CONTRIBUTION

THÉORIE DES FOXCTIOAS

REPRESEXTABLES PAR LA SÉRIE DE G AlîSS

[Mémoires de la Société Royale des Sciences de Gôttingue, t. VII ; 1817. Œuvres de Riemann, a* édit., p. 67; 18

La série de Gauss F(a, (3, y, #), considérée comme fonction de son quatrième éléments, ne représente cette fonction que tant que le module de x ne surpasse pas l'unité. Pour faire l'étude de cette fonction dans toute son étendue, c'est-à-dire quand la variabilité de cet argument x n'est pas limitée, il s'est, dans les travaux antérieurs, présenté deux voies de recherches. L'on peut ainsi prendre comme point de départ soit une équation différentielle linéaire, à laquelle elle satisfait, soit son expression par des intégrales définies.

Chacune de ces méthodes a des avantages qui lui sont propres; cependant jusqu'ici, dans le fécond Mémoire de Kummer, paru dans le tome XV du Journal de Crelle, et de même dans les Recherches de Gauss , qui n'ont pas encore paru ('), la première méthode seule est employée, principalement parce que le calcul relatif aux intégrales définies entre des limites complexes n'était pas encore suffisamment avancé, ou Lien encore parce que Ton

(') Œuvres de Gauss, t. III, p. 207; 1886. — (Weber.)

ne pouvait le supposer bien connu par un nombre suffisant de lecteurs.

Dans le Mémoire suivant, je traite de cette transcendante d'après une nouvelle méthode qui reste essentiellement applicable à toute fonction qui satisfait à une équation différentielle linéaire à coefficients algébriques. Avec son aide, les résultats trouvés antérieurement en partie par des calculs assez pénibles se déduisent presque directement de la définition; c'est ce que nous faisons dans la partie ici publiée de ce Mémoire, principalement afin de donner, en vue des nombreuses applications de cette fonction aux recherches de la Physique et de l'Astronomie, un résumé commode de toutes ses représentations possibles. Il est nécessaire d'exposer en préliminaires quelques remarques générales relatives au traitement d'une fonction lors de la variabilité illimitée de son argument.

Considérant la valeur de la grandeur variable indépendante x = y-\- :i, en vue d'une interprétation plus commode de sa variabilité, comme étant représentée par un point d'un plan indéfini dont les coordonnées rectangulaires sont y et z, et supposant que la fonction w soit donnée en une partie dudit plan, l'on peut alors, d'après un théorème facile à démontrer, prolonger la fonction au

ii,i i • r • v 17 ' • àw . d(V ,

delà de ce domaine, conformément a t équation — = i — , et cela

1 oz oy

d'une seule et unique manière.

Ce prolongement, cela s'entend de soi, ne doit pas avoir lieu le long de pures lignes, car l'on ne pourrait appliquer à une telle question une équation aux dérivées partielles, mais doit être effectué sur des bandes de surface de largeur finie. Quant aux fonctions qui sont, ainsi que celle que nous allons traiter, « multiformes », ou qui, pour une même valeur de x, peuvent admettre plusieurs valeurs selon le chemin le long duquel est effectué le prolongement, il existe pour elles certains points du plan des x autour desquels la fonction se prolonge en une autre comme, par exemple, le point a pour les fonctions y 'x — <7, log(x — a), (x — a)V-, jjt. désignant un nombre qui n'est pas entier.

Si l'on conçoit une ligne quelconque tirée de ce point a, la valeur de la fonction peut être choisie dans le voisinage de a telle, qu'en dehors de la ligne susdite, elle varie partout d'une manière

THÉORIE l'CS PONCTIONS REPRÉSENTABLES PAR LA SÉRIE DE GAUSS. 63

continue, mai* telle que, sar chacun des deux bords de celle ligne. elle prenne des valeurs différentes, en sorte que le prolongement de la fonction à travers celle ligne donne sur l'autre bord une fonction différente de celle qui se présentait auparavant.

Pour simplifier le langage, les différents prolongements d'une fonction pour la même partie du plan des.r seront dils les branches de la fonction et une valeur de x, autour de laquelle une branche se prolonge en une autre, sera désignée sous le nom de valeur <{<' ramifient ion; pour une valeur où n'a lieu aucune ramification la fonction est dile uniforme ou monodrome.

