AYANT-PROPOS. PRÉLIMINAIRES

I. — Hypothèses générales et méthodes pour l'étude des fonctions de grandeurs à variabilité illimitée.

Le dessein de présenter aux lecteurs du Journal de Mathématiques mes recherches sur diverses transcendantes et en particulier aussi sur les fonctions abéliennes, m'inspire le désir, afin d'éviter les répétitions, de réunir au commencement, dans une exposition préliminaire, les principes généraux qui seront le point de départ de mon traitement du sujet.

Pour la grandeur variable indépendante je prendrai, comme point de départ, la représentation géométrique de Gauss, aujourd'hui bien connue, d'après laquelle une grandeur complexe z = x -\- iy est regardée comme un point d'un plan indéfini dont les coordonnées rectangulaires sont x et y.

Je désignerai les grandeurs complexes et les points qui les représentent par les mêmes lettres. Je considérerai comme fonc-' tion de x -h yi toute grandeur w qui varie avec cette quantité en satisfaisant toujours à l'équation

. dw dw

Ox ûy

sans faire l'hypothèse d'une expression de w en x ely. Comme conséquence de cette équation différentielle, en vertu d'un théorème connu, la grandeur w est représentable par une série procédant suivant les puissances entières de ; — r/, de la forme

pourvu que dans le voisinage de a elle admette partout une valeur déterminée variant d'une manière continue avec z; et cette possibilité de représentation a lieu jusqu'à une distance de a, c'està-dire une valeur de mod. (z' — a), où il se présente une discontinuité.

A l'aide de considérations, qui reposent sur les principes de la méthode des coefficients indéterminés, on reconnaît que les coefficients an sont complètement déterminés lorsque «> est donné le long d'une ligne finie partant de a, quelque petite d'ailleurs qu'elle soit.

En réunissant ces deux propositions, l'on s'assurera aisément de l'exactitude de ce théorème :

Une fonction de x -\- y i, qui est donnée en une portion du plan des (x, y), ne peut être prolongée au delà d'une manière continue que dune seule façon.

Maintenant, concevons que la fonction à traiter ne soit pas déterminée par des expressions ou équations analytiques quelconques contenant 2, mais plutôt par ce fait que la valeur de la fonction est donnée en une portion du plan des z à contour d'encadrement quelconque et qu'elle est prolongée au delà d'une manière continue, en vertu de l'équation différentielle partielle

. dw dw dx dy

Ce prolongement, en vertu des propositions précédentes, est complètement déterminé, si l'on suppose qu'il est pratiqué, non le long de pures lignes, car alors l'on ne pourrait faire l'application d'une équation différentielle, mais sur des bandes de surface de largeur finie. Maintenant, d'après la nature de la fonction à prolonger, elle reprendra, ou non, toujours la même valeur pour une

rHÉORIE DBS PONCTIONS ABÊLIENNES. 91

même valeur de :■. quel que soit le chemin suivant lequel le prolongement a lieu.

Dans le premier cas, je la nommerai uni/orme; c'çsl alors pour toute valeur de z une fonction parfaitement déterminée et elle ne devient jamais discontinue le long d'une ligne. Dans le second s, où l'on dira qu'elle est multiforme, on doit avant tout, pour saisir la marche de cette fonction, porter son attention sur certains points du plan des s, autour desquels la fonction se prolonge en une autre. Lu tel point, par exemple, est le point a pour la fonction log( z

Concevons une ligne quelconque menée de ce point a] on peut, dans le voisinage de //< choisir la valeur de la fonction, de telle sorte que la fonction varie partout d'une manière continue sauf eu cette ligne; mais, sur les deux bords de cette ligne, elle prend des valeurs différentes, la valeur sur le bord négatif surpassant de 2 ici celle qu'elle prend sur le bord positif (*).

Le prolongement de la fonction au delà de l'un des bords de cette ligne, par exemple le bord négatif, dans la région située de l'autre côté, fournit alors évidemment une fonction différente de celle qui se présentait auparavant et qui, dans le cas envisagé ici, surpassera partout cette dernière de ir.i .

