S-SW

ùy ùx t

const.,

qui sur T'est partout continue ou bien discontinue de première espèce et qui, à la traversée des sections transverses, varie de grandeurs finies, constantes entre deux nœuds du réseau de sections. Alors v = (3 — v satisfait aux équations

ùv du dv Ou

ùx ùy ùy ùx

et, par conséquent, u + iv est une solution de l'équation différentielle

ù( u -+- vi) . ù(u -+- vi)

ùy Ox

c'est-à-dire est une fonction de x-\-.yi.

L'on obtient ainsi le théorème suivant, énoncé au § XVIII du Mémoire déjà cité :

Lorsque sur une surface connexe'ï, décomposée par des sections tranverses en une surface T' simplement connexe, l'on donne une fonction complexe a+j3« de x, y, pour laquelle l'intégrale

étendue à toute la surface, possède une valeur finie, cette fonction peut toujours, et cela d'une manière unique, être transformée en une fonction de x ~{-yi par la soustraction

THÉORIE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. IOO

d'une fonction [x-t- vi de x, y, qui satisfait aux conditions suivantes :

i Sur le contour u = o, ou du moins diffère de zéro seulement en des points isolés; en un point, v est donnée d'une manière arbitraire ;

2° Les variations de 'x sur T, celles de v sur T ne sont discontinues qu'en des points isolés, et cela seulement de telle sorte que les intégrales

R{ty<%r\" « m ■&)■]«•

relatives à toute la surface, restent finies ; de plus les variations de v le long d'une section transverse sont égales sur les deux bords.

Lorsque la fonction y. -h [ii, en des points où ses dérivées deviennent infinies, est discontinue comme une fonction discontinue de ./' — yi en ces points, et lorsque la fonction ne présente aucune discontinuité qui disparaîtrait par l'effet d'une modification de sa valeur en un point isolé, alors Q(a) reste finie et [x + vï est partout continue sur T'.

En effet, puisqu'une fonction de x -{-yi ne peut admettre certaines discontinuités, telles que, par exemple, des discontinuités de première espèce {Dissertation inaugurale, § XII), la différence de deux pareilles fonctions doit être continue, pourvu qu'elle ne soit pas discontinue de deuxième espèce.

Ainsi, d'après le théorème démontré, une fonction de x-\-yi peut être déterminée de telle sorte qu'à l'intérieur de T, abstraction faite des discontinuités de la partie imaginaire relatives aux sections transverses, elle présente des discontinuités prescrites, et que sa partie réelle prenne sur le contour une valeur qui y est partout donnée arbitrairement; ceci présuppose que, en tout point où les dérivées de la fonction deviennent infinies, la discontinuité prescrite est celle d'une fonction de x + yi donnée, discontinue en ce point.

La condition relative au contour peut, comme c'est aisé à reconnaître, être remplacée par maintes autres sans que les conclusions éprouvent de modifications essentielles.

Dans le travail qui suit, je traite des fonctions abéliennes d'après une méthode dont j'ai exposé les principes dans ma Dissertation inaugurale, et que je viens de présenter dans les trois paragraphes précédents sous une forme légèrement modifiée.

Pour faciliter la lecture de ces recherches, je les ferai précéder d'un compte rendu sommaire.

La première Section contient la théorie d'un système de fonctions algébriques à mêmes ramifications et de leurs intégrales, sans qu'il y soit nécessaire d'aborder la considération des séries thêta. Dans les § I-V, il s'agit de la détermination de ces fonctions d'après leur mode de ramification et leurs discontinuités ; du § VI au § X, il s'agit de leurs expressions rationnelles en fonction de deux grandeurs variables liées par une équation algébrique, et du § XI au § XIII, de la transformation de ces expressions par les substitutions rationnelles. Dans cette étude s'offre alors la conception d'une classe d'équations algébriques, qui peuvent se transformer entre elles par des substitutions rationnelles, et qui pourra aussi être d'une haute importance dans d'autres recherches, et la transformation d'une équation de cette nature en équations de sa classe de degré minimum sera aussi utile en d'autres circonstances. Enfin cette Section traite, dans les derniers § XIV-XVI comme préliminaires à la Section II, des applications du théorème d'addition d'Abel, relatif à un système quelconque d'intégrales partout finies de fonctions algébriques à mêmes ramifications, à l'intégration d'un système d'équations différentielles.

Dans la seconde Section, dans le cas d'un système quelconque d'intégrales partout finies de fonctions algébriques, à mêmes ramifications et (2/? + 1) fois connexes, l'on exprimera les fonctions d'inversion de Jacobi de p grandeurs variables, à l'aide de séries thêta /j-uplement infinies, c'est-à-dire à l'aide de séries de la forme

^Oi,''2; • •,<>)= y ) c

où les somAtions dans l'exposant se rapportent à ;j. et u.', et où les sommations extérieures se rapportent à mi: />?2. . . ., mp. On reconnaît que, pour la solution générale de ce problème, une certaine classe de fonctions thêta suffit; celte classe devient particulière pour/>>3, cas où, entre les tL-!— - grandeurs a, ont lieu

— — relations, en sorte que, parmi ces grandeurs, op — 3

seulement restent arbitraires.

Cette partie du Mémoire forme en même temps une théorie de cette espèce particulière de fonctions !^T. Les fonctions Xj générales resteront exclues de cette étude; elles peuvent se traiter du reste par une méthode tout analogue.

Le problème d'inversion de Jacobi. résolu ici, l'a été déjà de plusieurs manières dans le cas des intégrales hvperelliptiques par les travaux persévérants et couronnés de tant de succès de M. Weierstrass; un aperçu en a paru dans le Tome 17 du Journal de Mathématiques de Crelle, page 289. Ce n'est cependant jusqu'à ce jour que la partie de ces travaux, esquissée dans les § I, II et la première moitié du § 111 relative aux fonctions elliptiques, dont l'exposition détaillée a été publiée (Joiniml de Crelle, t. 52, p. 285). La coïncidence qu'il peut y avoir entre les parties ultérieures des travaux de M. W eiei. strass et ceux que je présente ici, non seulement dans les résultats, mais encore dans les méthodes qui y conduisent, ne pourra être connue en grande partie que lors de la publication de ces travaux qui a été annoncée.

Le travail qui suit, à l'exception des deux derniers § XXVI, XX\ II, dont le sujet n'eût pu qu'être brièvement indiqué dans mes Leçons, est une analyse d'une partie de celles que j'ai professées à Gœttingue depuis la Saint-Michel 1 855 jusqu'à la même date en 1 856.

Relativement à la découverte de certains résultats et quant aux § I-V, IX et XII et aux théorèmes préliminaires que j'ai étendus plus tard en vue de mes Leçons, de la manière exposée dans ce travail, j'y ai été conduit pendant l'automne de l'année 1 85 1 et le commencement de i852, par des recherches sur la représentalion conforme de surfaces multiplement connexes; mais, plus tard, j'étais détourné de celte recherche par un autre sujet. Je n'ai repris ce travail que vers Pâques en 1 855 et l'ai continué.

jusqu'au § XXI, pendant les vacances de Pâques et de la Saint- Michel de la même année. Le reste a été terminé vers la Saint-Michel de i 856.

Un certain nombre de propositions supplémentaires se sont présentées en maint endroit pendant la mise au net.