Je désigne par

une fonction de x qui satisfait aux conditions suivante- :

i° Elle est pour toutes les valeurs de x, hormis a. I>. c, uniforme et fini

2° Entre trois branches quelconque- P', P", P de cette fonction a toujours lieu une équation linéaire homogène à coefficients

constants

3° La fonction peut se mettre sous les formes

caP *> — cx P ta , eop > — cyl' y . c:P:-r f. .

où C'X, c-jj c-/ désignent des constantes, et cela de telle sorte

que. pour x= a,

restent uniformes et ne deviennent ni nulles, ni infinies, et qu'il en soit de même, pour x = b, de

el, pour x = c, de

Relativement aux six grandeurs a, a', .... y', l'on supposera qu'aucune des différences

a a', p pf Y T'

n'est un nombre entier et, de plus, que l'on a pour la somme de

ces grandeurs

La variété de fonctions qui remplissent ces trois conditions reste pour le moment indéterminée; nous la déterminerons dans le cours de notre étude (§ TV).

Pour simplifier le langage, je nommerai x la variable; «, b, c les première, deuxième, troisième valeurs de ramification, et oc, a'; [3, ,3': v, y' les premier, deuxième et troisième couples d'exposants de la fonction P.

8 II

En premier lieu, quelques conséquences évidentes de la définition :

Dans la fonction

les trois premières lignes verticales peuvent être échangées entre elles d'une manière quelconque, et de même a et a', 3 el j', y et y'. L'on a ensuite

V ! y. ri, v * ! = P ! y. S v a;'

lorsque l'on prend pour x' une expression rationnelle du premier degré en x qui, pour x = a, b, c, prend les valeurs a', b', c'.

rHÉORIE DES FON< il» >N < REPRÉSENTARLES PAR LA SÉRIE DF. GADSS. 65

La fonc

jo » , |

forme à laquelle, par suite peuvent se ramener toutes les fonction- V à mêmes y. r! y', je la désignerai, pour abréger

l'écriture, simplement par

Dans une telle fonction, parmi les grandeurs x, y.'; B, 3'; v, --': l'on peut intervertir les éléments de chaque couple, et l'on peut aussi échanger entre eux, d'une manière quelconque, les trois couples de grandeurs lorsque l'on a seulement soin, dans la fonction I' ainsi obtenue, de substituer à la variable une fonction rationnelle de premier degré en x qui, pour les valeurs de x correspondant aux premier, second et troisième couples d'exposants de cette fonction, prend respectivement les valeurs o, ce, i.

L'on obtient de celte manière la fonction

exprimée par des fonctions I* aux variables respectives .r, i — x.

-j et aux mêmes exposants, mais ranges en

un ordre différent

Comme conséquence de la définition, on a de plus

[abc, , a b ci

D q \ Ix — a ;Sr\ *as

vi i y x . ) P = < a -f- à 3—8 y x ),

et, par conséquent, aussi

la 3 y / (a-HoS — o — EY + e I

x*(i — xr- P ' ' ' r ' = P ' ' .r '.

A Laide de cette transformation, deux exposants de couples différents peuvent prendre des valeurs données quelconques, et

comme valeurs des exposants l'on peut introduire ainsi, puisque l'on a la condition a + a' -h [ 3 -h ^' -f- y + y' = i , toutes autres valeurs pour lesquelles les trois différences a — a', [3 — fi', y — y' restent les mêmes. En ayant égard à ce fait, je désignerai plus tard, pour faciliter la discussion, par

pja-a', p p', Y Y', *|

toutes les fonctions renfermées sous la forme

Il est maintenant, avant toutes choses, nécessaire d'étudier d'une manière plus détaillée la marche de la fonction.

A cet effet, concevons une ligne /, qui se ferme en revenant sur elle-même, passant par tous les points de ramification de la fonction, et qui partage l'ensemble de toutes les valeurs complexes en deux domaines séparés de grandeurs.

A l'intérieur de chacun de ces derniers, chaque branche de la fonction aura une marche continue et séparée des autres branches ; mais le long de la ligne de contour commune auront lieu, entre les branches de l'un et de l'autre domaine, des relations différentes en des portions d'encadrement différentes. En vue d'une représentation plus commode de ces relations, je désignerai les expressions linéaires pt -f- qu, rt-\- su, formées des grandeurs t, u à l'aide du

système de coefficients S = (*' q), par (S) (t, u). De plus, par

analogie avec la désignation, proposée par Gauss, d'unité positive latérale pour +i, l'on regardera comme côté positif, relativement à une direction donnée, celui qui est situé par rapport à cette direction comme + i Test par rapport à i (c'est-à-dire, sur la gauche, dans la méthode habituelle de représentation des grandeurs complexes).

Ainsi x décrit un circuit positif autour d'une valeur de ramification a, lorsqu'il décrit le contour total d'un domaine de