Pour simplifier les désignations de ces relations, on nommera les divers prolongements d'une fonction pour une même portion du plan des z les branches de cette fonction, et un point autour duquel une branche de la fonction se prolonge en une autre un point de ramification de la fonction. Partout où il ne se trouve aucune ramification, la fonction est dite monodrome ou uniforme.

Une branche d'une fonction de plusieurs grandeurs variables indépendantes z, s, t, ... est uniforme dans le voisinage d'un sjstème déterminé de valeurs z = a, s = b, l = c, . . . , lorsqu'à toutes les combinaisons de valeurs jusqu'à une distance finie de celui-ci (c'est-à-dire lorsqu'à une grandeur finie déterminée des modules de z — «, s — b, t — c, . . .), correspond une valeur dé-

(') Suivant les désignations de Gauss, qui nomme + i unité positive latérale. je nomme bord positif d'une ligne donnée celui qui est situé par rapport à la direction de la ligne comme + i l'est par rapport à 1. — (Riemanx.)

terminée de cette branche de la fonction, variant d'une manière continue avec les grandeurs variables.

Un lieu de ramification, ou un lieu autour duquel une branche se prolonge en une autre, sera formé pour une fonction de plusieurs variables par toutes les valeurs des grandeurs variables indépendantes, satisfaisant à une équation entre ces variables.

D'après un théorème connu, dont on a parlé précédemment, la propriété d'être uniforme revient pour une fonction à la possibilité d'être développée suivant les puissances entières positives ou négatives des accroissements des grandeurs variables, et la ramification de la fonction revient à la non-possibilité d'un tel développement. Mais il ne semble pas utile d'exprimer les propriétés, qui sont indépendantes du mode de représentation, à l'aide de ces caractères, qui reposent sur une forme déterminée explicite de l'expression de la fonction.

Dans quelques recherches, notamment dans l'étude des fonctions algébriques et abéliennes, il sera utile de représenter le mode de ramification d'une fonction multiforme de la façon géométrique suivante :

Concevons une surface étendue sur le plan des (#, y) et coïncidant avec lui (ou si l'on veut un corps infiniment mince étendu sur ce plan), qui s'étend autant et seulement autant que la fonction y est donnée. Lorsque la fonction sera prolongée, cette surface sera donc également étendue davantage. En une région du plan où se présentent deux ou plusieurs prolongements de la fonction, la surface sera double ou multiple. Elle se composera alors de deux ou de plusieurs feuillets dont chacun correspond à une branche de la fonction. Autour d'un point de ramification de la fonction, un feuillet de la surface se prolongera en un autre feuillet, et de telle sorte que, dans le voisinage de ce point, la surface pourra être regardée comme un hélicoïde dont l'axe est perpendiculaire au plan des (x,y) en ce point et dont le pas de vis est infiniment petit. Mais lorsque la fonction, après que z a décrit plusieurs tours autour de la valeur de ramification, reprend sa valeur initiale [comme,

par exemple, (z — a)" , /??, n étant premiers entre eux, après n tours décrits par z autour de «], on devra alors supposer que le

THÉORIE DBS FONCTIONS àBÊLIENNES. 93

feuillet supérieur de la surface se raccorde avec le feuillet inférieur en passant à travers le reste des feuillets.

La fonction multiforme admet en chaque point d'une surface, (jui en représente ainsi le mode de ramification, une seule valeur déterminée, et peut donc cire regardée comme une fonction parfaitement déterminée du lieu (d'un point) sur cette surface.

