THEORIE DES FONCTIONS REPRÉSENTABLES PAR LA SÉRIE DE GAUSS

ANNONCE DU PRÉCÉDENT MÉMOIRE PUBLIÉE PAR L'AUTEUR LUI-MÊME dans les Gôttinger Nachrichten, n" 1; 1857.

Œuvres de Riemann, .•" édition, page 84.

Le 6 oovembre i856 a été présenté à la Société Royale, par ['un de ses membres, le 1>1 Riemann, un essai mathématique renfermant une Contribution à la théorie des fonctions représentables par la série de Gauss V x, [3, y3 oc).

Ce Mémoire traite d'une classe de fonctions dont, il est fait pour résoudre îles problèmes divers de Physique mathématique.

Les séries que l'on forme à l'aide de ces fonctions remplissent dans des problèmes plus difficiles le même bul que, dans des cas plus simples, les séries employées aujourd'hui si fréquemment, qui procèdent suivant les cosinus et sinus des multiples d'une grandeur variable.

Ces applications, et notamment les applications astronomiques, après qu'Euler déjà se fut souvent occupé de ces fonctions au point de vue de l'intérêt théorique, paraissent avoir conduit Gauss à entreprendre ses recherches, dont il publia une partie dans le Mémoire sur la série qu'il désigne par F(a, (3, y, #), présenté par lui à la Société Royale, en 1812.

Cette série est une série où le quotient du (/? -+- 2)'""e terme par le précédent donne

(ft+I)(B + Tf) '

et où le premier terme est égal à 1 . La désignation qu'on lui donne aujourd'hui, de série hyper géométrique, a été déjà proposée antérieurement par Johann Friedrich Pfaff pour ces séries plus générales, où le quotient d'un terme par le précédent donne une fonction rationnelle de l'indice; tandis qu'Euler d'après Wallis désigna ainsi une série où ce quotient est une fonction entière du premier degré de l'indice.

La partie non publiée des recherches de Gauss sur cette série, que l'on a trouvée dans ses manuscrits posthumes, a été complétée déjà en attendant par les travaux de Kummer, qui ont paru dans le tome 15 du Journal de Crelle, en 1 835. Il y est question des expressions de cette série par des séries analogues, où l'élément x est remplacé par une fonction algébrique de cette grandeur.

Un cas particulier de ces transformations avait été déjà trouvé par Euler et traité par lui dans son Calcul intégral et dans plusieurs Mémoires (sous sa forme la plus simple, dans les Nova Acta Acad. Petropol., t. XII, p. 58), et la relation en question est plus tard démontrée de différentes manières par Pfaff (Disquis. arialyt. Helmstadii, 1797), par Gudermann (/. de Crelle, t. 7, p. 3o6), ainsi que par Jacobi.

Kummer, en partant de la méthode d'Euler, réussit à trouver un procédé à l'aide duquel toutes les transformations peuvent être obtenues; mais l'application effective de ce procédé exige de si pénibles discussions, qu'il recula devant l'exposition des détails relatifs aux transformations du troisième degré et se contenta d'exposer d'une manière complète celles du premier et du second et celles qui en sont composées.

Dans le Mémoire annoncé, l'auteur traite ces transcendantes d'après une méthode dont il a exposé les principes dans sa Dissertation inaugurale (§ XX), et par laquelle on arrive presque sans calcul à tous les résultats obtenus antérieurement. Aussi l'auteur espère-t-il pouvoir bientôt présenter, à la Société Royale, quelques nouveaux résultats obtenus à l'aide de cette méthode.