UORIE DES FONCTIONS REPRÉSENTABLES PAR LA SÉRIE DE GAUSS

Enfin, dans le cas III. x3, les deux valeurs de .r2, les deux valeurs de .!'; et les quatre valeurs de X\ combinées deux à deux fournissent chacune un système de six valeurs, de sorte qu'alors chacune des fonctions III est représentable par des fonctions P correspondant à 6 . 5 — 3o différentes variables.

Maintenant, dans chaque fonction P, l'on peut sans modifier la \ ariable faire prendre des signes quelconques aux différences d'exposants à l'aide de la transformation générale; l'on peut donc, puisqu'aucune de ces différences d'exposants n'est égale à zéro, représenter une seule et même fonction comme fonction P de la même variable de huit manières distinctes. Comme nombre total de ces expressions nous avons donc ainsi :

Cas 1 : S.(i. ! =i44; Cas II : 8.6.10 = 480; Cas III : 8.6.5 = 240.

Quand on fait varier de nombres entiers tous les exposants d'une fonction P, les grandeurs

si n (a + P'-f-Y')TCe-°""'

sin(a'-7- 3'+ *(')-e-a'~''

sin(a -+- |3'-4- Y)-e-a~' -in 1 a'— 3 — -; ) TCe-a'it' ' sin(a — 3'— •; ) rze-'J-'T-'

dans les équations (3) du § III restent inaltérées. Si, dans les fonctions

les exposants correspondants a, et a, . . . diffèrent de nombres entiers, l'on peut donc prendre les huit grandeurs (ap),, (a^),, (a«)i, ... égales aux huit grandeurs ap, aô. xp-, . .. puisque, de l'égalité pour cinq qui peuvent être prises arbitrairement, résulte l'égalité pour les trois restantes.

D'après le raisonnement dont on a fait usage dans le § IV, l'on en conclut

P2pf:-Pa'p^=Dél.(6)(P?pf'-P^'Pi1) = Dét.(c)(P''PJ:-PrI,iVl.

s ni 1 7. —

sin (oc'-f-

-OL Kl

sin ( y. -r-

■XT.I

et, si parmi les grandeurs a + a\ et a, -j- a', [j -+- ,3', et fi, -f- [3',

y 4- y', et Yi + y'j l'on désigne les grandeurs de chaque paire qui

sont inférieures d'un nombre entier positif aux autres para, [j, y,

l'on aura, en

(Papfi— Pa'PÏ')fl7-â(i .r)-Y,

une fonction de #, qui reste uniforme et finie pour x = o, x = 1 , et toutes les autres valeurs finies de .r, mais qui pour x = x devient infinie d'ordre — -a — y — (3, et par suite est une fonction entière F de degré — a — [j — y.

Désignons maintenant comme précédemment les différences d'exposants a — a', ^ — ^', y — y' par À, ;j., v ; relativement à celles-ci nous remarquerons d'abord que leur somme varie d'un nombre pair lorsque tous les exposants varient de nombres entiers. En effet, elle surpasse la somme de tous les exposants, somme inaltérée qui reste = 1 , de

grandeur qui varie ainsi d'un nombre pair. Mais les différences d'exposants peuvent varier de nombres entiers quelconques dont la somme est paire.

Désignons ensuite a, — y.\ , jj, — [i\ , y, — y', par À, , y., , v, et par Aa. Aa, Av les valeurs absolues des différences ), — A|> <j. — u . v — v,. Alors celle des grandeurs a -+- a', et a'+ at qui est inférieure à l'autre du nombre positif AÀ est égale à

a -+- a',-f- a' — a, AÀ 2 2

et, par conséquent,

et de même