XXI

Pour l'éclaircissement de nos théorèmes généraux il no sera pas -ans utilité d'exposer en < I <• t a i l un exemple de leur application.

L'application indiquée dans le paragraphe précédent, bien qu'atteignant le but prochain envisagé dans la déduction des théorèmes, n'est cependant encore que particulière. En effet, lorsque la dépendance est régie par un nombre uni de ces opérations sur les grandeurs qui y sont regardées comme opérations élémentaires, la fonction contient seulement un nombre fini de paramètres; quant à la forme d'un système de conditions, relatives au contour et aux. discontinuités, indépendantes entre elles, et suffisant pour déterminer la fonction, ce fait a pour conséquence que parmi ces conditions il ne peut ? en présenter aucunes susceptibles d'être déterminées arbitrairement en chaque point le long- d'une ligne. Pour le but actuellement envisagé, il semble donc plus approprié de choisir, non un exemple tendant à ces circonstances, mais beaucoup plutôt un exemple où la fonction de la variable complexe dépend d'une fonction arbitraire.

Pour faire saisir la question d'une manière nette et claire, nous allons présenter cet exemple sous la forme géométrique dont on a fait usage à la fin du § XIX. Il s'agit alors dans cet exemple de rechercher la possibilité d'opérer une représentation connexe et semblable en ses plus petites parties d'une surface donnée, représentation dont la forme est donnée ; nous entendons, en parlant ainsi, que l'on donne la courbe du lieu géométrique de chaque point d'encadrement de la représentation, la même courbe pour tous ces points, et que l'on donne en outre le sens de la direction de l'encadrement ainsi que les points de ramification. Nous nous en tiendrons à la solution de ce problème au cas où, à chaque point d'une surface, correspond un point unique de l'autre, et où les surfaces sont simplement connexes, cas où la solution est renfermée dans le théorème suivant :

Deux surfaces planes, simplement connexes données, peuvent toujours être rapportées L' une à l'autre, de telle sorte qu'à R.

5o PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.

chaque point de Vune corresponde un point unique de V autre dont la position varie d'une manière continue avec celle du premier, et de telle sorte que les plus petites parties correspondantes des surfaces soient semblables; de plus, pour un point de l'intérieur et pour cjm point de l'encadrement de la surface, les points correspondants de Vautre surface peuvent être donnés que/conques; mais alors la correspondance est déterminée par cela même pour tous les points.

Lorsque deux surfaces T et R sont rapportées sur une troisième S, de telle sorte qu'entre les plus petites parties correspondantes de T et S et de R et S il y ait similitude, par cela même il existe une correspondance entre les surfaces T et R, où le même fait a évidemment lieu.

Le problème de la représentation de deux surfaces quelconques l'une sur l'autre, de telle sorte que la similitude soit conservée dans leurs plus petites parties, est donc ramené à celui-ci : représenter chaque surface quelconque sur une même surface déterminée de sorte qu'il y ait similitude en les plus petites parties.

Ainsi, pour démontrer notre théorème, si nous décrivons sur le plan B, du point <v = o comme centre, un cercle K de rayon i, il suffira seulement de démontrer ceci : une surface simplement connexe quelconque T recouvrant A, peut être toujours représentée sur le cercle K. d'une manière connexe, la similitude étant conservée dans les plus petites parties, et cela d'une façon unique, en opérant de telle sorte qu'au centre du cercle corresponde un point donné quelconque O0 à l'intérieur de T, et à un point donné quelconque de la circonférence un point donné quelconque O' sur l'encadrement de T.

Distinguons les désignations déterminées de la grandeur z et du point Q relatives aux points O0 et O', en leur attribuant l'indice ou l'accent correspondant, et décrivons sur T du point O0 comme centre un cercle quelconque 0, qui ne s'étend pas jusqu'à l'encadrement de T et ne renferme aucun point de ramification. Introduisons des coordonnées polaires en posant z — ;„ = ref1; l'on aura, pour la fonction log(^ — s0)j

log(s — z0)= log/'-Hcp*.

La partie réelle varie donc dans tout le cercle d'une manière

1 NOTIONS DUNE GRANDEUR VARIABLE COMPLEXE. 5l

continue. Hormis au point O0, où elle devient infinie. Quant à la partie imaginaire, lorsque parmi les valeurs possibles de cp l'on choisit partout la valeur positive la plus petite, elle prend le long du rayon où s — - s0 prend des valeurs réelles positives, d'un côté la valeur o, de l'autre ■>-: mais d'ailleurs en tous les autres points elle varie d'une manière continue. Ce rayon peut être évidemment remplacé par une ligne quelconque / menée du centre à la circonférence, de telle sorte que la fonction log(^ — s0), lorsque le point O traverse cette ligne du bord négatif (c'esL-à-dire où p est négatif, § \ III) au bord positif, éprouve une brusque diminution de valeur 2-/: mais d'ailleurs elle varie avec la position de O d'une manière continue sur le cercle 0 tout entier.

Prenons maintenant la fonction complexe a — 'pi Avx.y égale dans le cercle 0 à log(c — s0 - : mais, en dehors du cercle, la ligne / étant prolongée d'une manière quelconque jusqu'au contour deT, choisissons-la comme il suit :

i° Sur la circonférence de 0. égale à logi c — s0), sur le contour de T, imaginaire pure;

20 A la traversée du bord négatif au bord positif de la ligne /, elle devra varier de — 2~i; mais, dans tout autre cas, pour une variation infiniment petite du lieu, elle devra varier d'une grandeur infiniment petite de même ordre: ces fixations 1" et i° sont toujours possibles.