II. — Théorèmes de l'« Analysis situs » relatifs à la théorie des intégrales de différentielles totales à deux termes.

Dans l'étude îles fonctions qui proviennent tic l'intégration de différentielles totales, quelques théorèmes appartenant à VAna-

lysis situs sont presque indispensables. Sous celle désignation employée par Leibnitz, quoiqu'en un sens peut-être un peu différent, on peut ranger une partie de l'étude des grandeurs continues où l'on ne considère pas les grandeurs comme existant indépendamment de leur position el comme mesurables les unes parles autres, mais où l'on étudie seulement les rapports de situation des lieux el des régions, en faisant complètement abstraction de tout rapport métrique.

Comme j'ai l'intention, dans une autre occasion, de traiter ce sujet qui fait complètement abstraction des relations métriques, je me contenterai d'exposer sous forme géométrique quelques théorèmes nécessaires pour L'intégration des différentielles totales à deux termes.

Soit T une surface donnée, recouvrant une ou plusieurs fois le plan des (x,y) ('), et soient X, Y des fonctions continues du lieu sur cette surface, telles que Xc/x + Y dy soit partout une différentielle totale, c'est-à-dire telles que l'on ait partout

On sait alors que

oX dY

Oy Or

(Xdx + Ydy),

l'intégrale étant prise autour d'une partie de la surface T dans le (') Voir page 92.

sens positif ou négatif, — c'est-à-dire prise autour de tout le contour d'encadrement, soit toujours dans la direction positive, soit toujours dans la direction négative, par rapport, à la normale extérieure (comparer la note au bas de la page 91 , § I), — est nulle, puisque dans le premier cas cette intégrale est identique à l'intégrale de surface

/ \ dx

dx ~ dj) dl

relative à cette partie de surface et, dans le second cas, est égale à l'expression ci-dessus changée de signe. Par conséquent, l'intégrale

(Xdx-h Vdy),

prise entre deux points fixes, le long de deux chemins différents, a la même valeur lorsque ces deux chemins réunis forment l'encadrement complet d'une partie de la surface T. Par suite, lorsque, à l'intérieur de T, toute courbe qui se ferme en revenant sur ellemême forme le contour d'encadrement complet d'une partie de T, l'intégrale, prise à partir d'un point fixe initial jusqu'à un même point final, conserve toujours la même valeur et est une fonction de la position du point final continue partout sur T et indépendante du chemin d'intégration.

Ceci donne lieu à une distinction des surfaces en simplemenl connexes, où chaque courbe fermée encadre complètement une partie de la surface (comme, par exemple, un cercle), et en surfaces multiplement connexes où ce fait n'a pas lieu (comme, par exemple, la couronne annulaire dont le contour est formé par deux circonférences concentriques). Une surface multiplement connexe peut être transformée, par l'effet de coupures, en une surface simplement connexe. (Voiries exemples et les figures à la fin de ce paragraphe.)

Comme cette opération rend les plus importants services dans l'étude des intégrales de fonctions algébriques, nous présenterons ici rapidement les propositions qui y ont trait; elles sont valables pour des surfaces situées d'une façon quelconque dans l'espace.

Lorsque sur une surface F deux systèmes de courbes a et b

rHÉORIE DI"S FONCTIONS ABÉLIENNES. 0,5

réuni? formait le contour d'encadrement complet d'une partie de cette surface, tout autre sjstème de courbes qui, réuni avec a, forme le contour d'encadrement complet d'une partie de F, forme aussi, lorsqu'il est réuni avec A, le contour d'encadrement d'une

partie de surface, qui se compose alors des deux premières parties de surfaces situées le long de a (et cela par addition ou par soustraction, selon que ces deux parties ne sont pas situées du même côté de a ou bien le sont).

Les deux systèmes de courbes jouent donc le même rôle relativement à l'encadrement complet d'une partie de F, et peuvent donc se remplacer l'un l'autre dans ce but [!].

Quand sur une surface F Von peut mener n courbes fermées '/(. </■ an qui, soit qu'on les considère séparément,

soit qu'on les considère réunies, ne forment pas un contour d'encadrement complet d'une partie de cette surface, mais qui, jointes à toute autre courbe fermée, forment alors le contour d'encadrement complet 'Tune partie de la surface, la surface sera dite (n + i) fois connexe.

