AX

- Av

ïl

Le degré de la fonction entière F, qui est égal à la somme de égal à

AX -l- Aa + Av

ces grandeurs, est donc égal à

ÎHÉURIE DES FONCTIONS RKPRÉSENTABLES PAR LA SÉRIE DF. GADSS. 7')

§ VII

S l'on désigne maintenant par

- fonctions où les exposants correspondants diffèrent de nomintiers, l'on conclut de ce qui précède, au moyen de l'équation identique

P^PÏ'P** — PJ Tr <-I'î P*»P*'— P?!Pa)-i-P^(PaPf' — P*'P°

cet important théorème d'après lequel a lieu, entre leurs termes correspondants, une équation linéaire homogène dont les coefficients -"iit des fonctions entières de X ri d'après lequel, par îéquent :

Toutes les /onctions V dont les exposants correspondants diffèrent entre eux de nombres entiers, peuvent s'exprimer linéairement à l'aide de deux quelconques d'entre elles avec des /onctions rationnelles de x comme coefficients.

Lue conséquence particulière des principes de démonstration de ce théorème, c'est que la dérivée seconde d'une fonction P peut être exprimée linéairement à l'aide de la dérivée première et de la fonction elle-même avec des fonctions rationnelles pour coefficients; et, par suite, la fonction satisfait à une équation différentielle linéaire homogène du second ordre.

Tenons-nous-en, pour simplifier le calcul autant que possible, au cas v= o, auquel on peut aisément ramener le cas général à l'aide du §11; posons P=y, V* = r' . \?(t'=y"\ l'on reconnaît alors que les trois fonctions

, cl v „ dv'

d loga? d log '■

t/lo c/l<

d/ d\y- dv" d*y

diosx dlosx2 dlosx rflog

8o PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMAXX.

multipliées par x s a'(i — x)~Y'+'2 restent finies et uniformes pour les valeurs finies de x, et deviennent infinies du premier ordre pour x = oo, et qu'en outre le premier de ces produits devient infiniment petit du premier ordre pour x = i . Pour

y = const'. y -h const".j» "

a donc lieu une équation de la forme

(i — g) fr , — (A + Ba?) -~— +(A'-B'a?)v = o,

d log.T2 d lo-.r J

où A, B, A', B' désignent des coefficients qui restent encore à déterminer.

Par la méthode des coefficients indéterminés, l'on peut développer une solution de cette équation différentielle en une série

procédant suivant des puissances ascendantes ou descendantes successives; l'exposant ut. du premier ternie dans le premier cas, cas où cet exposant est le plus petit, est déterminé alors par l'équation

jj.2 — A |jl -+- A' = o ,

dans le second cas, où cet exposant est le plus élevé, par l'équation

u.2 — B ;jt -i- B' = o.

Les racines de la première équation doivent représenter a et a', celles de la seconde — (3 et — (3' et, par suite,

B = p + p', B'=pp',

/ a S o \ et la fonction P ( , , x) = y satisfait à l'équation différen-

tielle

(i-x) .?r — [tt-j-a'+(B + p>] -3^— ■+-(«*' — ffîx)y = o.

' dlogx- L ' ' J d\o%x

Enfin les coefficients peuvent être déterminés au moyen de l'un

THÉORIE DBS FONCTIONS REPRÉSENTABLES PAU LA SÉRIE DE GAUSS- Si

quelconqu&Tentre eux à l'aide de la formule de récurrence

à laquelle satisfait

const.

D(/i — a)D(/i — <OlI(— a — p)D.(— /i — p')0* Ainsi la ->'rie

y.r" ^^ Il(/i — a; a (/i — a ) U ( — n — p ) 11 ^ — n —

lorsque les exposants successifs commençant par aou a' augmentent chaque fois Je un. de même que lorsque ceux commençant par ii — y diminuent successivement de un, représente une solution de L'équation différentielle : à savoir respectivement les quatre solutions particulières désignées précédemment par Pa, Pa P\ P' .

D'après Gauss, qui désigne par

une s ;rie où le quotient du (n + 2)ième terme par le (n + j)ième est

e^ral a -x. et ou le premier terme est égal a 1, ce

( // IMH-CJ L O

résultat dans le cas le plus simple, où a = o, peut s'exprimer comme il suit :

Pa r x \ =const. F(8, S', i— *',x)

ou encore

F(a, b, c, x) — Pa

On tire encore aisément de notre résultai une expression de la fonction P au moven d'une intégrale définie, en introduisant dans le terme général de la série, au lieu des fonctions II, une intégrale eulérienne de seconde espèce et en intervertissant alors l'ordre de

