il serait alors nécessaire de démontrer que la conception de fonction d'une grandeur variable complexe, que nous prenons ici pour point de départ, coïncide complètement avec l'idée d'une dépendance exprimable par des opérations sur les grandeurs (*) [7].

(') Par dépendance exprimable par des opérations sur les grandeurs, nous entendons toute dépendance régie par un nombre fini ou infini des quatre opérations de calcul les plus simples, addition et soustraction, multiplication et division. L'expression opérations sur les grandeurs (par opposition à opérations sur les nombres) indique que dans de telles opérations de calcul la commensurabilité des grandeurs ne joue aucun rôle. — (Riemann.)