Ce caractère de la surface est indépendant du choix du sjstème de courbes at, a», ....a„, puisque n autres courbes fermées /;,, />, hn, qui ne suffisent pas pour former le contour d'encadrement complet d'une partie de la surface, encadreront aussi totalement, si on les réunit avec toute autre courbe fermée, une partie de F.

En effet, puisque b{. réunie avec les lignes «, encadre complètement une partie de F, une de ces courbes a peut être remplacée par A, et les courbes a restantes. Par conséquent, la réunion de bK et de ces n — r courbes a avec toute autre courbe, par exemple b2, suffira pour former l'encadrement complet d'une partie de F, et une de ces n — i courbes a peut être remplacée par 6,, b2 et les n — 2 courbes a restantes. Lorsque, ainsi qu'il est supposé ici, les courbes b ne suffisent pas pour former le contour d'encadrement complet d'une partie de la surface F, ce procédé peut évidemment être continué jusqu'à ce que toutes les courbes a soient remplacées par les b.

Une suif ace F, (n + i) fois connexe, peut, par l'effet d'une

g6 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR R1EMANN.

section transverse ( ' ), c'est-à-dire d'une coupure partant d'un point du contour d'encadrement, traversant L'intérieur de la surface et aboutissant en un point du contour ci' encadrement , être transformée en une surfaceF', n fois connexe. Les parties du contour d'encadrement, à mesure qu'elles prennent naissance par l'effet de la section, jouent le rôle de contour pendant toute la continuation de cette opération, en sorte qu'une section transverse ne peut traverser aucun point de la surface plusieurs fois, mais peut prendre fin en un point de son propre cours antérieur.

Puisque les lignes «,, a,, . . ., an ne suffisent pas pour former l'encadrement complet d'une partie de F, il faut alors, lorsqu'on se figure F sectionnée par ces lignes, qu'aussi bien la portion de surface située le long du bord droit que la portion de surface située le long du bord gauche de an renferme encore une partie de conlour d'encadrement distincte des lignes a et, par conséquent, faisant partie du contour de F. On peut donc, à partir d'un point de an, aussi bien à travers l'une de ces portions de surface qu'à travers l'autre, pratiquer une section ne traversant aucune des courbes a et aboutissant à l'encadrement de F. Ces deux lignes q et q" forment alors, par leur réunion, une section transverse q de la surface F, section qui remplit le but cherché.

En effet, considérons F', surface en laquelle se décompose F par l'effet de cette section transverse; les lignes a,, a2, . . ., «„, ont leur parcours à l'intérieur de F' et sont des courbes fermées qui ne suffisent pas à former l'encadrement d'une partie de F et, par suite, non plus de F'. Mais toute autre courbe fermée /, avant son parcours à l'intérieur de F', forme alors avec ces lignes l'encadrement complet d'une partie de F'. En effet, la ligne l, jointe à un système des lignes at, a2, ..., an, forme l'encadrement complet d'une partie /de F. Or, on peut démontrer que, dans ce der-

(>) « Ouerschnitt.» Nous traduirons exclusivement ce mot allemand par section transverse, « taglio trasversale » (Casorati), « cross-cut » (Forsyth), comme le fait du reste M. Benoist dans la traduction des Leçons de Clebsch-Lindemann sur la Géométrie ( Paris, Gauthier-Villars; i879-i883); on marque bien ainsi l'opposition a la rétrosection « Riickkelirschnitt » (Picard, Appell et Goursat). Ce dernier mot du reste n'est pas employé par Riemann. Comparer la Dissertation inaugurale, § VI. - (L. L.)

