THÉORIE OIS FONCTIONS REPRBSBNTABLES PAR LA SÉRIE DE GAUSS

cinq grandeurs dépendent, lorsque La fonction P est donnée, des facteurs encore arbitraires contenus dans Pa3 P" . PP, !'■' . P . I' . ou plutôt de leurs rapports, et elles peuvent, par une détermination convenable de ces facteurs, prendre huiles les valeur- finies possibles [ 1 ].

§ IV

La remarque que nous venons de faire ouvre la voie à ce théorème que dans deux fonctions P à exposants égaux les éléments qui appartiennent aux mêmes exposants ne diffèrent que par un tuteur constant.

En effet, -i P, est une fonction aux mêmes exposants que P, on peut donner aux cinq grandeurs y.-,. -.'-,. xy, a- et xjj les mêmes valeurs pour les deux fonctions, et alors les grandeurs y,. x ., x.,. auront aussi les mêmes valeurs pour les deux. On a donc simultanément

i p*,pa l = (6)i i'\ Pp » = (c)(PY, r" I et

(P?,P< I |Pf) = (c)(pTfP-

et, par suite.

(p*p«'P*'p«)=Dét.(6) P?] Dét.(c)l I'"'p;"-P'"l>; ').

De ces trois expressions, la première, multipliée par x~a~ct': reste évidemment uniforme et finie pour x = o ; il en est de même de la deuxième, multipliée par ;rP+P' = x~a~a'~1~Y'+i pour x = x : de même de la troisième, multipliée par (i — x )~ï~"f', pour x = i , et il en est de même pour toutes les trois expressions, pour toutes les valeurs de x autres que 0,00, 1 ; par suite

(P'pf-P^p?)*-»-3^,--*)-^

est une fonction partout continue et uniforme; c'est, par conséquent, une constante. Elle est enfin =0 pour x = x et, par suite, elle doit être partout = o.

L'on en conclut

pa' pa i ^^

pa' — pa '

pP PP' ŒpPP-H^PP1 Pa?

PI = El' = «Ypy + «rpT' = Pf Py pt' arpY-f-ar,pr " pa"

pa

La fonction — i- est donc uniforme; elle doit en outre être par-

tout finie, et, par conséquent, être égale à une constante, ce qui reste à démontrer; la démonstration sera obtenue si l'on fait voir que P et P ne peuvent s'évanouir ensemble pour une valeur de x différente de o, i, ce.

Pour y arriver, l'on remarquera que l'expression

p**! P*f! = Dél. w (P? ˣΠp? ■*£)

dx dx \ àx dx )

= Det-(c)(,Y^-pT-^J

et que, par conséquent, pour x = o, oo, i elle sera respectivement infiniment petite des ordres

mais partout ailleurs restera continue et uniforme, de sorte que

dPa' , dV'x\

est une fonction partout continue et uniforme et, par suite, a une valeur constante. Cette valeur constante de cette fonction est nécessairement différente deo, sinon Ton aurait logP* — logPa =const. et, par suite, oc = a', contrairement à l'hypothèse.

Cette fonction devrait être nulle si, pour une valeur de x différente de o, i , co, les fonctions Pa, Pa s'évanouissaient en même

rfPa dP* temps, car —r—, —j—- comme dérivées de fonctions uniformes et

continues, ne peuvent devenir infinies.

Par conséquent, Paet Pa ne deviennent en même temps égales

UUX'RIE DES PONCTIONS RKPRÉSKNTABLES PAU LA SÉRIE DE GAUSS. Jû

ero pour au lion uniforme

i pour aucune valeur de x différente de o, i, x. et la fonc-

pa pa i • '• | ■ " pï pï' 1 i ^i ' i ' f j i

p* pa' v> pP ~~ PY ~~ PT'

esl partout finie et. par conséquent, constante. c. o. r. n.

Il résulte du théorème que l'on vient de démontrer qu'à l'aide de deux branches d'une fonction L\ dont le quotient n'est pas constant, l'on peut exprimer linéairement avec des coefficients constants toute autre fonction I* aux mêmes exposants, et qu en vertu des propriétés proposées dans le i; I pour définir la fonction, celle-ci est complètement déterminée, à deux constantes prés. qu'elle renferme linéairement. Ces constantes seront trouvées en chaque cas très aisément, à l'aide des valeurs de la fonction pour leur- spéciales de la variable, et la manière la plus commode sera d'égaler la variable à une valeur de ramification.

La question de savoir s'il existe toujours une fonction qui remplit les conditions du i; 1 reste encore, il est vrai, sans réponse; niai- elle -lia résolue plus tard en donnant une représentation effective de la fonction à l'aide d'intégrales définies et de séries hypergéométriques,et ne nécessite donc aucune étude particulière.

Outre les transformations possibles pour toutes les valeurs des exposants indiquées au § II, l'on tire encore aisément de la définition les deux transformations

. O oo , | , X , j

où l'on doit supposer, d'après ce qui précède

et (B)

! o y. i \ Il p p9

où y + y'= i et où p désigne une racine cubique imaginaire de l'unité.

Pour embrasser d'une manière commode toutes les fonctions qui peuvent se ramener les unes aux autres à l'aide de ces transformations, il est bon, au lieu des exposants, d'introduire leurs différences et, comme nous l'avons proposé précédemment, de désigner par

toutes les fonctions comprises sous la forme

endonnantà a — y.' , [3 — (3', y — y' les nomsde première, deuxième, troisième différence d'exposants.

11 résulte alors des formules du § II que, dans la fonction

chacune des grandeurs A, 'j., v peut être remplacée par la même grandeur changée de signe et que ces grandeurs peuvent être échangées d'une manière quelconque entre elles. La variable, par l'effet

de ces opérations, prend l'une des six valeurs x, i — • x, -> i >