(>) A l'exemple de Gauss, Riemaun désigne par U(x — i) la fonction que l'on désigne plus souvent aujourd'hui par T(x). — (L. L.)

sommation et d'intégration. L'on trouve de cette manière que l'intégrale

Xtt{i — x)l rs-a'-P'-Y' ( i — s)-a'-P-Y (i — #s)-a-p'-Y ds,

prise depuis chacune des quatre valeurs o, i, -, x jusqu'à l'une des trois autres valeurs le long d'un chemin quelconque, représente une

fonction P ] ce £ et que, par l'effet d'un choix convenable

de ces limites et du chemin qui les joint l'une à l'autre, elle représente chacune des six fonctions Pa, P' , . .., P1 [2]. Mais l'on peut aussi montrer directement que cette intégrale possède les propriétés caractéristiques d'une telle fonction ; c'est ce que l'on verra dans la sui te, où cette expression de la fonction P par une intégrale définie sera utilisée pour la détermination des facteurs qui restent encore arbitraires dans les Pa, P , .... Je ferai ici observer seulement que, pour rendre cette expression applicable dans chaque cas, il est nécessaire que le chemin d'intégration soit modifié lorsque la fonction sous le signe d'intégration devient, pour l'une

des valeurs o, i , - , co, infinie de telle sorte qu'elle ne soit pas susceptible d'intégration jusqu'à cette valeur [3].

§ VIII

D'après les deux équations, obtenues dans le § II et dans le

§ vu,

fa' 3' Y ) ( a'-a 3 + a + Y Y — Y )

= const.#a(i — a?)YF(3 — a + Y, $'-+-a-i-y,a — a'-hi, x),

de chaque expression d'une fonction à l'aide d'une fonction P, l'on conclut un développement de cette fonction en série hypergéométrique procédant suivant les puissances ascendantes de la variable que renferme la fonction P.

D'après le § V, il y a huit représentations d'une fonction par des fonctions P de la même variable, que l'on déduit les unes des

rBÉORIB DBS FONCTIONS RBPRÉSENTABLES l'Ai; I.A SÉRIE DE GAUSS. 83

autres pâi échange des exposants correspondants, et Ton a ainsi, par exemple; huit représentations avec la variable x. M, ils. parmi

- dernières, chaque couple qui se présente lors de l'échange mutuel du second couple ^ et V. fournil le même développement; «m oblienl donc quatre développements suivant les puissances ascendantes de x, dont deux, qui résultent l'un de l'autre par l'échange de y el -;'. représentent la fonction P\ les deux autres la fonction I' .

1 - quatre développements son! converg mts tant que le module de x est -< i et sonl divergents lorsqu'il e>t > i : tandis que les quatre développements procédant suivant les puissances descendantes «If ./-, et qui représentent VJ el V . convergent dans le

- n\ erse du précédent.

Dans le cas où le module de .r = i . Ton conclut, d'après la série de Fourier, que les séries i essenl d'être convergentes lorsque la l'onction pour .r = i devient infinie d'un ordre supérieur au premier, mais restent convergentes lorsque la fonction, poura;= i , devient infinie d'ordre inférieur à i , ou bien demeure finie [41. Par conséquent, en ce cas aussi, des huit développements suivant les puissances de x. une moitié seulement converge lorsque la partie réelle de y' y n'est pas comprise entre — i et +i, et ils convergenl tous lorsque celle partie réelle est, au contraire, comprise entre ces limites.

Ainsi, l'on a en général, pour la représentation d'une fonction P, vingt-quatre séries hypergéométriques différentes procédant suivant les puissances ascendantes ou descendantes de trois grandeurs distinctes, et, parmi ces développements pour une grandeur donnée de x, la moitié, c'est-à-dire douze, sont en chaque cas convergents.

Dans le cas /(§ V), dans le cas //et dans le cas III tous ces nombres doivent être respectivement multipliés par 3, par io et par 5. Pour le calcul numérique, le choix le plus convenable sera le plus souvent celui de la série dont le quatrième élément a le plus petit module.

Pour ce qui est relatif aux expressionsd'une fonction Pau moyen d'intégrales définies, que Ton tire des intégrales à la fin du paragraphe précédent à l'aide des transformations du § V, ces expressions sont toutes différentes. L'on obtient donc dans le cas se-

néral 48, dans le cas I \l\\. clans le cas II 480 et dans le cas 111 240 intégrales définies qui représentent le même terme d'une fonction P et, par conséquent, ont entre elles un rapport indépendant de x.

Parmi ces intégrales, 24 paires, déduites l'une de l'autre par un nombre pair d'échanges d'exposants entre eux, sont aussi transformables entre elles par une substitution linéaire telle que pour trois quelconques des quatre valeurs o, 1, go, - de la variable d'intégration s, la nouvelle variable prenne les valeurs o, i , go.