Dier encadraient, a„ ne peut se présenter; en effet, s'il en était ainsi, selon que/" serait située sur le côté gauche ou sur Le côté droil de an, q ou bien </" traverserait /'pour aboutir en un point du contour de F, c'est-à-dire en un point qui n'appartienl pas kfetj par suite, couperait le contour dey, ce qui serait contraire à l'hypothèse faite que / aussi bien que les lignes >/, exception laite du point où an et </ se coupent, sont toujours situées à l'intérieur de \-

1. 1 surface F', résultant de la décomposition de F par la section transi ei se y. est doue, ainsi qu'on l'avait affirmé, nue surface n fois connei

Il s'agit maintenant de démontrer que la surface F, par l'effet de toute section Iransverse />. qui ne la décompose pas en portions séparées, estdécomposée en une surface F', n fois connexe. Lorsque les parti.- de surface, situé* s de part et d'autre de la section transverse p, sont connexes, c'est-à-dire ne sont pas séparées, on peut mener à travers I' une ligne 6, partant d'un bord de la section transverse pour aboutir au même point sur le bord opposé.

Celte ligne b forme donc à l'intérieur de F une courbe fermée revenant sur elle-même et qui, puisque la section transverse conduit de part et d'autre de cette ligne à un point de l'encadrement, ne peut former le contour d'encadrement total d'aucune des deux portions de surface en lesquelles elle partage F. On peut donc remplacer une des courbes a par la courbe b, et chacune des n — i courbes a restantes par une courbe dont le cours est à l'intérieur de F' et encore, si cela est nécessaire, par la courbe h\ ce qui permet de démontrer, en se servant des méthodes de raisonnement employées auparavant, que F' est n fois connexe.

Une surface (n -\- i) fois connexe est décomposée, par conséquent, en une surf ire n fois connexe par toute section transverse qui ne la morcelle pas.

La surface qui prend naissance par l'effet d'une section transverse peut être encore décomposée à nouveau par une autre section transverse, et la répétition de cette opération n fois de suite transformera, au moyen de n sections transverses pratiquées successivement sans morcellement, une surface (n-\-i) fois connexe en une surface simplement connexe.

Pour rendre ces considérations applicables à une sui'face sans contour d'encadrement, c'est-à-dire une surface fermée, on devra transformer cette surface fermée en une surface qui possède un encadrement, en y pratiquant un trou en un point quelconque, de sorte que la première décomposition sera effectuée au moyen d'une section transverse partant de ce point pour y revenir et formant, par conséquent, une courbe fermée.

Par exemple, la surface extérieure d'un tore annulaire, surface triplement connexe, sera transformée en une surface simplement connexe au moyen d'une courbe fermée et d'une section transverse.

Nous allons maintenant appliquer la décomposition des surfaces multiplement connexes en surfaces simplement connexes à la considération de l'intégrale de la différentielle exacte

\t/r -+- Ydy,

traitée au commencement du § II actuel. Lorsque la surface T, qui recouvre le plan des (x-,y) et sur laquelle X, Y sont des fonctions du lieu partout continues, satisfaisant à l'équation

dX àY

ôy O.r '

est n fois connexe, on la décomposera en une surface T' simplement connexe en pratiquant n sections transverses.

Alors l'intégration de ILdx '-+-Y dy, prise à partir d'un point fixe initial le long de courbes situées à l'intérieur de T', fournit une valeur qui dépend seulement de la position du point final et qui peut être regardée comme fonction des coordonnées de ce point.

Substituant à ces coordonnées les grandeurs x, y, on obtient une fonction de x, y,

z = f(Xdx-+-Ydy)

complètement déterminée pour tout point de T' et variant partout à l'intérieur de T' d'une manière continue, mais qui, à la traversée d'une section transverse, varie en général d'une grandeur finie constante le long de la ligne qui mène d'un nœud du réseau de sections à un autre nœud.

Los variations à ta traversée dos sections transverses dépendent de grandeurs indépendantes entre elles dont le nombre est égal à celui des sections transverses; en efFet, si l'on parcourt le réseau de sections dans le son- rétrograde, chaque section transverse devant être parcourue en commençant par son extrémité finale, chaque variation est partout déterminée, lorsque l'on en donne la valeur au commencement de la section transverse; mais ces valeurs sont indépendantes entre elles.