Ceci posé, l'intégrale

relativement à 0, a une valeur nulle; relativement à toute la partie restante de la surface T, elle a une valeur finie. Par conséquent. a-f- rpi par l'adjonction d'une fonction continue de x^y, purement imaginaire sur le contour et déterminée à un reste près constant purement imaginaire, peut être transformée en une fonction t = m ■+■ ni de z. La partie réelle m de cette fonction sera égale à o sur le contour, à — oc au point O0, et partout ailleurs sur T elle variera d'une manière continue.

Pour chaque valeur a de m située entre o et — x. la surface T est donc partagée par une ligne où m = a. d'une part, en parties

où m << a qui renferment à leur intérieur le point O0 et, d'autre part, en parties où m >> a dont l'encadrement est formé en partie par le contour de T, en partie par des lignes où m = a.

L'ordre de connexion de la surface T ou bien ne sera pas diminué par cette décomposition, ou bien le sera; comme cet ordre est égal à — i , la surface sera donc décomposée soit en deux morceaux d'ordres de connexion o et — i, soit en plus de deux morceaux. Mais cette dernière circonstance est impossible, car, dans un de ces morceaux au moins, la partie réelle m devrait être partout finie et continue et constante en toutes les parties de l'encadrement, et, par suite, devrait avoir soit une valeur constante en une portion de surface, soit une valeur maxima ou bien minima en un endroit quelconque, c'est-à-dire en un point ou le long d'une ligne, ce qui est contraire au §XI, proposition III. Les points où m est constant forment, par conséquent, des lignes partout simples, qui se ferment et qui forment chacune l'encadrement d'un morceau renfermant le point O0, et où m décroît nécessairement vers l'intérieur. Il s'ensuit que pour un circuit positif (où s croit, d'après le § VIII) la grandeur n, tant qu'elle est continue, est toujours croissante, et, par conséquent, puisqu'elle éprouve une variation brusque de — 2t (') seulement quand on passe du bord négatif au bord positif de la ligne /, elle sera alors égale une fois à chaque valeur comprise entre o et 2-, abstraction faite d'un multiple de 2u.

Posons maintenant et=w, e"1 et n seront alors les coordonnées polaires du point Q relativement au centre du cercle K. pris comme origine.

Mais l'ensemble des points Q forme évidemment une surface S recouvrant K partout simplement. Le point Q0 de celle-ci tombe au centre du cercle, mais le point Q' peut, par l'entremise de la constante dont on peut encore disposer dans la fonction /?, être porté en un point donné quelconque de la circonférence.

(1) Puisque la ligne l mène d'un point intérieur du morceau à un point extérieur, il faut, lorsqu'elle en coupe plusieurs fois l'encadrement, qu'elle traverse de l'intérieur à l'extérieur une fois de plus que de l'extérieur à l'intérieur; la somme des variations brusques de n pendant un ciz'cuit positif est donc toujours égal à — 2t. — (RlEMANN. )

Au cas%ù le point O0 est un point de ramification d'ordre (« — i), Ton arrive au but cherché par des conclusions tout analogues en

remplaçant seulement log(s — s0) par - log(;3 — c0^; et le traitement ultérieur serait aisément complété à I aide du § XIV.

§ xxn.

L'extension complète des recherches du paragraphe précédent au cas plus général où, à un point unique d'une surface, correspondent plusieurs points de l'autre et où l'on ne présuppose pas que les surfaces aient une connexion simple, sera laissée de coté ici. d'autant plus qu'au point de vue géométrique toute notre étude eût pu être présentée sous forme plus générale. La restriction de nos considérations à des surfaces planes, unies sauf exception en des points isolés, n'est pas essentielle. Bien plus, le problème de la représentation d'une surface donnée quelconque sur une autre donnée quelconque, en conservant la similitude dans les plus petites parties, peut être traité d'une manière tout analogue. Nous nous contenterons, à ce sujet, de renvoyer le lecteur aux deu\ .Mémoires de Gauss, celui cité au § III et celui intitulé : Disquisitiones générales circa superficies curvas (article 13).

TABLE DES MATIERES O

Paragraphes. Pages.

I. Une grandeur variable complexe w = u-\-vi est dite une fonction

d'une autre grandeur variable z = x+jri lorsqu'elle varie avec

elle, de telle sorte que —j— est indépendant de dz. Cette définition est motivée par la remarque que ce fait a toujours lieu lorsque la dépendance de la grandeur <v de z est donnée par une expression analytique i

II. Les valeurs des grandeurs variables complexes z et w sont repré-

sentées par les points O et Q de deux plans A et B, et leur dépendance mutuelle par la représentation d'un des plans sur l'autre. 3

III. Si la dépendance est telle que -j- est indépendant de z (§ I), il y

aura entre l'original et sa représentation similitude en les plus petites parties '(

IV. La condition que —r- soit indépendant de dz est identique aux con-

ditions suivantes

Ou dv du dv

dx ~ dy dy Ox

On en déduit

àx' Oy- ox* dy1

V. Comme champ d'évolution du point O on substitue au plan A une

surface T ayant un encadrement et recouvrant ce plan. Points

de ramification de cette surface 6