Les équations restantes, autant que j'ai poursuivi cette recherche, nécessitent, pour être établies par les méthodes du Calcul intégral, la transformation d'intégrales multiples.

NOTES

[lJ(p-7')- Dans une Note de l'écriture de Riemann datée de juillet i856, l'on trouve les formules suivantes, que l'on tire de (3) en attribuant aux cinq constantes arbitraires des valeurs convenablement choisies :

sin(a-f- p'-H y')1" sin (et -4- p -4- -()tz

"P shHp'-fi)*: ' a'3'= sin(P'-P)7i '

, sin(a'-4- P'-f- y)11 - sin(a'+ p -+- y')^

^ " Sin(p'-P)ir ' *3' ~ sin ( P'- p )~

= sinfa + P'+Y')^ c(a,+Y,B, sin(» + p + Y)^ e^+r)%i

'Y si 11 (y' — Y)71 ' sin(Y' — '{)n

B. = sin(a'-4-P + Y> e(a+y)ro- a, , = Sin(a'-t-p'+Y)- ^«^irt.

Y sin(Y'— YJ71 ^ sin (y'— y)w

[2] (p. 82). Si l'on pose, pour abréger,

S = s-a'-P'-Y' (1 — s)-*'-!Hr (1 — a?s)-a-P'-Y,

l'on obtient, à des facteurs constants près,

p* = a?«(i — #)Y /" S<fc, PS = ^*(i — .r)Y /" Sr/s, PY = ^(i — jp)y f S ds, Pa' = a;«(i — xyt f Sds, pP' = a?«(i — a?)Y f S <&, FY = x*(j — x)Y f Sds.

THÉORIE DES FONCTIONS RErRÉSENTARLES PAR LA SÉRIE T)K GAUSS. 85

Dans chUbne de ces intégrales, la signification de la fonction multiforme S peut être fixée d'une manière quelconque. Si on la prolonge alors d'une manière déterminée, l'on obtient, pour la détermination des facteurs constants,

n , - a- p'— -;' i n(— oc'— p — y)

(pM).

nf-ar'-p'-v')n(-a-p>-Y)

e-my'

nf- a — p'— Y)n(— a'-B — y)

;j*(aM p

em' a'-^f5+y).

Ces formules ont aussi été' trouvées en divers endroits dans les papiers de Riemann.

L'on peut aussi déterminer les constantes ao, ... île la manière suivante :

Considérons la fonction S dans le quadrilatère, indiqué dans la fig. a,

dont les sommets ont pour affix.es les points o, oo, i. ~\ les branches Pa, Pa', pP, P,j . P". P; peuvent être définies par les intégrations prises ainsi

Fii

que l'indiquent les flèches dans la fig. i. L'on conclut alors évidemment de cette figure les relations

P« = P? - P'-'' = - P?'— PT, Pa' = —P? Pï = pP' PY',

qui, prises avec les formules (3) du § III, suffisent à la détermination des coefficients a^, a^-, tt'a, z'q-, 'J- -, «y', '-/•'. «y»-

[3] (p. 82). Un chemin d'intégration, qui peut être employé dans tous les cas, est indiqué par Pochhammer ( Matli. Annalen, t. XXXV). Ce chemin forme un double circuit autour de deux points de ramification, comme l'indique \a/ig. 3.

Si l'on peut intégrer jusqu'aux points a et 6, ce chemin peut être rétréci de manière à être figuré par quatre lignes joignant a et b. Si l'on

désigne par P l'intégrale prise le long d'une de ces lignes, l'intégrale étendue au double circuit est égale à

([ — e2aTO')(' — e 2PTO") P.

Félix Klein a donné une présentation encore plus élégante de ces expressions des fonctions P en introduisant des variables homogènes {Math. Annalen, t. XXXVIII).

[A] (p. 83). D'après le complément à sa démonstration de la convergence de la série de Fourier, donné par Dirichlet dans le Supplément au Mémoire Sur les Fonctions sphériques (Journ. de Crelle, t. 4; Repertorium de Dove, 1. 1 ; Journ. de Crelle, t. 17 ; Œuvres de Dirichlet, p. 1 17, 1 33, 3o5), une fonction périodique d'un argument réel qui devient en un point infinie d'ordre inférieur au premier peut être développée en une série de Fourier. Si l'on applique ce théorème aux valeurs qu'une fonction P, développable en série hypergéométrique, admet sur le cercle de rayon unité qui a l'origine pour centre, l'on obtient une série qui ne peut être différente de celle que l'on a lorsque l'on prend dans la série hypergéométrique le module (la valeur absolue) de x égal à 1.