Pour donner une représentation plus intuitive de ce que l'on doit entendre par los surfaces n fois connexes que nous avons définies précédemment, nous faisons suivre ici des exemples figurés de surfaces simplement, doublement et triplement connexes.

Surface simplement canner,-.

Toute section transverse, que l'on y pratiquerait, morcellerait Fig- S. Fis. 5.

cette surface {fig- 4)5 et toute courbe fermée qui y suit son cours forme l'encadrement complet d'une partie de la surface.

Surface doublement connexe.

Cette surface {fig- 5) est décomposée en une surface simplement connexe par toute section transverse q qui ne la morcelle pas.

Par l'adjonction de la courbe <7, toute courbe fermée peut alors former l'encadrement total d'une partie de la surface.

IOO

Surface triplement connexe.

Sur cette surface (fîg- 6 ou -) toute courbe fermée peut, avec l'adjonction des courbes «, et a2, former l'encadrement total

Fis. G.

d'une partie de la surface. Elle est décomposée par toute section transverse qui ne la morcelle pas en une surface doublement connexe, et deux pareilles sections transverses q{ et </2 la décomposent en une surface simplement connexe.

Dans la partie a(3Yà 'e P^an est recouvert deux fois parla surface. En cette partie, le feuillet de la surface sur lequel a, suit sou

Fig. 7.

cours doit être considéré comme passant sous l'autre ; c'est ce que l'on a indiqué en ponctuant les lignes sur cette partie.

III. — Détermination d'une fonction d'une grandeur variable complexe par les conditions qu'elle remplit relativement au contour et aux discontinuités.

Sur un plan, où les coordonnées rectangulaires d'un point -ont /',i'. lorsque la valeur d'une fonction de x -\- yi est donnée le long- d'une ligne finie, cette fonction ne peut être prolongée au delà d'une manière continue que d'une façon unique et, par conséquent, elle est par cela même parfaitement déterminée (voi/' p-C)o). Mais elle ne peut non plus être prise arbitrairement le long de cette ligne, lorsqu'elle doit être susceptible d'un prolongement continu sur les portions de surface situées des deux côtés de cette ligne, puisque, par sa marche même le long d'une partie finie, si petite qu'elle suit, de la ligne, elle est déjà déterminée pour la partie restante. Ainsi, dans ce mode de détermination d'une fonction, les conditions qui servent à cette détermination ne sont donc pas indépendantes entre elles.

Comme principe de base dans l'étude d'une transcendante, il est, avant toute chose, nécessaire d'établir un système de conditions indépendantes entre elles, suffisant à déterminer celte fonction. Ici, en bien des cas, et notamment dans celui des intégrales de fonctions algébriques et de leurs fonctions inverses, on peut se servir d'un principe à l'aide duquel Dirichlet, inspiré probablement par une pensée analogue de Gauss, a traité, depuis une série d'années, dans ses Leçons sur les forces qui agissent en raison inverse du carré de la distance, la solution de ce problème relativement à une fonction de trois variables satisfaisant à l'équation aux dérivées partielles de Laplace. Il existe cependant, dans cette application à la théorie des transcendantes, un cas tout particulièrement important où l'on ne peut faire usage de ce principe sous sa forme la plus simple exposée par Dirichlet dans ses Leçons où ce cas peut être négligé comme y étant d'une importance subordonnée; ce cas est celui où la fonction, en certains points du domaine où elle est à déterminer, doit admettre des discontinuités prescrites; parla nous devons entendre qu'en chacun de ces points la fonction est soumise à la condition d'être discontinue,

Dl^1 OROHIO

comme lest une fonction assignée discontinue en ces points, ou ne doit différer de cette dernière que d'une fonction continue en ces points. Je présenterai le principe sous la forme nécessaire aux applications en vue, et je prendrai la liberté de renvoyer le lecteur, quant à certaines recherches accessoires, aux explications que j'ai publiées sur cette question dans ma Dissertation de Doctorat, où j'expose ce principe. (Mémoire I : Dissertation inaugurale, §XVII.)

