THÉORIE DES FONCTIONS REPRÉSENTABLES PAR LA SÉRIE DE GADSS

odeurs contenant cotte valeur de ramification et nulle autre dans une direction située positivement par rapport à la direction qui \a de l'intérieur à l'extérieur du domaine.

Supposons alors que la ligne / passe, dans cet ordre respectif, par les points x = C, X = b. x = <i. et, dans le domaine qui est situé du côté positif de /, soient P . I1' deux branches de la fonction P n'ayant pas entre elles un rapport constant.

Toute autre branche P'7. puisque dans l'équation

qui a lieu en vertu des hypothèses, d" ne peut s'évanouir, peut alors s'exprimer linéairement en P' et P" à l'aide de coefficients constants.

Si l'on suppose alors que P', P" soient respectivement transformés par l'effet d'un circuit positif de la grandeur x autour de a en A P . P . autour de b en (B)(P', P"), autour de c en I .la périodicité de la fonction sera complètement dé-

terminée par les coefficients des systèmes (A), (B), (C).

Mais entre ceux-ci il existe encore des relations.

En effet, lorsque x décrit le bord négatif de la ligne /, les fonction- P . P doivent reprendre leurs valeurs primitives, puisque le chemin décrit dans le sens négatif forme l'encadrement total d'un domaine de grandeurs à l'intérieur duquel ces fonctions sont partout uniformes. Or, cela revient à faire marcher la variable z de l'une des valeurs c. b, a jusqu'à la suivante sur le bord positif et à décrire chaque fois ensuite un circuit positif autour de cette valeur; ceci a pour conséquence de transformer successivement P.i en(C VA'". (C (B P',F')eten6nen(C)(B)(A)(P',F); on a par conséquent

équation qui fournit quatre équations de condition entre les douze coefficients de A, B. C.

Dans la discussion de ces équations de condition, je m'en tiendrai, pour fixer les idées, à la considération de la fonction

c'est-à-dire au cas où l'on a

ce qui n'influe pas essentiellement sur la généralité des résultats, et je choisis comme ligne qui doit passer par i, oo, o la ligne des valeurs réelles qui. pour traverser les points c, b, a dans l'ordre indiqué, doit être parcourue de — co à -f- oo.

A l'intérieur du domaine situé du côté positif de cette ligne, et renfermant les valeurs complexes à termes imaginaires positifs, les parties de la fonction P caractérisées précédemment, c'està-dire les grandeurs Pa, Pa , P% P^ , Pr, PY , sont alors des fonctions uniformes de x parfaitement déterminées à des facteurs constants près qui dépendent du choix des grandeurs ca, cx , . . . , Cv>.

Les fonctions Pa, Pa , par l'effet d'un circuit positif décrit par

la grandeur vautour de o, deviennent Paea""', Pa e°"ni\ de même, lors d'un circuit positif de cette grandeur autour de oo, les fonctions P^, P^ deviennent P^e^"1", We^2,u; et lors d'un circuit positif autour de i, les fonctions PY, PY deviennent Pyeï"',

Si l'on désigne par P' la valeur que prend P par l'effet d'un circuit positif décrit par x autour de o, lorsque P = caPx + cx P" . l'on aura

Ces expressions de P et P' ont un déterminant différent de o, puisque par hypothèse a — a' n'est pas un nombre entier et, par suite, inversement, Px, Pa peuvent s'exprimer linéairement en P, P' avec des coefficients constants et, par conséquent aussi, en

P^pP'; PY, pï'.

