a?3)3 [' — ■''ail- Xs

et enfin, d'après 1,

4 xk (1 — x^ = xs = r j 1 ' ■ . 1 ■•' 1 r2 = 7 — ; \ •

4jt6(i — x6) 4^i(i — x{)

P / v, v, -, x,V Pi v, av, v, r,), pQ,v,I,*t), P(l,2v,I,^),

», = i(ar*,^^)=4^(l-*4),

Toutes ces fonctions peuvent être encore transformées à l'aide de la transformation générale; et leurs différences d'exposants peuvent être ainsi échangées entre elles indifféremment et affectées de signes quelconques.

Outre les deux transcendantes II et III, au cas où une différence d'exposants peut demeurer arbitraire, la fonction

seule peut encore admettre une nouvelle répétition des transfor-

lorsque

mations (A) et (B), mais cela conduit à des formules tout élémentaires puisqu'on a l'égalité

x j = const. xv -+- const'.

— vi J

En effet, la transformation (B) n'est applicable qu'à P(v, v, v)

ou P -jv, - j> c'est-à-dire seulement à la transcendante II. Mais

la transformation (A) peut être répétée plus souvent que dans les formules I, et cela seulement lorsque parmi les grandeurs u, v, 2[x, 2v l'une d'elles est prise égale à ^, ou encore si l'on a une des équations ul = v, a=2v, v = 2u. Les hypothèses jjl = 2v, ou v= 2 jj. conduisent à la transcendante II, l'hypothèse [jl = v comme

aussi 2p. = -oii2v=-à la transcendante III, et enfin l'hypothèse

ul = - ou v = - à la fonction P ( v, -* - ) • 1 2 1 \ 1 2/

L'on obtient le nombre des différentes expressions que l'on tire à l'aide de ces transformations pour chacune des transcendantes I— III, en observant que dans les précédentes fonctions P l'on peut admettre comme variables toutes les racines des équations qui les déterminent, et que chaque racine fait partie d'un système de six valeurs qui peuvent être introduites à la place les unes des autres comme variables par le moyen de la transformalion générale.

Mais, dans le cas I, les deux valeurs de x, et xA qui correspondent à un x2 donné conduisent au même système de six valeurs, de sorte que chacune des fonctions I peut être représentée comme fonction P à l'aide de 6.3 = 18 variables différentes.

Dans le cas II, parmi les valeurs des variables correspondant à une valeur de x$ donnée, les deux valeurs de x6 et x.,,, les six valeurs de xA et les six valeurs de xt combinées deux à deux conduisent toujours à un même système de six valeurs, tandis que les trois valeurs de x2 conduisent à trois systèmes différents de six valeurs. Ainsi, x{ et x2 fournissent chacun trois systèmes de six valeurs et^3, x?,, x5, x6 chacun un système de six valeurs, ce qui lait en tout, par suite, 6. 10 = 60 valeurs de variables, et chacune des fonctions II peut s'exprimer à l'aide des fonctions P de ces variables.