■ Supposons données une surface T à contour d'encadrement quelconque recouvrant une ou plusieurs fois le plan des(.r, j') et, sur cette surface, deux fonctions réelles de x, y, a et [3, à détermination uniforme pour chacun des points de la surface; désignons par û(a) l'intégrale

relative à la surface T, les fonctions a et 43 pouvant admettre des discontinuités quelconques, pourvu que l'intégrale ne devienne pas infinie par ce fait. Alors û(a — X) aussi reste finie, lorsque X est partout continue et admet partout des dérivées finies. Si cette fonction continue X est soumise à la condition d'être, seulement en une partie infiniment petite de la surface T, différente d'une fonction discontinuey, alors Q(a- — X) deviendra infiniment grande, lorsque y est discontinue le long d'une ligne ou est discontinue en un point de telle sorte que

A&)HÎÏÏ«

soit infiniment grand (Dissertation inaugurale, § XVII). Mais û(a — X) reste finie, lorsque y est discontinue seulement en des points isolés et cela seulement de telle façon que l'intégrale

relative à la surface T, reste finie, comme, par exemple, lorsque y, dans le voisinage d'un point, est, à une distance /' de ce point, égale à( — logr)£, avec o<s< i. Pour abréger le langage : les fonctions qui peuvent représenter la fonction X, sans que Q(a — X) cesse

THÉORIE DES FONCTIONS ABÉLIENMES. Io3

d'être finies seront dites discontinues de première espèce, tandis que les fonctions, où ce fait n'est pas possible, seront dites discontinues de seconde espèce. Si l'on conçoit alors que dans Û x — ;jl l'on prenne pour u, toutes les fonctions continues ou discontinues de première espèce qui s'évanouissent sur le contour, l'intégrale prendra toujours une valeur finie et qui. par sa nature même, ne sera jamais négative; il faut donc que pour a — a = u il se présente au moins une fois une valeur minima, en sorte que Q, pour toute fonction a — 'x qui diffère infiniment peu de u, sera plus grande que Û(u).

h signons donc par 3 une fonction quelconque du lieu sur la surface T, fonction continue ou bien discontinue de première espèce, et partout égale à zéro sur le contour, et par h une grandeur indépendante de x, y ; il faut que iî {u — h 3) soit plus grande que û // . pour une valeur suffisamment petite de /«, aussi bien positive que négative ; de la sorte, dans le développement de cette expression suivant les puissances de h, le coefficient de h s'évanouit. Dans ce cas l'on a

et, par suite, Q est toujours un minimum. Le minimum ne se présente que pour une fonction unique u; en effet, si un minimum avait aussi lieu pour u — i, l'on ne pourrait avoir

0(a'H-o')>Û(ii :

autrement l'on aurait

Q u -+- h<f) < Q ( u -s- tf)

pour h < i; Q(u — d) ne pourrait par conséquent être plus petit que la fonction û pour des valeurs voisines de u 4- d. Mais si Q(u -h rf) = ù(u), d doit être une constante, et puisqu'elle est nulle sur le contour elle doit l'être partout. Ce n'est donc que pour une fonction unique u que l'intégrale ù est un minimum et que la variation du premier ordre ou le terme proportionnel a h en Q(u + hd),

J \\àx dyjdx \dy ~"~ dx) dy \' est nulle.

Il résulte de cette dernière proposition que l'intégrale

/[(B + I)ùi(| "s) "■>•]•

relative au contour d'encadrement complet d'une partie de la surface T, est toujours nulle.

Maintenant, si l'on décompose (d'après le travail précité) la surface T, lorsqu'elle est mulliplement connexe, en une surface T7 simplement connexe, l'intégration prise à l'intérieur de T', depuis un point fixe initial jusqu'au point (x, y), donne une fonction de x, y,