Si l'on pose maintenant

P* = o^pP + a pP' = aypï + arPY', Pa'=a'pPP-HaJj,pP'=«;pTr + aÇ.pTr',

et si l'on écrit pour abréger

( a3 «3- ) ( *y aY' )

THÉORIE DES PONCTIONS REPRBSENTABLES PAU LA SÉRIE DE GÀUSS. 69

el si l'on désigne aussi les substitutions inverses de (b) et de (c) respectivement par (b)~{ el (c)-1, Ion obtiendra pour les fonctions ^Pa, Pa ) les substitutions suivantes :

, eatia 0 \

( O ea 2"' )

De l'équation (C)(B)( A) = ( °) l'on conclut d'abord, puisque le déterminant d'une substitution composée est <^al au produit des déterminants des substitutions qui la composent,

1 = Dét.(A |Dét.(B Dét.(C) = e<*+«'+P+P'+T+T -'■ Dét.(6)Dét.(6)-»Dét.(c)Dét.(c)-i,

c'est-à-dire, puisque Dét.(7>)Dét.(&)~' = i et Dét.(c)Dét. (c)-1 =i ,

y. — 1' — 3 — 3'— y + y'= nomfire entier :

résultat avec lequel est compatible l'hypothèse faite précédemment que la somme de ces exposants est égale à l'unité. Les trois relations restantes, comprises dans l'égalité

fournissent trois conditions pour (b) et (c), que l'on peut obtenir plus aisément comme il suit :

Quand x décrit un circuit négatif, d'abord autour de o, puis autour de oo3 le chemin ainsi formé revient simplement à un circuit positif décrit autour de i . La valeur que prend de cette manière Px est par conséquent égale à

... c^1 Pï + <(. e*™ P •" = («pe-P2TO'pP -H *o,e-ïirJ pP' )

Si l'on multiplie cette équation par un facteur arbitraire e~G~l et léquation

ayPY-+-arP-'= agPP-Hap,pP'

par e*"™', l'on obtient, après suppression d'un facteur commun,

aysin(<T — 7)ireÏTO'PT-l-ay'Sin(<T — Y')ueY'm'Pr

= a sin(a + a+P)7te-(a+P)TOP? + ap,sin(<T + a + p')-e-la+P',TO'pP'.

D'une manière toute pareille l'on a aussi, en remplaçant partout a par a', l'équation suivante, renfermant la grandeur arbitraire (7,

ct'Y sin<> — y)7reT™ PT -+- ay,sin (j - y')^'™ I' •' '

. a£ Sin((j+ a' h- P)içc-(a'+P,,rf PP+ a3, sin(a+ «' + P')7réT(a'+P'mi' pP'

Si l'on débarrasse les deux équations de l'une des fonctions, par exemple de P' , en déterminant a convenablement, les équations résultantes ne peuvent différer que par facteur général constant,

pP

puisque —g-, n'est pas égal à une constante. Cette élimination de

P^ nous donne, par conséquent,

aY ag sin(a -4- [3 -4- -( )-e-*~': aB' sin(a -+- ^' + Y)7ze~a%i

a' ag bin (,a -+- j -+- ■■' i -(/-* nt' ag. sin (^ a' -+- (S'-f- y'jTre-*'™

et l'élimination toute pareille de PY nous donne

%y apsin(a-4- p -t-y)^-*7"' aP' sin (a -H {3'-+- y)"*?- a'~' a' . ~ ag sin(a'-+- [i-l-yjTte-*''7" ~~ a 3, sin(a'-H (ï'-t- y)ire-a -' '

ce qui constitue les quatre relations cherchées. L'on en tire les

rapports des quotients -|j —- > -7, —-• L'égalité des deux valeurs

11 1 ag ap. aÇ a,. &

a8 a3' de -7- ; -r tirées des deuxième et quatrième relations se recon-

as a3, 1

naît aisément comme conséquence de a-J- a'-f- [3-4- |j'-(-y-{- y' = 1 à l'aide de l'identité sins- = sin (1 — s)~.

a„ «q, a„ a„, Ainsi, les quatre grandeurs ~r, ~r , z^ , zr sont déterminées

par l'une d'elles, par exemple par -d et les trois grandeurs ag. , a,,, a'yi le sont à l'aide des cinq autres ag, a'g, ag-, ay, ay . Mais ces